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UNIDAD 5: Trigonometría II
ACTIVIDADES-PÁG. 112
1. La primera igualdad es verdadera y las otras dos son falsas. Para probarlo basta con utilizar la calculadora. 2. El área del círculo es π · 20^2 = 1256,64 cm^2.
El lado y la apotema del heptágono regular de radio 20 cm miden 17,36 y 18,02 cm, respectivamente. Su
área mide 1094 , 90. 2
cm
El área entre el círculo y el hexágono será 1256,64 – 1094,90 = 161,74 cm^2.
3. Las soluciones de las ecuaciones son:
a)
x k k Z
x k k Z
x k k Z
x k k Z tg x 2 2
1 1
2 2
1 1
112 , 5 º 180 º· ;
b)
x k k Z
x k k Z
x
2 2
1 1
cos( ) 0 , 5
c)
x k k Z
x k k Z senx senx 2 2
1 1
330 º 360 º· ;
4. El valor de la expresión es:
3
3 30 º 2 cos 180 º·cos 30 º
2 cos 180 º· 30 º
cos 210 º cos 150 º
210 º 150 º
tg
sen sen sen
ACTIVIDADES-PÁG. 125
1. Llamamos B a las vacas blancas y N a las vacas negras:
5 · (4B + 3N) = 4 · (3B + 5N) 20B + 15N = 12B + 20N 8B = 5N
Dan más leche las vacas negras.
2. El número de naranjas de la pirámide es:
12 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + 14^2 + 15^2 = 1240 naranjas.
ACTIVIDADES-PÁG. 127
1. a) Procedemos como se explica en el texto y tecleamos los siguientes textos:
“cos (α + β) = “+cos(α + β)
“cos α · cos β – sen α · sen β = “+(cos(α)cos(β)- sin(α)sin(β))
y obtenemos un dibujo como el siguiente:
b) Procedemos como se explica en el texto y tecleamos los siguientes textos:
“tg (α + β) = “+tan(α + β)
tg tg
tg tg
1 ·
= “+((tan(α)+tan(β))/(1-tan(α)*tan(β)))
y obtenemos un dibujo como el siguiente:
3. Procediendo como en el ejercicio anterior, obtenemos:
a) sen x + cos x = 1 en [0, 2π]
b) cos x + 3 sen x = 2 en [0, 4π]
ACTIVIDADES-PÁG. 128
1. Si 5
sena y el ángulo a está en el segundo cuadrante, entonces 4
cos a ytga .
Si 5
cos b y el ángulo b pertenece al cuarto cuadrante, entonces 4
senb ytgb
Teniendo en cuenta los teoremas de adición, obtenemos:
a) sen (a + b) = 25
b) cos (a - b) = - 1 c) tg (a + b) = 7
2. Teniendo en cuenta las formulas del ángulo doble y los teoremas de adición, obtenemos:
a) sen 90º = sen (2 · 45º) = 2 · sen 45º · cos 45º = 1
b) cos 90º = cos (2 · 45º) = cos^2 45º - sen^2 45º = 0
c) sen 120º = sen (2 · 60º) = 2
d) cos 120º = cos (2 · 60º) = 2
e) tg 120º = tg (2 · 60º) = 3
f) sen 105º = sen (45º + 60) = 4
g) cos 105º = 4
h) tg 105º = 2 3
3. Teniendo en cuenta que tg a = 1,5 y tg b = - 2,5 y los teoremas de adición, obtenemos:
a) tg (a + b) = - 0,
b) tg (a – b) = - 1,
c) tg (2a + b) = 0,
En este último apartado hay que tener en cuenta que tg 2a = - 2,4.
4. Para ello es suficiente con utilizar los teoremas de adición para el seno, coseno y tangente estudiados en
esta unidad.
5. Desarrollando y operando, obtenemos:
sen a · sen (b – c) – sen b · sen (a – c) + sen c · sen (a – b) =
= sen a · sen b · cos c – sen a · sen c · cos b - sen b · sen a · cos c + sen b · sen c · cos a + sen c · sen a ·
· cos b – sen c · sen b · cos a = 0
6. Tenemos en cuenta la relación:
cos (a + b) · cos (a – b) = (cos a · cos b – sen a · sen b) · (cos a · cos b + sen a · sen b) = = cos^2 a · cos^2 b – sen^2 a · sen^2 b
a)
a sen a
sena a
a
sena
a
sena
a
sen a
tga
tg a 2 2 cos
1 2 cos
cos
cos
cos 2
cos
(cos ) 1 2 cos
cos
1 2 cos
cos
cos 2 2
2
2 2
a sen a
a sena sena a
a sen a
sena a
a sena
a sena
b)
sena a
sena a sen a
a
sen a
sen a
sena a
a
sen a
tg a
sena
a
sen a
2 cos
2 (cos )
2 cos
2 cos 2
2 cos
cos
2 2 2 2 2
a a
a cos cos
cos
2
12. La comprobación puede hacerse de la siguiente manera:
a) sena a sen a a
sena a
a
a sen a
a
sena
a
sen a
a
sena
tg a
tg a 2 cos 2 cos
2 cos
cos
cos
cos
cos
cos
2
2
2 2
2
b) cotg a – 2 cotg 2a = tga a
sena
sena a
sen a
sena a
a a sen a
sen a
a
sena
a
cos cos cos
cos cos
2
cos 2 cos 2
2 2 2 2
c) 2
cos 2
1 cos
2
cos
cos
cos
2
a 2 a
sena
sena sena a
a
sena
sena a
sena
tga
tg a sena
d) a tga tg a
tg a tga
tga tg a
tga
tga
tg a tg a
tg a cos 2 ( 1 )
2
2
ACTIVIDADES-PÁG. 129
13. Los valores pedidos son:
a sen 0 , 7559 7
cos
a s
14. Si 3
sena y el ángulo es del cuarto cuadrante, el valor del coseno es 3
cos a .
