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Tema 5. Análisis Transitorio de Circuitos
de Primer y Segundo Orden
5.1 Introducción
5.2 Circuitos RC sin fuentes
5.3 Circuitos RC con fuentes
5.4 Circuitos RL
5.5 Circuitos RLC sin fuentes
5.6 Circuitos RLC con fuentes
C
R
V S
v( 0 )=V 0
v(t )
iC(t )
i (^) R(t )
VS
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Bibliografía Básica para este Tema:
[1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, “Fundamentos de circuitos
eléctricos”, 3ª ed., McGraw-Hill, 2006.
[2] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, “Introduction to electric circuits”,
7th ed., John Wiley & Sons, 2006.
Sadiku ‡ Temas 7 y 8
Dorf ‡ Tema 8 y 9
http://personales.unican.es/peredaj/AC.htm
- Esta presentación se encuentra, temporalmente, en:
3
5.1 Introducción
- En este tema se consideran circuitos que contienen diversas
combinaciones de dos o tres elementos pasivos (R, L, C)
- En la primera parte del tema se examinan dos tipos de circuitos
simples:
el circuito con una resistencia y un condensador (circuito RC)
el circuito con una resistencia y una bobina (circuito RL)
- Los circuitos RC y RL se analizarán aplicando las leyes de Kirchhoff.
- El análisis de circuitos resistivos da como resultado ecs. algebraicas.
Sin embargo, los circuitos RC y RL producen ecs. diferenciales.
- Las ecs. diferenciales resultantes del análisis de circuitos RC y RL son
de primer orden. Por ello, se les denomina Circuitos de Primer Orden
- Estudiaremos tanto circuitos con fuentes independientes como
circuitos sin fuentes independientes.
- Cuando no hay fuentes independientes, las tensiones y corrientes
en el circuito se deben a las condiciones iniciales en el condensador
o en la bobina (a la energía inicialmente almacenada en ellos).
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5.1 Introducción
- En la segunda parte del tema se estudiarán circuitos que tienen dos
elementos de almacenamiento.
- A estos circuitos se les conoce como Circuitos de Segundo Orden
porque se describen mediante ecs. diferenciales que contienen
derivadas segundas
- En concreto, estudiaremos la respuesta de circuitos RLC, tanto con
fuente independiente como sin ella.
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5.2 Circuitos RC sin fuentes
- Aplicando las condiciones iniciales
v( 0 )=V 0
resulta
A
RC
V A ˜=
Á
Ë
Ê
0 exp
- Luego, la solución buscada es:
Á
Ë
Ê
= - t RC
v t V
( ) 0 exp
- Esta solución indica que la tensión del circuito RC cae
exponencialmente desde el valor inicial hasta cero
iC(t )
R C
i (^) R(t )
v(t )
v( 0 )=V 0
8
5.2 Circuitos RC sin fuentes
v t Ve τ RC
t = =
( ) con
/ 0
t
- La solución anterior suele escribirse como
siendo una constante con unidades de tiempo denominada tiempo
de relajación o constante de tiempo del circuito
τ
“ La constante de tiempo de un circuito RC es el tiempo necesario
para que la tensión disminuya en un factor 1/e (un 63.21% de su
valor inicial) “ t =t fi v(t )=V 0 /eª 0. 3679 V 0
63.2%
9
5.2 Circuitos RC sin fuentes
- El tiempo τ da una idea de la rapidez de descarga del circuito.
- Cuanto más pequeño es τ más rápida es la descarga
- Después de un tiempo t = 5 τ la tensión ha llegado al 99% de
su valor final ‡ el tiempo efectivo de un transitorio es 5 τ
10
5.2 Circuitos RC sin fuentes
iC(t )
R C
i (^) R(t )
v(t )
- Cálculo de la corriente:
- Potencia disipada en R:
- Energía disipada hasta un instantet :
() 0 / t ( )
t R e R
V
R
v t i t
= =
t t 2 /t
2 / 0 / 0 ( ) 0
t t t R e R
V
e R
V
p t vi Ve
˜= ¯
Á
Ë
Ê
t t^ t 2 2 /t
0 0
2 /
2 0
0
2 /
2 0
0
( ) ()d d
t t (^) t t t t
R e CV e R
V
e t R
V
w t pt t
= = =- = -
Ú Ú
2 0 2
wR ( • )= CV
- La energía total disipada en R es igual a la energía almacenada en el
condensador en el instante inicial t = 0.
