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Guia de Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
1 / 8
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¡No te pierdas las partes importantes!
Profesores MA
▪ Núcleo de una transformación lineal
▪ Imagen de una transformación lineal
▪ Teorema de las dimensiones
Profesores MA
Definición
Dada la Transformación Lineal 𝑇: ℝ
𝑛
𝑚
, se define
Ker(𝑇) = {𝑣 ∈ ℝ
𝑛
ℝ
Nota: 𝑣 ∈ Ker(𝑇) ⟺ 𝑇
ℝ
𝑚
Im
𝑚
= 𝑤, para algún 𝑣 ∈ ℝ
𝑛
Nota: 𝑤 ∈ Im
= 𝑤 para algún 𝑣 ∈ ℝ
𝑛
Ejemplo 1
Sea 𝑇: ℝ
3
2
una transformación lineal dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2 𝑥 + 2 𝑦 + 2 𝑧)
a) Determine si ( 1 , 0 , − 1 ) pertenece al núcleo de 𝑇.
b) Determine si
pertenece a la imagen de 𝑇.
Solución
a) Como 𝑇( 1 , 0 , − 1 ) = ( 0 , 0 )
Entonces ( 1 , 0 , − 1 ) ∈ Ker(𝑇)
b) Veamos si existe (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ
3
tal que 𝑇
(el sistema no tiene solución)
Por tanto, ( 1 , 1 ) ∉ Im(𝑇).
𝑛
𝑚
Ker(𝑇)
Im(𝑇)
Profesores MA
Ejemplo 3 :
Una transformación lineal 𝑇: ℝ
3
3
tal que 𝑇(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑎 + 3 𝑐, 0 , 2 𝑎 + 6 𝑐)
a) Determine el núcleo de 𝑇 y una base para éste y su dimensión.
b) Determine la imagen de 𝑇, una base para ésta y su dimensión.
c) Verifique el teorema de las dimensiones.
Solución
a) Ker
3
Tenemos 𝑎 + 3 𝑐 = 0 , entonces 𝑎 = − 3 𝑐
Luego,
Ker(𝑇) = {(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℝ
3
Ker(𝑇) = {(− 3 𝑐, 𝑏, 𝑐) ∈ ℝ
3
Ker
Ker(𝑇) = gen
Luego, el conjunto
es una base de Ker
pues:
= gen
Por tanto, dim(Ker(𝑇)) = 2
b) Im
3
Tenemos 2 𝑚 = 𝑝 ∧ 𝑛 = 0
Im
3
Im
3
Im(𝑇) = {𝑚( 1 , 0 , 2 ) ∈ ℝ
3
Profesores MA
Im(𝑇) = gen{( 1 , 0 , 2 )}
Entonces, el conjunto
es una base de Im
∴ dim
Im (𝑇)
c) dim(Ker
) + dim(Im
) = 2 + 1 = 3 = dim (ℝ
3
Ejemplo 4 :
Una transformación lineal 𝑇: ℝ
3
3
tal que
a) Determine el núcleo de 𝑇 y una base para éste y su dimensión.
b) Determine la imagen de 𝑇, una base para ésta y su dimensión.
Solución
a) Ker
3
Formamos la matriz escalonada y la escalonamos:
𝐹
2
1
𝐹
3
1
Luego,
Ker
3
Ker(𝑇) = {(𝑦, 𝑦, −𝑦) ∈ ℝ
3
Ker
Ker(𝑇) = gen
Luego, el conjunto
es una base de Ker
pues:
Por tanto, dim(Ker(𝑇)) = 1
Profesores MA
3
2
una transformación lineal tal que 𝑇( 1 , 0 , 0 ) = (− 1 , 2 ),
a) Calcule 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧).
b) Determine una base del núcleo de 𝑇.
c) Determine una base de la imagen de 𝑇.
4
3
dada por:
Determine una base para el núcleo e imagen de 𝑇.
3
3
una transformación lineal definida por 𝑇
a) ¿Cuáles, si hay alguno, de los siguientes vectores están en Ker(𝑇)?
(i) ( 1 , 1 , 0 ) (ii) ( 1 , − 1 , 0 ) (iii) ( 0 , 0 , 0 )
b) ¿Cuáles, si hay alguno, de los vectores en el inciso a) están en Im(𝑇)?
3
2
una transformación lineal definida por 𝑇
Determine el núcleo de 𝑇 y su dimensión. ¿Qué representa geométricamente el núcleo?
3
3
definida por:
Determine la imagen de 𝑇 y su dimensión.
3
3
una transformación lineal definida por:
Determine el núcleo de 𝑇 y la dimensión de Im(𝑇).
3
3
definida por:
3
2
una transformación lineal definida por:
a) Determine el núcleo de la transformación lineal y su dimensión.
b) Determine la Imagen de la transformación lineal y su dimensión.
3
3
definida por:
a) Determine el núcleo de la transformación lineal y su dimensión.
b) Determine la Imagen de la transformación lineal y su dimensión.
Profesores MA
4
3
definida por:
Determine una base para su núcleo y encuentre un conjunto generador de su imagen.
3
3
, definida por:
Determine una base para el núcleo y la imagen de 𝑇.
b) Ker
c) Im
2
∈ Ker(𝑇),
∈ Ker(𝑇)
b)
∈ Im(𝑇),
∈ Im(𝑇)
3
, dim(Im
Im(𝑇) = gen({( 3 ; 1 ; 0 ), ( 0 ; 2 ; 1 )}), dim(Im(𝑇)) = 2.
Base de Im(𝑇): {( 1 ; 2 ; 1 ), ( 0 ; 1 ; 1 )}
Poole, D. (2011). Álgebra lineal: una introducción moderna. Cengage Learning Editores.
