Triangulo Rectángulo - Resolución, Diapositivas de Matemáticas

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Proyecto de

Trigonometría

Apellidos y Nombres: Josué Caleb

Hurtado Falcón

Grado y Sección: 4° “San José”

Docente: Albino Calderón Sánchez

Curso: Trigonometría

I.E.P “ALFA”

Marco Teórico Resolver un triángulo consiste en calcular la medida de sus tres lados y de sus tres ángulos. ¿Qué resultados se necesitan para poder resolver un triángulo rectángulo? Para resolver triángulos rectángulos tendremos en cuenta que:

• La suma de los dos ángulos agudos es 90º.
• La suma de dos lados siempre es mayor que el otro lado.
• Sus lados están relacionados entre sí a través del teorema de Pitágoras: 𝒂𝟐^ + 𝒃𝟐^ = 𝒄𝟐
• Los lados y los ángulos se relacionan entre sí a través de las definiciones de las razones trigonométricas.

Demostración del Teorema de Pitágoras Determina el valor de “x” en el siguiente triángulo. ¡Podemos usar el teorema de Pitágoras! Tenemos un triángulo rectángulo así que podemos usar el teorema de Pitágoras.

• La ecuación para el teorema de Pitágoras es: 𝑎^2 + 𝑏^2 = 𝑐^2 donde “a” y “b” son las longitudes de los dos catetos del triángulo y “c” es la longitud de la hipotenusa. Luego: 𝑎^2 + 𝑏^2 = 𝑐^2 Teorema de Pitágoras 42 + 12 = 𝑥^2 Sustituye las longitudes laterales 16 + 1 = 𝑥^2 Evalúa 42 𝑦 12 17 = 𝑥^2 Suma 16 y 1 17 = 𝑥^2 Toma la raíz cuadrada de cada lado

Teorema 1 Dado el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide “a” y uno de sus ángulos agudos es “θ”, entonces sus catetos medirán: senθ = 𝑥 𝑎

senθ = 𝑥 𝑎

Teorema 2 Dado un triángulo rectángulo donde un cateto mide “a” y su ángulo adyacente mide “θ”, entonces la hipotenusa y el otro cateto medirán: tgθ = 𝑥 𝑎

secθ = ℎ 𝑎

Teorema 3 Dado un triángulo rectángulo donde un cateto mide “a” y su ángulo opuesto mide “θ”, entonces el cateto adyacente y la hipotenusa medirán: ctgθ = 𝑦 𝑎

cscθ = ℎ 𝑎

Regla Práctica Para calcular la longitud de un lado del triángulo, se puede aplicar la siguiente regla práctica:

= R. T (ángulo)

2 ) Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Cada uno de los ángulos agudos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo. Del siguiente gráfico, determinar: P = tg θ – ctg θ.

RESOLUCIÓN

Primero AD = BC = a ctg θ = AB BC Reemplazando: ctg θ = a+a tg θ a ctg θ = a( 1 +tg θ) a ctg θ = 1 + tg θ

• 1 = tg θ – ctg θ P = - 1

RESPUESTA: - 1

Los triángulos rectángulos tienen propiedades especiales que nos permiten resolver una gran cantidad de situaciones geométricas y son la base de las identidades trigonométricas. A partir de un triangulo rectángulo se definen los senos, cosenos y tangentes (y sus inversas). Estas funciones a su vez tienen amplias aplicaciones en la física, porque describen fenómenos físicos como la corriente alterna, el movimiento ondulatorio, (péndulo), ondas electromagnéticas etc... ¿Cómo aplicamos “Triángulos Rectángulos” en la vida cotidiana?

Marco Teórico Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical; y es que en la práctica son formados por una línea visual y una línea horizontal ; como resultado de haberse efectuado una observación. En el gráfico tenemos: LINEA VISUAL: Es la línea recta que une el ojo de un observador (generalmente una persona) con un objeto que se observa. LINEA HORIZONTAL: Es la línea recta paralela a la superficie horizontal referencial que pasa por el ojo del observador.

ÁNGULO DE ELEVACIÓN (α) Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto a observar se encuentra por encima de la línea horizontal. ÁNGULO DE ELEVACIÓN (β) Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal. 0 ° < α < 90 ° 0 ° < β < 90 °

Propiedad Usa razones trigonométricas 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 Senα Cosα Tgα Ctgα Secα Cscα

DEMOSTRACIÓN Si nos dan el dato de que el cateto opuesto es 6, y nos piden hallar la hipotenusa: (Usando la propiedad) csc30° = 𝑐 6 2𝑘 𝑘 k = 6; por lo tanto c = 2(6) c = 12 c

Desarrollo de Ejercicios

1. En la parte superior de un edificio se encuentra una bandera; a 12 m de distancia del edificio se observa la parte inferior y superior del asta de la bandera con ángulos de elevación α y β, respectivamente. Halla la altura del asta si: Tanα = 1,5 y Cotβ = 0,6.

RESOLUCIÓN

DATO : Tanα = 1, Reemplazando: 𝑎 12 = 3 2 Obtenemos a = 18 DATO : Cotβ = 0, Reemplazando: 12 𝑥+𝑎 = 6 10 20 = x + a 20 = x+ x = 2

RESPUESTA: 2 m

Debido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posición de los objetos dando referencias que nos permitan la mayor precisión para ubicarlos , nos vemos en la realidad de emplear estos ángulos, los cuales nos ayudarán a resolver diferentes situaciones. Por ejemplo cuando miremos lo alto de una torre o cuando desde una cima miremos un bote en el mar. ¿Cómo aplicamos “Ángulos Verticales” en la vida cotidiana?