Transformada de Fourier y propiedades:
Transformada
Transformada Inversa
𝐹(𝜔)=∫𝑓(𝑡) 𝑒−𝑗𝜔𝑡
∞
−∞ 𝑑𝑡
𝑓(𝑡)=1
2𝜋∫𝐹(𝜔) 𝑒−𝑗𝜔𝑡
∞
−∞ 𝑑𝜔
𝑝𝑎(𝑡)
↔
2
𝜔𝑠𝑖𝑛(𝑎𝜔)
𝑞𝑐(𝑡)
↔
4
𝑐𝜔2 𝑠𝑖𝑛2(𝑐𝜔
2)
𝛿(𝑡)
↔
1
𝛿(𝑡 −𝑡0)
↔
𝑒−𝑗𝜔𝑡0
1
↔
2𝜋𝛿(𝜔)
𝑒𝑗𝜔𝑡0
↔
2𝜋𝛿(𝜔 −𝜔0)
𝑢(𝑡)
↔
𝜋𝛿(𝜔)+1
𝑗𝜔
𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡)
↔
𝜋[𝛿(𝜔+ 𝜔0)+𝛿(𝜔 −𝜔0)]
𝑠𝑖𝑛(𝜔0𝑡)
↔
𝑗𝜋[𝛿(𝜔+𝜔0)−𝛿(𝜔− 𝜔0)]
Identidad de Parseval
∫|𝑓(𝑡)|2
∞
−∞ 𝑑𝑡 =1
2𝜋∫|𝐹(𝜔)|2
∞
−∞ 𝑑𝜔
Linealidad
𝑎𝑓(𝑡)+𝑏𝑔(𝑡) ↔ 𝑎𝐹(𝜔)+𝑏𝐺(𝜔)
Derivación
En tiempo
𝑓′(𝑡)↔ 𝑗𝜔𝐹(𝜔)
𝑓(𝑛)(𝑡)↔ (𝑗𝜔)𝑛𝐹(𝜔)
En frecuencia
−𝑗𝑡𝑓(𝑡)↔𝑑
𝑑𝜔𝐹(𝜔)
(−𝑗𝑡)𝑛𝑓(𝑡)↔ 𝑑𝑛
𝑑𝜔𝑛𝐹(𝜔)
Traslación
En tiempo
𝑓(𝑡− 𝑡0)↔ 𝑒−𝑗𝜔𝑡0𝐹(𝜔)
En frecuencia
𝑓(𝑡) 𝑒𝑗𝜔𝑡0↔ 𝐹(𝜔 −𝜔0)
Modulación
𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 ↔ 1
2(𝐹(𝜔 −𝜔0)+𝐹(𝜔 +𝜔0))
Cambio de escala
𝑓(𝑎𝑡)↔ 1
|𝑎|𝐹(𝜔
𝑎)
𝑓(−𝑡)↔ 𝐹(𝜔)
Dualidad
𝐹(𝑡)↔ 2𝜋𝑓(−𝜔)
Convolución
En tiempo
𝑓(𝑡)∗𝑔(𝑡)=∫𝑓(𝑠)𝑔(𝑡 −𝑠)
∞
−∞ 𝑑𝑠 ↔ 𝐹(𝜔)𝐺(𝜔)
En frecuencia
𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)↔1
2𝜋𝐹(𝜔)∗𝐺(𝜔)
