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Enseñanzas para transformaciones lineales
Tipo: Apuntes
1 / 13
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Unidad 6 : ÁLGEBRA LINEAL
6.2 Transformaciones lineales
Podemos asociar los elementos de un espacio vectorial ℝ
𝑛
con los elementos de otro espacio
vectorial ℝ
𝑚
(en particular 𝑚 = 𝑛) de ahí aparece el concepto de transformación lineal.
Definición
Sea T una aplicación de ℝ
𝑛
en ℝ
𝑚
𝑛
𝑚
). T se llama Transformación Lineal si se
cumple:
i. 𝑇
ii. 𝑇
, ∀ 𝜆 escalar.
Propiedades
𝑛
𝑚
es una trasformación lineal entonces se cumple 𝑇( 0
ℝ
ℝ
𝑚 (una
transformación lineal convierte el elemento neutro del espacio de salida en el
elemento neutro del espacio de llegada).
Que es mismo decir:
Si 𝑇
ℝ
ℝ
𝑚 entonces 𝑇: ℝ
𝑛
𝑚
no es una trasformación lineal.
1
2
1
2
) propiedad de linealidad (una transformación
lineal convierte una combinación lineal de vectores del espacio de partida en otra
transformación lineal en el espacio de llegada con los mismos coeficientes, siendo los
vectores las transformaciones de cada vector del conjunto inicial).
1
1
2
2
𝑛
𝑛
1
1
2
2
𝑛
𝑛
Ejemplo 1:
Una aplicación 𝑇: ℝ → ℝ definida por 𝑇
= 𝑎𝑥 + 𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son coeficientes reales
distintos de cero ¿es una transformación lineal?
Solución:
Si 𝑣 1
2
, tenemos que
1
2
1
2
1
2
1
2
lo cual implica que 𝑇 no es una transformación lineal.
También vemos que 𝑇( 0 ) ≠ 0 ; por tanto, no es trasformación lineal.
Matriz asociada a una transformación lineal
Dada una transformación lineal 𝑇: ℝ
𝑛
𝑚
, existe una única matriz 𝐴 ∈ ℝ
𝑚×𝑛
tal que
𝐴 es una matriz de orden 𝑚 × 𝑛, cuya 𝑖 −ésima columna es el vector 𝑇(𝑒 𝑖
), donde 𝑒
𝑖
es un
vector canónico de ℝ
𝑛
1
2
𝑛
)] , donde 𝑇(𝑒
𝑖
1 𝑖
𝑚𝑖
Dicho en palabras, la matriz de la transformación lineal se puede obtener con los vectores
columna que corresponden a las imágenes 𝑇
𝑖
de los vectores canónicos 𝑒
𝑖
de ℝ
𝑛
Ejemplo 4 :
La matriz asociada a. 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑥) = (
Note que, para la coherencia de las operaciones, el vector se escribe en forma de columna
detrás de la matriz.
Ejemplo 5 :
Hemos establecido que toda transformación lineal 𝑇: ℝ
𝑛
𝑚
tiene una matriz asociada
𝑚×𝑛
, tal que 𝑇(𝑣) = 𝐴𝑣.
De forma recíproca podemos establecer que toda transformación 𝑇: ℝ
𝑛
𝑚
definida
como: 𝑇(𝑣) = 𝐴𝑣 donde A es una matriz 𝐴 ∈ ℝ
𝑚×𝑛
es una transformación lineal.
Podemos comprobar eso considerando las propiedades de las matrices:
𝟏
2
1
2
1
2
1
2
Del mismo modo: Sea 𝜆 ∈ ℝ
1
1
1
1
1
Ejemplo 6 :
Apliquemos sucesivamente dos transformaciones lineales a un vector de ℝ
𝑛
1
𝑛
𝑚
y luego 𝑇
2
𝑚
𝑛
1
1
2
𝑛
1
1
𝑛
1
𝑚
) , siendo 𝐴
1
la matriz de la transformación 𝑇
1
Luego: 𝑇
2
1
2
𝑚
2
1
𝑚
) , siendo 𝐴
2
la matriz de la transformación 𝑇
2
entonces: 𝑇 2
1
2
𝑚
2
1
𝑚
2
1
1
𝑛
), lo cual significa que la matriz de la
aplicación sucesiva de dos transformaciones lineales es el producto de tales matrices en el
orden en el que se aplican las transformaciones. La aplicación sucesiva de dos
transformaciones lineales se llama composición de transformaciones lineales y se representa
con el símbolo 𝑇 2
1
. Es obvio que la composición de transformaciones no es conmutativa lo
mismo que no lo es la multiplicación de matrices.
Ejemplo 7:
Determine una transformación lineal 𝑇: ℝ
3
3
de modo que
1
1
2
2
3
3
1
3
donde 𝐸 = {𝑒
1
2
3
} es la base canónica de ℝ
3
Solución:
Como 𝐸 = {𝑒 1
2
3
} es la base canónica de ℝ
3
Ahora elegimos un representante de ℝ
3
y
z
b
c
De donde tenemos que
y
z
3. Proyección en el plano XY.
La aplicación 𝑇
)es una transformación lineal. Su
objetivo es la de proyectar un vector del espacio tridimensional en el plano XY.
