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TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES CONOCIDAS
Función exponencial modificada.- Como primer ejemplo vamos a utilizar la función exponencial modificada
𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑎 𝑡𝜇 0 (𝑡)
Para un valor de “ a ” esta función exponencial está bien definido o asume un valor
de 0 (cero) a la izquierda del origen porque esta multiplicada por el paso unitario 𝜇 0 (𝑡). En muchas ocasiones solamente se escribe 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑎 𝑡, 𝑡 > 0 y es
subentendido que la señal es nula parat < 0.
La función exponencial asume diferentes formas dependiendo del valor del término
“ a ”, si 𝑎 > 0, la función exponencial es creciente, si “a < 0” es una función
exponencial decreciente; si “ a = 0 ” la expresión corresponde a la función escalón
unitario.
A continuación se plantean los gráficos de los tres casos.
𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑎 𝑡^ ∙ 𝜇 0 (𝑡), 𝑎 < 0 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑎 𝑡^ ∙ 𝜇 0 (𝑡), 𝑎 > 0
𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑎 𝑡^ ∙ 𝜇 0 (𝑡), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 = 0
Calcular la transformada de Laplace de la función original 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑎𝑡
Solución: Usando la definición
∞ 0
ℒ{𝑒−𝑎𝑡𝜇 0 (𝑡)}^ = ∫ 𝑒−(𝑠+𝑎)𝑡
+∞ 0
𝑑𝑡 = (^) 𝑏lim→+∞ ∫ 𝑒−(𝑠+𝑎)𝑡
𝑏 0
ℒ{𝑒−𝑎𝑡𝜇 0 (𝑡)}^ = (^) 𝑏lim→+∞ [−
]
𝑡= 0
𝑏
𝑠 − 𝑎 ,^ 𝑠𝑖^ 𝑠^ −^ 𝑎^ >^0
𝑠 − 𝑎 ,^ 𝑠𝑖^ 𝑠^ >^ 𝑎
En consecuencia
ℒ{𝑒−𝑎𝑡} =
𝑠 + 𝑎 ,^ 𝑠𝑖 𝑠 > 𝑎
Ejemplos.- consideremos las funciones 𝑓(𝑡) = 𝑒−4.5 𝑡, 𝑡 > 0 𝑦 𝑔(𝑡) = 𝑒4.5 𝑡, 𝑡 > 0 por lo tanto, sus transformadas es
𝑠 + 4.5 𝑦^ ℒ{𝑒
Rampa unitaria que la identificaremos con la siguiente simbología 𝑢 2 (𝑡) 𝑓(𝑡) = 𝑢 2 (𝑡)
Ejemplo Calcule ℒ{𝑡}. De la funciónf definida porf(t) = t para todo t 0.
Solución: Usando la definición
ℒ{𝑓(𝑡)}^ = ∫ (𝑡)𝑒−𝑠𝑡
∞ 0
Gráfico de funciónf(t) = t Grafico de T.L. def(t) = t
Semi parabólica 𝑢 3 (𝑡)
𝑡^2
2 )^ 𝑒
−𝑠𝑡
∞ 0
ℒ{𝑢 3 (𝑡)}^ = (^) 𝑏lim→+∞ ∫ (
𝑡^2
2 )^ 𝑒
−𝑠𝑡
𝑏 0
[ (^) 𝑏lim→+∞ [𝑡
0
𝑏
𝑏 0
𝑑𝑡]^ ]
2 𝑏lim→+∞^ [−^
𝑠^3 (𝑠
2 𝑡 2 + 2 𝑠𝑡 + 2 )]
𝑡= 0
𝑏
2 𝑏lim→+∞^ [^
𝑠^3 −^
𝑠^3
(𝑠^2 𝑏^2 + 2 𝑠𝑏 + 2 )]
