¡Descarga Método de transformada de Laplace en sistemas dinámicos y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Método de transformada de Laplace
En un sistema dinámico
X
n× 1
= A
n × n
X
n× 1
( t ) + B
n × 1
μ ( t ) ; X
n × 1
( 0 )= X
0
, (Aplicando la transformada de Laplace).
s X
n × 1
( s )− X
n × 1
( 0 )= A
n ×n
X
n × 1
( s ) + B
n × 1
μ ( s )
( sI − A ) X
n × 1
( s )= X
0
+ B
n × 1
μ ( s ) pre multiplicando ( sI − A )
− 1
X
❑
( s )=( sI − A )
− 1
X
0
+ B
n × 1
μ ( s )
X
❑
( s )=( sI − A )
− 1
X
0
− 1
B
n× 1
μ ( s )
aplicando la transformada inversa
la solución queda:
X
❑
( t )= e
At
X
( 0 )
∫
0
t
e
A ( t − δ )
Bμ ( δ ) dδ → e
At
= L
− 1
{( sI − A )
− 1
Teorema. Toda ecuación de orden superior o sistema de ecuaciones de orden superior se
puede llevar a un sistema dinámico bajo la siguiente estructura.
se realiza los CV.
y = x
1
y
'
= x ˙
1
= x
2
y
'
= x
2
derivando y
' '
= x ˙
2
= x
3
y
' '
= x
3
una vez y
' ''
= x ˙
3
= x
4
.. ..
y
( n − 1 )
= x
n
y
( n )
x
n
=− a
0
x
1
− a
1
x
2
… … ..− a
n − 1
x
n
[
x
1
x
2
x
3
x
n
]
[
− a
0
− a
1
− a
2
− a
3
⋯ − a
n − 1
]
[
x
1
x
2
x
3
x
n
]
[
]
f
t
Entonces el sistema Dinámico queda:
X = AX + Bμ ( t )
Ejemplo:
Para el sistema de Ecuaciones Diferenciales.
{
x
' '
− 3 x
'
'
+ 2 x − y = δ ( t − 1 ) … [ 1 ]
x
'
'
− 2 x + y = μ ( t − 2 ) … [ 2 ]
; x
= x
'
= y
a) Plantear el sistema dinámico asociado
b) Hallar e
At
c) La solución del sistema planteado en a)
Sol.
de[ 1 ] x
' '
=− 2 x + y + 3 x
'
− y
'
+ δ ( t − 1 ) ; de[ 2 ] y
'
= 2 x − y − x
'
[ 2 ] en [ 1 ] x
' '
=− 2 x + y + 3 x
'
− 2 x + y + x
'
− μ ( t − 2 ) + δ ( t − 1 )
x
' '
=− 4 x + 2 y + 4 x
'
− μ
t − 2
t − 1
x = z
1
x
'
= z ˙
1
= z
2
x
'
= z
2
derivando x
''
= x ˙
2
=− 4 z
1
3
2
− μ
t − 2
t − 1
y = z
3
una vez y
'
= z ˙
3
= 2 z
1
− z
3
− z
2
[
z
1
z ˙
2
z
3
]
[
]
[
z
1
z
2
z
3
]
[
− μ ( t − 2 )+ δ ( t − 1 )
μ ( t − 2 )
]
sz ( s )− z ( 0 )= AZ ( s ) + B ( s ) → z ( s ) =( sI − A )
− 1
z
0
→ e
At
= L
− 1
{( sI − A )
− 1
sI − A =
[
s − 1 0
4 s − 4 − 2
− 2 1 s + 1
]
| sI − A |=
|
[
s − 1 0
4 s − 4 − 2
− 2 1 s + 1
] |
= s
|
s − 4 − 2
1 s + 1
|
|
− 2 s + 1
|
| sI − A |= s [ ( s − 4 ) ( s + 1 ) + 2 ] +[ 4 ( s + 1 )− 4 ]
| sI − A |= s ( s − 1 ) ( s − 2 )
( s − 2 )
s ( s − 1 )
A
6
s
B
6
s − 1
→ s − 2 = A
6
( s − 1 )+ B
6
s s = 0 → A
6
= 2 ; s = 1 → B
