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Asignatura: Àlgebra i Geometria, Profesor: Susana López, Carrera: Enginyeria de Sistemes Aeroespacials, Universidad: UPC
Tipo: Apuntes
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Algebra i Geometria. EETAC S.C. L´opez. Matem`atica Aplicada IV. UPC
Introducci´o Definici´o. Exemples. Teorema d’exist`encia Propietats operacionals de la transformada Altres propietats Inversi´o per descomposici´o en fraccions simples α arrel de multiplicitat r de Q(s) α + βj arrel de Q(s) Funci´o de Heaviside La funci´o δ de Dirac Convoluci´o
Introducci´o Definici´o. Exemples. Teorema d’exist`encia Propietats operacionals de la transformada Altres propietats Inversi´o per descomposici´o en fraccions simples α arrel de multiplicitat r de Q(s) α + βj arrel de Q(s) Funci´o de Heaviside La funci´o δ de Dirac Convoluci´o
Donada f : [0, +∞) → R, la transformada de Laplace de f :
F (s) = L{f (t)} =
0 e
−st (^) f (t)dt = lim A→+∞
0 e
−st (^) f (t)dt,
si aquest l´ımit existeix. Exemples
0 e
−st (^) dt = lim A→+∞[^
s e
−st (^) ]tt==0A =
A→lim+∞^1 −^ e
−sA s =
s , si s > 0, i no existeix per s ≤ 0.
Introducci´o Definici´o. Exemples. Teorema d’exist`encia Propietats operacionals de la transformada Altres propietats Inversi´o per descomposici´o en fraccions simples α arrel de multiplicitat r de Q(s) α + βj arrel de Q(s) Funci´o de Heaviside La funci´o δ de Dirac Convoluci´o
Observaci´o En l’anterior relaci´o, si f no est`a definida en 0, podem substituir f (0),f ′(0),... per limt→ 0 + f (t), limt→ 0 + f ′(t),.. ..
Teorema Siguin f (t), g (t) dues funcions admissibles, tals que F (s) = G (s) per s ≥ s 0 , aleshores f (t) = g (t) per a tot t on f , g siguin cont´ınues simultaniament. Observaci´o Tot i que existeix una f´ormula d’inversi´o per calcular l’anti-transformada d’una funci´o donada, basarem el seu calcul en la identificaci´o de transformades de funcions conegudes. Un punt clau del proc´es, ser`a la descomposici´o en fraccions simples. Exemple Resoleu el PVI:
y ′′^ − 3 y ′^ + 2y = e^3 t^ , y (0) = 1, y ′(0) = 0.
(es troba que Y (s) = (^52) s−^11 − (^) s−^22 + (^12) s−^13 ).
Introducci´o Definici´o. Exemples. Teorema d’exist`encia Propietats operacionals de la transformada Altres propietats Inversi´o per descomposici´o en fraccions simples α arrel de multiplicitat r de Q(s) α + βj arrel de Q(s) Funci´o de Heaviside La funci´o δ de Dirac Convoluci´o
∫ (^) t 0 u^ sin^ udu^ =^...^ =
1 2 (−t^ cos^ t^ + sin^ t). 4.5 Quina funci´o y = y (t) t´e transformada: Y (s) = (^) (s 2 − (^) + 4)^4 s 2? 4.6 Quina funci´o y = y (t) t´e transformada: Y (s) = (^) (s −^1 4) 3?
s^ F^ (u)du. (Idea: g (t) = f (t)/t... ). Exemples 5.1 L{ sint t} = π 2 − arctan s 5.2 L{ cos(at t )^ −^1 } = ln √s 2 s (^) + a 2 5.3 L{ eat^ − t ebt} = ln ss^ −−^ ba
{ (^) f (t − a), si t ≥ a; 0 , en cas contrari. Aleshores, L{˜fa} = e−saF (s). Exemple Quina ´es la funci´o y = y (t) amb Y (s) = e
−s s^2?
Exemple L{cos(at)} =^1 a (s/as)/ 2 a (^) + 1
odiques. Considerem una funci´o f = f (t), periodica de per´ıode T , ´es a dir, f (t + T ) = f (t) per a tot t. Aleshores,L{f (t)} =
0 e−st^ f^ (t)dt 1 − e−sT^. Exemples 9.1 Considerem f (t) =
{ (^1) , 0 ≤ t < 1 − 1 , 1 ≤ t ≤ 2 estesa peri`odicament, ´es a dir, f (t + 2) = f (t). Aleshores L{f (t)} = (^) s(1 +^1 −^ e e−−ss (^) ). 9.2 Considerem f (t) = t, si 0 ≤ t ≤ 1, i f (t + 1) = f (t). Aleshores L{f (t)} =^1 s− (^2) (1e− −s^ (1 + e−s (^) )s ).
Introducci´o Definici´o. Exemples. Teorema d’exist`encia Propietats operacionals de la transformada Altres propietats Inversi´o per descomposici´o en fraccions simples α arrel de multiplicitat r de Q(s) α + βj arrel de Q(s) Funci´o de Heaviside La funci´o δ de Dirac Convoluci´o
Donada F (s) de tipus racional, ´es a dir, F (s) = P Q((ss)) , on P, Q s´on polinomis. Per trobar la seva transformada inversa, descomposem la fracci´o com a suma de fraccions simples. α arrel de multiplicitat r de Q(s) A 1 s − α +^
(s − α)^2 +^...^ +^
Ar (s − α)r^ , on Ai s´on constants. En aquest cas,
Ak (s − α)k^ =^
Ak (k − 1)! (−1)
k− 1 (−1)k−^1 (k^ −^ 1)! (s − α)k^ = Ak (k − 1)! L{t
k− (^1) eαt (^) }.