𝑠^3 −^
2 𝑠^3 {^ 𝑏lim→+∞
[𝑒−𝑠𝑏(𝑠^2 𝑏^2 + 2 𝑠𝑏 + 2 )]}
Cuando s > 0, 𝑒−𝑠𝑏^ 𝑦 (𝑠^2 𝑏𝑡^2 + 2𝑠𝑏 + 2)^ diverge cuando 𝑏 → +∞; luego ℒ{𝑡}, diverge
Cuando s > 0, ℒ{𝑡} = 𝑠^13 − 2𝑠^13 𝑏→+∞lim
(𝑠^2 𝑡^2 +2𝑠𝑏+2) 𝑒𝑠𝑏
Aplicando la regla de L’Hopital:
𝑏→+∞^ lim
(𝑠^2 𝑏^2 + 2𝑠𝑏 + 2)
𝑒𝑠𝑏^ =^ 𝑏→+∞lim
𝑏→+∞^ lim
2𝑠^2 𝑏 + 2𝑠
𝑠𝑒𝑠𝑏^ ; 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 lim^ 𝑏→+∞
= (^) 𝑏→+∞lim
2𝑠^2
𝑠^2 𝑒𝑠𝑏^ = 0
Por lo tanto
ℒ{𝑡} =
𝑠^3 −
𝑠^3 (0) =
𝑠^3
Consecuentemente, la transformada de Laplace buscas es:
𝑠^3 ,^ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 > 0
Los resultados anteriores para las expresiones: impulso unitario, escalón unitario y rampa unitario y semi parábola fácilmente se puede generalizar a toda la familia de las señales singulares continuas que las podemos representar como 𝑢𝑛(𝑡), 𝑛 ≥ 0
La transformada de Laplace es.
ℒ{𝑢𝑛(𝑡)} =
Funciones de seno y coseno originales
𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) ∙ 𝜇 0 (𝑡) 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑛(𝑡) ∙ 𝜇 0 (𝑡)
Solución: Usando la definición
ℒ{𝑓(𝑡)} = ℒ{𝑠𝑒𝑛(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡
∞ 0
= (^) 𝑏lim→+∞ ∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑏 0
−e−stcos(𝑡) 𝑠 | 0
∞ −
𝑠 ∫^ e
−stsen(𝑡)
∞ 0
𝑠 ∫^ e
−stsen(𝑡)
∞ 0
𝑠 (^
𝑠^2 + 1)
𝑠^2 + 1 − 1
(𝑠^2 + 1)𝑠 =^
𝑠^2
(𝑠^2 + 1)𝑠
(𝑠^2 + 1) ,^ 𝑠𝑖 𝑠 > 0
Ejemplo.- Comprobar que la transformada de Laplace de la función real definida
para todo,n N por 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑛; para todo,t 0, es:
𝑠𝑛+1^ (𝐴)
Por inducción matemática
Si n = 0,
ℒ{𝑡^0 } = ℒ{1} =
𝑠0+1^ =
𝑠 ,^ 𝑠 > 0
Sin = 1
ℒ{𝑡^1 } = ℒ{𝑡} =
𝑠1+1^ =^
𝑠^2
Si planteamos que (A) es verdadera para “n”, es decir,
𝑠𝑛+1^ ,^ 𝑠 > 0
Veamos ahora que también (A) se cumple para “ n+1”, puesto que se cumple para
“ n”
ℒ{𝑡𝑛+1} = ∫^ 𝑒−𝑠𝑡
∞ 0
𝑡𝑛+^1 𝑑𝑡 𝑠𝑜𝑙. 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠
ℒ{𝑡𝑛+^1 }^ = (^) 𝑏lim→+∞ [
𝑡𝑛+^1 𝑒−𝑠𝑡
𝑏
𝑠 ∫^ 𝑒
𝑏 0
𝑑𝑡]
{𝑡𝑛} = 𝑛^ +^1
𝑠 (^
𝑠𝑛+^1 )
Por la hipótesis de inducción
𝑠𝑛+2^ ,^ 𝑠 > 0
Como (A) se cumple para n = 0, y supuesto que se cumple para n también se cumple para n+1, el principio de inducción permite concluir que:
𝑠𝑛+1^ ,^ 𝑠 > 0;^ ∀𝑛 ∈ 𝑁
