TRANSFORMADA
DE LAPLACE
IRENE HERNANDEZ GONZALEZ
BRIANDA AVRIL MENDOZA SOTO.
ECUACIONES DIFERENCIALES.
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Ecuaciones Diferenciales y Métodos Numéricos: Temas Clave para Ingeniería, Apuntes de Matemáticas
ES TÍPICO QUE SE HAGA USO de las transformaciones de Laplace al referirse a una Tabla de pares de transformaciones. Una muestra de tales pares se da en la Tabla 5.2.1 . Combinando algunas de estas simples transformaciones de Laplace con las propiedades de la transformación de Laplace, como se muestra en Table 5.2.2 , podemos tratar muchas aplicaciones de la transformación de Laplace. Primero probaremos algunas de las transformaciones de Laplace dadas y mostraremos cómo se pueden usar para obtener nuevos pares de transformaciones. En la siguiente sección mostraremos cómo estas transformaciones pueden ser utilizadas para sumar series infinitas y para resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias.ES TÍPICO QUE SE HAGA USO de las transformaciones de Laplace al referirse a una Tabla de pares de transformaciones. Una muestra de tales pares se da en la Tabla 5.2.1 . Combinando algunas de estas simples transformaciones de Laplace con las propiedades de la tran
Tipo: Apuntes
2022/2023
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TRANSFORMADA
DE LAPLACE
IRENE HERNANDEZ GONZALEZ BRIANDA AVRIL MENDOZA SOTO. ECUACIONES DIFERENCIALES.
Temas fundamentales de Matemáticas para Ingeniería II: Ecuaciones Diferenciales, Transformada de Laplace y Métodos Numéricos. Estos temas son de gran importancia en el campo de la ingeniería, ya que brindan herramientas matemáticas fundamentales para el análisis y la resolución de problemas.
INTRODUCCIÓN
ECUACIONES
DIFERENCIALES
Hay diferentes tipos de
ecuaciones diferenciales,
incluyendo ecuaciones
diferenciales ordinarias
(EDOs) y ecuaciones en
derivadas parciales (EDPs)
CONCEPTOS CLAVE Orden de una ecuación diferencial. Ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. Solución general y solución particular. Problemas de valor inicial y problemas de valor de contorno. Métodos analíticos de resolución, como separación de variables, sustitución, factor integrante, entre otros.
Factorizando el polinomio característico, obtenemos:
(r - 2)^2 = 0
Por lo tanto, la ecuación característica tiene una raíz doble r
La solución general de la ecuación diferencial es de la forma:
y(x) = c1e^(2x) + c2xe^(2x)
EJEMPLO
herramienta matemática que nos permite convertir una función del dominio del tiempo en una función del dominio de la frecuencia compleja. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Aplicación de la transformada de Laplace para resolver una
EDO Resolver la siguiente ecuación diferencial utilizando la
transformada de Laplace:
y'' + 4y' + 3y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0
Solución: Aplicando la transformada de Laplace a ambos
lados de la ecuación, obtenemos:
s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 4(sY(s) - y(0)) + 3Y(s) = 0
EJEMPLO
Reemplazando las condiciones iniciales y simplificando,
obtenemos:
s^2Y(s) - s + 4sY(s) + 3Y(s) - 4 = 0
Agrupando términos similares, tenemos:
(s^2 + 4s + 3)Y(s) = s + 4
Dividiendo ambos lados por
s^2 + 4s + 3, obtenemos: Y(s) = (s + 4)/(s^2 + 4s + 3)
EJEMPLO
Multiplicando ambos lados por (s + 3)(s + 1), obtenemos: s + 4 = A(s + 1) + B(s + 3) Resolviendo para A y B, encontramos que A = 1 y B = 3. Por lo tanto, la expresión descompuesta en fracciones parciales es: Y(s) = 1/(s + 3) + 3/(s + 1) Aplicando la transformada inversa de Laplace, obtenemos: y(t) = e^(-3t) + 3e^(-t)
EJEMPLO
Ecuaciones Diferenciales, Transformada de Laplace y Métodos Numéricos son herramientas matemáticas indispensables en el campo de la ingeniería. Estos temas nos permiten modelar y resolver problemas complejos presentes en diversos sistemas y procesos ingenieriles. Al dominar estos conceptos, los ingenieros pueden analizar y predecir el comportamiento de sistemas dinámicos, diseñar circuitos eléctricos eficientes, resolver problemas de transferencia de calor y flujo de fluidos, entre muchas otras aplicaciones.