6
( sI − A )
− 1
[
s
s − 1
( s − 2 )
s
s − 1
( s − 2 )
s
s − 1
( s − 2 )
(
s − 1
( s − 2 )
)
s − 1
( s − 2 )
s − 1
( s − 2 )
s
s − 1
s
s − 1
s
s − 1
]
Aplicando la transformada inversa e
At
= L
− 1
{( sI − A )
− 1
e
At
[
− 1 + 4 e
t
− 2 e
2 t
− 2 e
t
e
2 t
1 − 2 e
t
2 t
4 e
t
− 4 e
2 t
− 2 e
t
2 t
− 2 e
t
2 t
− 2 + 2 e
t
1 − e
t
2 − e
t
]
Para la solución
z ( t )
z ( s )=( sI − A )
− 1
z
0
z ( s )=
[
s
2
− 3 s − 2
s ( s − 1 ) ( s − 2 )
s + 1
s ( s − 1 ) ( s − 2 )
s ( s − 1 ) ( s − 2 )
( s − 1 ) ( s − 2 )
( s + 1 )
( s − 1 ) ( s − 2 )
( s − 1 ) ( s − 2 )
s
s − 1
s
s − 1
s − 2
s
s − 1
]
{
[
]
[
− e
− 2 s
s
− s
e
− 2 s
s
]}
z ( s )=
[
s
2
− 3 s − 2
s ( s − 1 ) ( s − 2 )
s + 1
s ( s − 1 ) ( s − 2 )
s ( s − 1 ) ( s − 2 )
( s − 1 ) ( s − 2 )
( s + 1 )
( s − 1 ) ( s − 2 )
( s − 1 ) ( s − 2 )
s
s − 1
s
s − 1
( s − 2 )
s
s − 1
]
[
− e
− 2 s
s
− s
e
− 2 s
s
]
z ( s )=
[
s + 1
s ( s − 1 ) ( s − 2 )
e
− s
s + 1
s
2
( s − 1 ) ( s − 2 )
e
− 2 s
s
2
( s − 1 ) ( s − 2 )
e
− 2 s
( s + 1 )
( s − 1 ) ( s − 2 )
e
− s
( s + 1 )
s ( s − 1 ) ( s − 2 )
e
− 2 s
s ( s − 1 ) ( s − 2 )
e
− 2 s
s ( s − 1 )
e
− s
s
2
( s − 1 )
e
− 2 s
( s − 2 )
s
2
( s − 1 )
e
− 2 s
]
z ( s )=
[
s + 1
s ( s − 1 ) ( s − 2 )
e
− s
s
2
( s − 2 )
e
− 2 s
s + 1
s − 1
s − 2
e
− s
s
s − 2
e
− 2 s
s ( s − 1 )
e
− s
s
2
e
− 2 s
]
Operaciones Auxiliares.
s
2
( s − 2 )
D
s
E
s
2
F
s − 2
→ − 1 = Ds ( s − 2 ) + E ( s − 2 ) + F s
2
si s = 0 , E =
; s = 2 , F =
;s = 1 D =
s
s − 2
D
1
s
E
1
s − 2
→ − 1 = D
1
( s − 2 ) + E
1
s ; si s = 0 , D
1
; s = 2 , E
1
Reemplazando.
z
s
[
(
s
s − 1
( s − 2 )
)
e
− s
(
s
s
2
s − 2
)
e
− 2 s
(
s − 1
( s − 2 )
)
e
− s
(
s
s − 2
)
e
− 2 s
(
s
s − 1
)
e
− s
s
2
e
− 2 s
]
(Aplicando la transformada inversa)
z ( t )=
[
(
− 2 e
( t − 1 )
e
2 ( t − 1 )
)
μ
t − 1
(
t − 2
e
2 ( t − 2 )
)
μ
t − 2
− 2 e
t − 1
2 ( t − 1 )
μ
t − 1
(
e
2 ( t − 2 )
)
μ
t − 2
1 − e
t − 1
μ ( t − 1 ) +( t − 2 ) μ ( t − 2 )
]
Nota. Los sistemas de ecuaciones integro diferenciales se resuelven aplicando la
transformada de Laplace y resolviendo algebraicamente.
Ejemplo.
Resolver el sistema:
{
x ( t )=
e
2 t
y ( t )= e
2 t
Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales:
{
ty ( t )+ z ( t )+ t z
'
( t )=( t − 1 )
2
… [ 1 ]
y
'
( t )− z
'
( t )= e
− t
… [ 2 ]
y ( 0 ) = 1 ; z ( 0 )=− 1
Sol.
