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Trasformada de Laplace (2), Apuntes de Sonido Digital
Asignatura: Circuitos y Sistemas, Profesor: , Carrera: Ingeniería de Sonido e Imagen, Universidad: UAX
Tipo: Apuntes
2012/2013
1 / 11
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Tema1 Circuitos y Sistemas
Tema 1. CIRCUITOS Y SISTEMAS.Jorge Munilla
Análisis de circuitos en el dominio transformado de Laplace. 1.1^ Introducción a la Transformada de Laplace (TL) 1.2^ Transformada de Laplace Unilateral1.2.1 Definición1.2.2 Propiedades de la TL1.2.3. Transformada de Laplace de excitaciones comunes.^ 1.2.
Obtención
de^ la^ TL
-1^ mediante
la^ descomposición
en
fracciones simples. 1.3 Resolución de ecuaciones diferenciales circuitales mediante TL. 1.4 Circuito Transformado de Laplace.1.4.1 Introducción. Ley de Kirchoff en el dominio transformado.1.4.2 Transformación de elementos. 1.5 Función de Transferencia de un circuito. Diagrama de Polos y Ceros.
1.2.4. TL inversa de funciones racionales CIRCUITOS Y SISTEMAS.Jorge Munilla
Casos para TL
-1^ de la función racional A)^ n>m (función racional propia) B)^ n≤m (función racional impropia)
A1) Polos Simples^ A2) Polos Múltiples
A1.1)^ Reales
1.2.4. A1.1)^ Complejos conjugados
1.2.4.
1.2.4.1 TL inversa de funciones racionales CIRCUITOS Y SISTEMAS.Jorge Munilla
A1.1) n>m y polos simples reales
1 1 1
0
1 2 1 1 1
0
1 2
( )^
...^
(^ )(^
)...(^ )
( )^ ( )^
...^
(^ )(^
)...(^ )
m^ m m m^
m
n^ n n n^
n
P s^ b s^
b^ s^
b s^ b^
s^ z^ s^ z^
s^ z
V s^
K
Q s^ a s^
a^ s^
a s^ a^
s^ p^ s^ p
s^ p − + +^ +^ +− − −
−^
=^ =^
+^ +^
+^ +^
−^ −^
Suma de fracciones parciales^1
2 1 2 ( )^
... (^ )^ (^
)^ (^ n )^ n k^ k^
k V s^ s^ p
s^ p^
s^ p =^ +^
+^ + −^ −^
−
polos
Residuos ( ) ( ) |^ i i^ i^
s^ p k^ s^ p V s
= =^ − Desarrollo de Heavisideo regla de ocultamiento
1.2.4. TL inversa de funciones racionales CIRCUITOS Y SISTEMAS.Jorge Munilla
A1.2) n>m y polos complejos conjugados (
) 1 1 1
0
1 2 1 1 1
0
1 2
( )^
...^
(^ )(^
)...(^ )
( )^ ( )^
...^
(^ )(^
)...(^ )
m^ m m m^
m
n^ n n n^
n
P s^ b s^
b^ s^
b s^ b^
s^ z^ s^ z^
s^ z
V s^
K
Q s^ a s^
a^ s^
a s^ a^
s^ p^ s^ p
s^ p − + +^ +^ +− − −
−^
=^ =^
+^ +^
+^ +^
−^ −^
y^ son realesa bk k (^1) ( ) ....^1
...
(^ )^
(^
(^
n ( )^ n
k^
k^
k^
k
V s^ s^ p
s^
j^ s^
j^ s^ p α^ β
∗ α β =^ +^
+^
−^ −
+^ )^
+^ +^ )^
−
(^ ( ) |
j s j
k^ s^
j^ V s^
θk e β α
α^ β^
=^ + (^
)^
=^ −^ +^
)^ ( )^
t 2 cos v t e k^
t^ u t
α^ β^
⋅ = ... + (^
Descomposición en fracciones simples-1^ TL +^ ) ⋅^ ( ) + ...
1.2.4. TL inversa de funciones racionales CIRCUITOS Y SISTEMAS.Jorge Munilla
A2) n>m y polos múltiples (NO ENTRA)
1 para^2 at TL te
s^ a − ^ =^ s^ a
^ ^ (^
+^ )
(^1112 )
(^12)
( )^
...^
...
(^ )^
(^ )^ (^
)^ (^ r ) r^
r k^ k^
k
V s^
s^ p^
s^ p^ s P s
p P sQ s Q^
s s^
p
=^ =^
=^ +^
+^ +
( )^ ( ) (^
− ( )^
−^
−^ − ) Es más complicado calcular los residuos;derivando V(s) y resolviendo ecuaciones
!^ para^1 n^ at
n n TL t e^
s^ a − ^ =^ +^ s^ a
^ ^ (^
+^ )
1.2.4. TL inversa de funciones racionales CIRCUITOS Y SISTEMAS.Jorge Munilla
1.2.4.3 Suma de comprobación de los residuos
y^ son realesa bk k
Función racional propia n>m
1 1 1
0 1 1 1
0 ( )^
( )^ ( )^
m^ m P s b s b^ s^ m m n^ n n n
b s^ b
V s^ Q s^
a s^ a^ s^
− − −a s^ a− +^ +^
+^ +
=^ =^
+^ +^
+^ +^ si^ m^1 n b^ n^ m=^ +a^1 0 si^1 n^ m>^ + lim^ ( )
n i s^
1 21 s V s k ⋅ = =∑ →∞ i=
2 ( )^
... (^ )^ (^
)^ (^ n )^ n k^ k^
k V s^ s^ p
s^ p^
s^ p =^ +^
+^ + −^ −^
−
1.3. Resolución E.D. de los circuitos mediante TL CIRCUITOS Y SISTEMAS.Jorge Munilla
Ejemplos^ 1.- Circuito RC serie. Entrada escalón2.- Circuito RC serie. Entrada exponencial.3.- Circuito RLC serie.4.- Circuito RLC paralelo.