Matrius i Determinants, Apuntes de Álgebra

¡Descarga Matrius i Determinants y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!

Tema 2. Matrius, determinants i sistemes

d’equacions lineals.

Algebra i Geometria. EETAC

S.C. L´opez. Matem`atica Aplicada IV. UPC

´Index

Matrius

Operacions amb matrius

Rang d’una matriu

Determinants

Menor complementari. Menor adjunt

Determinants d’ordre superior

Propietats

Rang de matrius per determinants

Inversa d’una matriu

Equacions matricials

Sistemes d’equacions lineals

Sistemes equivalents

Teorema de Rouch´e-Frobenius

M`etode de Gauss

M`etode de Cramer

Mitjan¸cant matriu inversa

Matrius

S’anomena matriu de dimensi´o m × n, a tota distribuci´o de m × n

nombres de la forma:

a 11... a 1 n . .

. aij

am 1... amn

on aij ´es l’element que es troba en la fila i i en la columna j.

Mm×n denota el conjunt de totes les matrius de dimensi´o m × n.

Dues matrius s´on iguals, si s´on de la mateixa dimensi´o i tenen tots

els elements iguals.

Casos especials, per la forma

• n = 1 matriu columna

a 11

. . .

am 1

• m = 1 matriu fila

a 11... a 1 n

• (^) n = m matriu quadrada (d’ordre n)

a 11... a 1 n . . .

an 1... ann

. Els

elements aii constitueixen la diagonal principal de la matriu.

• (^) Si aij = aji s’anomena matriu sim`etrica,

 (^) i si

aij = −aji matriu antisim`etrica,

Suma

Donades dues matrius, A, B ∈ Mm×n, amb A = (aij ), B = (bij ), la

seva suma ´es: A + B := (aij + bij ).

Exemple

( 1 0 1

3 − 1 0

Propietats

1. A + (B + C ) = (A + B) + C (Propietat associativa)
2. A + B = B + A (Propietat commutativa)
3. A + 0 = A (Element neutre)
4. Donada una matriu A, −A indica la matriu que s’obt´e

canviant els signes de tots els seus elements. S’anomena

matriu oposada, i verifica: A + (−A) = 0

Producte per escalar

El producte d’una matriu A = (aij ) per un nombre λ:

λ · A := (λaij ).

Exemple

Aquesta operaci´o verifica, respecte la suma, les propietats

seg¨uents:

1. λ · (A + B) = λ · A + λ · B
2. (λ + μ) · A = λ · A + μ · A (Doble propietat distributiva)
3. λ · (μ · A) = (λμ) · A (Propietat associativa)
4. 1 · A = A (Element neutre)

Ara b´e, en general:

• (^) El producte no ´es commutatiu AB 6 = BA
• AB = 0 no implica necess`ariament, A = 0 o B = 0
• (^) AB = AC no implica necess`ariament, B = C

• (A + B)

2 no ´es necess`ariament igual a A

2

• 2AB + B

2

• (^) (A − B)^2 no ´es necess`ariament igual a A^2 − 2 AB + B^2
• (A + B)(A − B) no ´es necess`ariament igual a A

2 − B

2

Rang d’una matriu

Una fila Fi (o columna) ´es linealment dependent de les altres, si

existeixen uns nombres α 1 ,... , αm tals que:

Fi = α 1 F 1 +... +

∧ Fi +... + αmFm,

on

∧ Fi vol dir que la fila Fi no hi surt. En cas contrari, es diu que ´es

linealment independent.

Definici´o S’anomena rang d’una matriu al nombre m`axim de files

(o columnes) linealment independents.

Exemples

El rg

= 3. En canvi, rg

Index

Matrius

Operacions amb matrius

Rang d’una matriu

Determinants

Menor complementari. Menor adjunt

Determinants d’ordre superior

Propietats

Rang de matrius per determinants

Inversa d’una matriu

Equacions matricials

Sistemes d’equacions lineals

Sistemes equivalents

Teorema de Rouch´e-Frobenius

M`etode de Gauss

M`etode de Cramer

Mitjan¸cant matriu inversa

Determinants

Sigui A ∈ Mn×n = Mn, s’anomena determinant de A al nombre

que es calcula a partir dels elements de la matriu, tal com segueix:

• Si n = 1
• Si n = 2, det A :=

a 11 a 12

a 21 a 22

= a 11 a 22 − a 21 a 12

• Si n = 3, det A :=

a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33

= a 11 a 22 a 33 +

a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 − a 31 a 22 a 13 − a 11 a 32 a 23 − a 21 a 12 a 33

(Regla de Sarrus)

• Per n (anomenat ordre del determinant) superiors, cal fer-ho

de manera recursiva (o utilitzar permutacions).

Determinants d’ordre superior

El determinant d’una matriu A = (aij ) ∈ Mn, ´es igual a la suma

dels productes dels elements de qualsevol fila (o columna) pels

seus menors adjunts.

a 11... a 1 n

. . .

an 1... ann

= a 11 A 11 +... + a 1 nA 1 n = ai 1 Ai 1 +... + ainAin =

= a 11 A 11 +... + an 1 An 1 = a 1 j A 1 j +... + anj Anj.

Exemple ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 1 0 1

0 3 1 2

0 0 3 − 1

0 6 − 1 5

1+

(desenvolupant per la primera columna).

Per`∣ o tamb´e,

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 1 0 1

0 3 1 2

0 0 3 − 1

0 6 − 1 5

3+

4+

(desenvolupant per la tercera fila).

Observaci´o

Si una matriu ´es triangular, el seu determinant ´es el producte dels

elements de la diagonal principal.

Exemple ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 1 0 1

0 5 1 2

0 0 − 2 − 1

0 0 0 5

1. Si a una fila (o columna) se li suma una altra fila (columna)

multiplicada per un nombre, el determinant no canvia.

Exemple ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 2 1

5 − 1 − 2

1 2 3

F 2 →F 2 − 5 F 3

F 1 →F 1 − 3 F 3

C 3 →C 3 − 2 C 2

Rang de matrius per determinants

Teorema

En una matriu quadrada, les files (columnes) s´on linealment

dependents si i nom´es si, el seu determinant ´es igual a zero.

Proposici´o

El rang d’una matriu ´es el m´es gran dels ordres dels determinants,

diferents de zero, obtinguts a partir de submatrius quadradades de

la matriu.

Exemple

A =

→ rg(A) = 3, ja que

= 0 i

det A = 0.