En [2]:
y
'
( t )− z
'
( t ) = e
− t
→ sy ( s )− y ( 0 )−
sz ( s )− z ( 0 )
s + 1
sy ( s )− 1 −
sz ( s ) + 1
s + 1
→ z ( s )= y ( s ) −
s
s ( s + 1 )
→ z ( s )= y ( s ) −
2 s + 3
s ( s + 1 )
… [ α ]
En [1]: ty ( t )+ z ( t ) + t z
'
( t )=( t − 1 )
2
= t
2
− 2 t + 1 // L {}
d
ds
y ( s )
d
ds
sz ( s )− z ( 0 )
s
3
s
2
s
− dy
s
ds
s
− z
s
− s
dz
s
ds
2 − 2 s + s
2
s
3
dy
s
ds
dz
s
ds
− 2 − 2 s + s
2
s
3
Reemplazando
[ α ]
dy ( s )
ds
d
ds
(
y ( s )−
2 s + 3
s ( s + 1 )
)
− 2 − 2 s + s
2
s
3
dy ( s )
ds
(
dy ( s )
ds
2 s ( s + 1 )−( 2 s + 3 ) ( 2 s + 1 )
s
2
( s + 1 )
2
)
− 2 − 2 s + s
2
s
3
s + 1
dy ( s )
ds
2 s
2
2
− 8 s − 3
s ( s + 1 )
2
2 − 2 s + s
2
s
3
dy ( s )
ds
− 2 s
2
− 6 s − 3
s ( s + 1 )
3
2 − 2 s + s
2
s
3
( s + 1 )
dy
s
ds
(
2 s
2
s
s + 1
3
s
2
− 2 s + 2
s
3
( s + 1 )
)
(
A
s
B
s + 1
C
s + 1
2
D
s + 1
3
E
s
F
s
2
G
s
3
H
s + 1 )
2 s
2
s ( s + 1 )
3
A
s
B
s + 1
C
( s + 1 )
2
D
( s + 1 )
3
→ 2 s
2
s + 1
3
s + 1
2
s + 1
2 s
2
s
3
2
+ B
s
3
2
+ C
s
2
2 s
2
+ 6 s + 3 = A ( s
3
2
+ 3 s + 1 ) + B ( s
3
2
+ s ) + C ( s
2
+ s ) + Ds
2 s
2
A + B
s
3
3 A + 2 B + C
s
2
3 A + B + C + D
s + A
A = 3 A + B = 0 → B =− 3 3 A + 2 B + C = 2 →C =− 13 A + B + C + D = 6 → D = 1
s
2
− 2 s + 2
s
3
( s + 1 )
E
s
F
s
2
G
s
3
H
s + 1
→ s
2
− 2 s + 2 = E s
2
s + 1
s + 1
+ G
s + 1
3
s
2
− 2 s + 2 =( E + H ) s
3
+( E + F ) s
2
+( F + G ) s + G
G = 2 → F + G =− 2 ; F =− 4 → E + F = 1 , E = 5 → H =− 5
dy ( s )
ds
(
s
s + 1
( s + 1 )
2
( s + 1 )
3
s
2
s
3
)
//
∫
y ( s )=− 8 ln ( s )−
s
s
2
s + 1
2 ( s + 1 )
2
y ( s )=
s
s
2
(
s + 1
s
)
s + 1
2 ( s + 1 )
2
L
− 1
y ( t ) =− 4 − t + 8 L
− 1
{
ln
(
s + 1
s
)}
− e
− t
t e
− t
En [ α ]
z ( s )= y ( s )−
2 s + 3
s ( s + 1 )
= y ( s ) +
s
s + 1
L
− 1
z ( t )= y ( t )− 3 + e
− t
=− 4 − t + 8 L
− 1
{
ln
(
s + 1
s
) }
− e
− t
t e
− t
− t
z ( t )=− 7 − t + 8 L
− 1
{
ln
(
s + 1
s
) }
t e
− t
Ejemplo.
Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales:
{
2 ( u − 2 ) x
' '
'
4 u
u − 2
… [ 1 ]
( u − 2 ) x
'
∫
3
ln( u − 2 )
u [
ln ( u − 2 )− λ ]
dλ … [ 2 ]
x ( 3 )= x
'
( 3 )= 0 ; y ( 3 )= 1
Sol.
En [1] 2 ( u − 2 )
2
x
' '
+( u − 2 ) y
'
= 4 u (ecuación de Legendre).
CS
u − 2 = e
t
→ si u = 3 3 − 2 = e
t
→ 1 = e
t
→t = 0
x
'
= e
− t
˙ x ; y
'
= e
− t
˙ y ; x
' '
= e
− 2 t
x ¨ − ˙ x
Reemplazando.
2 e
2 t
e
− 2 t
x − x ˙
t
e
− t
y ˙= 4
e
t
x − 2 x ˙ + y ˙= 8 + 4 e
t
L {}
y
s
2
− s
3
2
s ( s − 1 )
s ( s − 2 )
− s
3
2
s
2
( s − 2 ) ( s − 1 )
A
1
s
B
1
s
2
C
1
s − 2
D
1
s − 1
Operaciones Auxiliares.
s
2
s − 2
s − 1
+ B
s − 2
s − 1
2
s − 1
2
s − 2
Si
s = 0 → B =− 2 ; s = 2 → C =
; s = 1 → D =− 6 : s =− 1 → A =
− s
3
− 7 s
2
− 4 s + 8 = A
1
s
s − 2
s − 1
+ B
1
s − 2
s − 1
+ C
1
s
2
s − 1
+ D
1
s
2
s − 2
Si
s = 0 → B
1
= 4 ; s = 2 →C
1
=− 9 ; s = 1 → D
1
= 4 : s =− 1 → A
1
x ( s )=
s
s
2
s − 2
s − 1
L
− 1
y ( s )=
s
s
2
s − 2
s − 1
L
− 1
{
x
t
{
− 2 t +
e
2 t
− e
t
}
u
t
y ( t )=
{ 4 + 4 t − 9 e
2 t
t
} u ( t )
e
t
= u − 2 →t =ln
u − 2
{
x
t
{
− 2 ln
u − 2
u − 2
2
u − 2
}
u ( ln
u − 2
y ( t )={ 4 + 4 ln ( u − 2 ) − 9 ( u − 2 )
2
+ 4 ( u − 2 ) } u ( ln ( u − 2 ) )