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Solución:
- La forma más directa de encontrar
la solución es reducir el circuito
problema a un circuito RC simple
como el de la figura, ya que la solución
de este circuito es conocida:
Req C
vC(t )
v t Ve τ R C
t C eq
/ ( )= 0 con =
- t
- Entonces, el problema se reduce a calcular R (^) eq, que es la resistencia
equivalente vista desde los terminales del condensador, esto es
= W
Req ( 12 8 )|| 5
- Por tanto, τ = Req C= 4 ¥ 0. 1 = 0. 4 s ( ) 15 V
- 5 t vC t e
y =
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- Una vez obtenido vC , la tensión vX se calcula mediante un divisor
de tensión:
( 15 ) 9 V
(^12 2). 5 t 2. 5 t v (^) x vC e e
= =
- y la corriente iX mediante la ley de Ohm:
0. 75 A
x^2.^5 t x e
v i
= =
15
-Ejemplo 2: El interruptor del circuito de la figura ha estado cerrado
mucho tiempo y se abre en t = 0. Calcular v(t) para t >= 0. A&S-3ª Ej 7.
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Solución:
- El interruptor ha estado mucho tiempo cerrado, por tanto en t = 0 -
estamos en régimen de corriente continua
- El problema se reduce a calcular V 0 = v(0) y R (^) eq
- Cálculo de V 0 :
- Mientras el interruptor está
cerrado el condensador está en
proceso de carga.
- Al abrir el interruptor, el
condensador se descargará a
través de las resistencias de 1 y 9 Ohms.
v t Ve τ R C
t eq
/ ( )= 0 con =
- t
- La solución buscada (t > = 0) es de la forma:
0 (^0 ) (^0 )
- La tensión en el condensador es continua ‡V =^ v =v
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5.3 Circuitos RC con fuentes
- Consideramos un condensador C inicialmente cargado v( 0 )=V 0
- Conectamos el condensador a una fuente de continua VS. También se
incluye una resistencia R y un interruptor.
- En el instante inicial, t = 0, se cierra el interruptor y el condensador
comienza a cargarse
C
R
V S
v( 0 )=V 0
v(t )
t= 0
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5.3 Circuitos RC con fuentes
- Podemos redibujar el circuito de la siguiente forma:
- La fuenteV (^) S representa la excitación o entrada al circuito RC
- La tensión en el condensadorv (t) puede interpretarse como la
respuesta o salida
- CuandoV (^) S es cte, al tipo de entrada del dibujo se le llama ESCALÓN,
ya que cambia bruscamente de 0 a Vs
C
R
t= 0
VS
v(t)
0 t
V S
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5.3 Circuitos RC con fuentes
- En t = 0 se cierra el interruptor, luego para t >= 0 el circuito
resultante es:
- Para resolver el circuito emplearemos análisis de nudos
- Resolución del circuito:
C
R
V S
v( 0 )= v( 0 )=V 0
v(t )
- La tensión en el condensador es continua, luego
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5.3 Circuitos RC con fuentes
- Tenemos 2 nudos más el de
referencia
C
R
V S
v( 0 )=V 0
v(t )
iC(t )
i (^) R(t )
VS
- Aplicamos la KCL al nudo v(t):
i (^) R (t )=iC(t )
- Según las relaciones i-v:
- Sustituyendo en la KCL:
R
V v i
S R
t
v iC C d
d
t
v C R
V (^) S v
d
d
t v V RC
v
S
d
d 1 =-
fi
Ú Ú
vt t
V S
t v V RC
v
0
() d
d 1
0
( )
t vt S (^) V RC
t v V
0
()
0
fi ln^ - =-
25
5.3 Circuitos RC con fuentes
- Respuesta transitoria y respuesta en estado estable
- La respuesta completa de un circuito, v, puede dividirse en dos
contribuciones: 1) la respuesta transitoria, vt
- la respuesta en estado estable, vss
v =vt +v SS
- Matemáticamente:
- Para el circuito RC:
( )
/ t ( ) 0
t v t VS V VS e
= + - (respuesta completa)
26
5.3 Circuitos RC con fuentes
( )
/ t 0
t vt V VS e
= -
vSS =V S
(respuesta transitoria)
(respuesta en estado estable)
“La respuesta transitoria de un circuito es la parte de la respuesta
completa que se anula con el tiempo (se hace cero cuanto t -> inf)”
“La respuesta en estado estable de un circuito es la parte de la
respuesta completa que permanece mucho tiempo después de aplicada
la excitación (la parte que queda cuando t -> inf)”
( )
/t ( ) 0
t v t VS V VS e
= + - (respuesta completa)
- Para el circuito RC:
- Para el circuito RC:
- Nótese que, cuando la fuente tiene valor cte, la respuesta en estado
estable es la misma que la repuesta de continua!!!