4. Rotación 2D
Sea 𝛼 un ángulo cualquiera, la rotación del vector
está definido por:
𝛼
𝑥 cos 𝛼 − 𝑦 sin 𝛼 , 𝑥 sin 𝛼 + 𝑦 cos 𝛼
cos −sen
sen cos
Observaciones
1
= ( 1 , 0 ) y 𝑒
2
= ( 0 , 1 ) se convierten a través de 𝑇
𝛼
en los vectores 𝑒′
1
cos 𝛼 ,sen
y 𝑒′
2
− 1
𝑇
. Las matrices
con tal propiedad son llamadas ortogonales.
|(𝑥, 𝑦)| = |(𝑥cos𝛼 − 𝑦 sin 𝛼 , 𝑥 sin 𝛼 + 𝑦 cos 𝛼)| = √𝑥
2
2
𝛽 ∘
𝛼
tiene como matriz a
). Nótese que en este caso la composición es
conmutativa.
Rotación alrededor de unos de los ejes coordenados en el espacio 3D
1. Rotación alrededor del eje Z (𝑻
𝜽,𝒁
En este caso tenemos que los vectores paralelos al eje z permanecen invariantes:
Los vectores canónicos quedan transformados de la siguiente forma:
𝜃,𝑍
1
cos 𝜃 , sin 𝜃 , 0
𝜃,𝑍
2
− sin 𝜃 , cos 𝜃 , 0
𝜃,𝑍
3
Recordamos que la matriz de la transformación se obtiene al usar estos vectores
como columnas. Luego tenemos que:
𝜃,𝑍
cos (𝜃) −𝑠𝑒𝑛(𝜃) 0
sen(𝜃) cos (𝜃) 0
Para proceder con las siguientes rotaciones, debemos recordar
que el espacio tridimensional está provisto de la orientación
dextrógira:
Y eso nos permite visualizar los ejes positivos del sistema de coordenadas de las tres
formas equivalentes:
Ejemplo 10 :
Determine dos transformaciones lineales que deformen el paralelogramo de la figura 1 en el
paralelogramo de la figura 2.
Solución.
Caso 1: 𝑇( 3 ; 0 ) = ( 3 ; 0 ) y 𝑇( 4 ; 2 ) = (− 4 ; 2 ).
Tenemos que 𝑇( 1 ; 0 ) = ( 1 ; 0 ) y 𝑇( 4 ; 2 ) = 4 𝑇( 1 ; 0 ) + 2 𝑇( 0 ; 1 ) = (− 4 ; 2 ).
Luego 4 ( 1 ; 0 ) + 2 𝑇( 0 ; 1 ) = (− 4 ; 2 ), entonces 𝑇( 0 ; 1 ) = (− 4 ; 1 ).
Por tanto,
Caso 2: 𝑇( 3 ; 0 ) = (− 4 ; 2 ) y 𝑇( 4 ; 2 ) = ( 3 ; 0 ).
Tenemos que 𝑇( 1 ; 0 ) = (− 4 / 3 ; 2 / 3 ) y 𝑇( 4 ; 2 ) = 4 𝑇( 1 ; 0 ) + 2 𝑇( 0 ; 1 ) = ( 3 ; 0 ).
Luego 4 ( 1 ; 0 ) + 2 𝑇( 0 ; 1 ) = ( 3 ; 0 ), entonces 𝑇( 0 ; 1 ) = ( 25 / 3 ; − 4 / 3 ).
Por tanto,
4
3
25
3
2
3
4
3
a) 𝑇: ℝ
2
2
b) 𝑇: ℝ
2
2
c) 𝑇: ℝ
3
2
d) 𝑇: ℝ
2
2
→ ℝ
2
tal que:
a. La matriz asociada a la TL dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦 − 𝑧) es
b. La matriz asociada a la TL dada por 𝑇
= (𝑥 − 𝑦, 𝑧, 𝑦 − 𝑧) es
a. Halle la regla de correspondencia de 𝑇
b. Determine el vector (𝑥, 𝑦) tal que 𝑇
3
3
una transformación lineal tal que:
Determine la matriz asociada a 𝑇.
6. Sea la transformación lineal 𝑇: ℝ
2
2
tal que transforma el rectángulo de vértices
( 0 ; 0 ), ( 2 ; 0 ), ( 0 ; 3 ) y ( 2 ; 3 ) en el paralelogramo de vértices ( 0 ; 0 ), ( 3 ; 0 ), (− 1 ; 2 ) y ( 2 ; 2 ).
Determine la regla de correspondencia de T.
7. Sea la transformación lineal 𝑇: ℝ
2
2
tal que transforma el triángulo de vértices ( 0 ; 0 ),
( 4 ; 0 ) y ( 2 ; 3 ) en el triángulo de vértices ( 0 ; 0 ), ( 3 ; 2 ) y ( 0 ; 4 ). Determine la regla de
correspondencia de T.
2
→ ℝ una función lineal. Si 𝑓
= 3 y 𝑓
= 1 , calcule:
T
POOLE, David (2011) Álgebra lineal una introducción moderna. México, D.F.: Cengage
Learning. (512.5 POOL/ES)