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-Ejemplo 3: El interruptor de la figura ha estado mucho tiempo en la
posición A. En t = 0 se mueve a la posición B. Calcular v(t) para t >= 0 y
su valor en t = 1 s. A&S-3ª Ej 7.
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Solución:
- Comenzamos resolviendo para t < 0 (con el interruptor en A):
- El interruptor ha estado mucho tiempo en A ‡ estamos en cc
- Aplicamos la fórmula del divisor de tensión:
24 15 V
5 k 3 k
5 k ( 0 ) ¥ =
v
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-Ejemplo 4: Después de pasar mucho tiempo, los dos interruptores del
circuito de la figura cambian de estado en t = 0. El interruptor S1 se
abre y el interruptor S2 pasa a la posición B. Calcular v e i para
t >= 0. A&S-3ª Ej 7.
v +
10 V
10 W
20 W F 4
1
t= 0
t = 0 1
S
S 2
A
B
i
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Solución:
- La corriente en el condensador puede ser discontinua en t = 0,
mientras que la tensión no. Por tanto, es mejor calcular antes la tensión
- Comenzamos determinando las condiciones iniciales en t = 0 -
- El circuito equivalente en t = 0 -^ es:
v +
10 V
10 W
20 W
i
- Se observa que: ( 0 )= 10 V - v 1 A 10
i
- Entonces la condición inicial para v es:
( 0 )= ( 0 )= 0 = 10 V
v v V
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- Para t >= 0 el circuito equivalente se muestra en la figura:
v
10 W
20 W F 4
+^1
30 V -
i ( )
/ t ( ) Th 0 Th
t v t V V V e
= + -
- La solución para v(t) es:
- Para determinar V (^) Th y R (^) Th debemos calcular el equivalente Thevenin
visto desde los terminales del condensador:
30 20 V
Th ¥ =
V = = W
RTh 10 || 20
con τ =RThC
( ) 20 10 V
- 6 t v t e
= -
s 3
τ = RTh C= ¥ =
- Luego:
- La tensión en la resistencia de 10 Ohms es: 30 - v(t )
- Entonces: (^1) A
10
- 6 t e
vt i t
= +
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5.4 Circuitos RL
- Conectamos la bobina a una fuente de valor cte VS. También se
incluye una resistencia R y un interruptor.
- En el instante inicial, t = 0, se cierra el interruptor y comienza a
circular corriente
- Consideramos una bobina L con una corriente inicial i ( 0 )=I 0
L
R
t= 0
VS
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- Al igual que en el circuito RC, la respuesta i(t) tiene una parte
transitoria y otra parte permanente
5.4 Circuitos RL
/ t ( ) 0
S S t e R
V
I
R
V
i t
˜ ¯
Á
Ë
Ê
= + - (respuesta completa)
(respuesta transitoria)
/ t 0
S^ t t e R
V
i I
˜ ¯
Á
Ë
Ê
(respuesta en estado estable)
R
V
i
S SS =
- Nota: si el interruptor cambia en t = t 0 la respuesta completa es:
( )/t 0 ( ) S^ S e t t^0 R
V
I
R
V
i t
˜ ¯
Á
Ë
Ê
38
5.4 Circuitos RL
/ t ( ) 0
S S t e R
V
I
R
V
i t
˜ ¯
Á
Ë
Ê
R I 0 =^0
V
I
S 0 >
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5.4 Circuitos RL
- Conectamos la bobina a una red con resistencias y fuentes de valor
cte a través de un interruptor, como se muestra en la figura
- Consideramos una bobina L con una corriente inicial i( 0 )=I 0
- Para obtener la corriente en la bobina i(t) (para t>0) basta calcular
el equivalente Thevenin visto desde los terminales de la bobina y
aplicar la solución conocida para el circuito RL:
t≥ 0
¤
Th
/
Th
Th 0 Th
Th ( ) con R
L
e R
V
I
R
V
i t
t
˜
Á
Á
Ë
Ê
t
R Th
V Th
t= 0
i(t) L
Red con Resistencias
y Fuentes
t= 0
i(t) L
40
- Ejemplo 5: Calcular i(t) en el circuito de la figura para t > 0.
Supóngase que el interruptor ha estado cerrado mucho tiempo
A&S-3ª Ej 7.