El valor de tg a/2 es:
3 8
3 8
3
8 1
3
8 1
1 cos
1 cos
2
a
a a tg
15. Los valores de las razones pedidas son: 9
cos a y 9
sena .
16. Queda expresado del siguiente modo:
a) 2
2
·cos 2
·cos 2
1 cos 1 cos
2 2 2 a tg a a sen
a sen
a a sen
a sen
a
sena
a
b)
1 cos
cos · 1 cos
2 ·cos
1 cos
cos · 1 cos 2
2 2
(^2 2) a sen
a
a
a sen a
sena a
a
a
a
sen a
2
2
( 2 cos )· 2 cos
·cos 2
·cos 2
2 · 2
2 2
2 a tg a a
a
a a sen
17. Los resultados son:
a) 50 2 cos 100 ·cos 50
2 cos 100 · 50
cos 150 º cos 50 º
tg
sen sen sen
b) cot 135 · 60 2 135 ·cos 60
2 cos 135 · 60
195 º 75 º
g tg sen
sen
sen sen
sen sen
= - tg 60 = - 3
c) 30 2 130 ·cos 30
cos 160 º cos 100 º tg sen
sen sen
sen sen
= - 3
3
18. a) Desarrollamos el numerador de la fracción teniendo en cuenta los teoremas de adición, operamos y
vemos que coincide con el numerador, por tanto, el resultado de la fracción se 1.
b) Se demuestra del siguiente modo:
● sen 2x – cos x = 0 cos x ( 2 sen x – 1)= 0 cos x = 0; sen x = 2
x 2 = 90º +
180º · k 2 con k 2 Z; x 3 = 30º + 360º · k 3 con k 3 Z y x 4 = 150º + 360º · k 4 con k 4 Z.
e) sen 2x · cos x = 6 sen^3 x 2 sen x cos^2 x – 6 sen^3 x = 0 2 sen x (cos^2 x – 3 sen^2 x) = 0
● sen x = 0 x 1 = 0º + 180º · k 1 con k 1 Z
● cos^2 x – 3 sen^2 x = 0 cos^2 x – 3 (1 – cos^2 x) = 0 cos x = 2
x 2 = 30º +
180º · k 2 con k 2 Z y x 3 = 150º + 180º · k 3 con k 3 Z.
f) 2 sen x = tg x sen x (2 cos x – 1) = 0 sen x = 0; cos x = 2
x 1 = 0º + 180º · k 1 con
k 1 Z; x 2 = 60º + 360º · k 2 con k 2 Z y x 3 = 300º + 360º · k 3 con k 3 Z.
21. Las soluciones de las ecuaciones son:
a) sen x = 1 + 2 cos^2 x sen x = 1 + 2 – 2 sen^2 x 2 sen^2 x + sen x – 3 = 0
sen x = 1 x 1 = 90º + 360º · k 1 con k 1 Z
b) sec x + tg x = cos x x x
senx
x
cos cos cos
1
2
1
2 2
3 1
0 ·
sen x x k
senx x k
con k 1 , k 2 Z
c) 6 cos^2 2
^ x
- cos x = 1
cos 1 3 3 cos cos 1 2
1 cos 6
2
x x x
x
cos x = - 2
x 1 = 120º + 360º · k 1 con k 1 Z; x 2 = 240º + 360º · k 2 con k 2 Z
d) 6 cos^2 x + 6 sen^2 x = 5 + sen x 6 = 5 + sen x sen x = 1 x 1 = 90º + 360º · k 1 con k 1 Z
e) tg 2x · tg x = 1 3
2
2
tg tg x
tg x x 1 = 30º + 180º · k 1 con k 1 Z y
x 2 = 150º + 180º · k 2 con k 2 Z
f) cos^2 x = 3 sen^2 x 1 = 4 sen^2 x sen x = 2
x 1 = 30º + 180º · k 1 con k 1 Z y
x 2 = 150º + 180º · k 2 con k 2 Z
22. Las soluciones de las ecuaciones son:
a) sen x + 3 cos x= 2 cos 1 2
senx x sen (x + 60º) = 1
x 1 = 30º + 360º · k 1 con k 1 Z
b) sen x + cos x = 2 cos 1 2
senx x sen (x + 45º) = 1
x 1 = 45º + 360º · k 1 con k 1 Z
c) sen x + cos x = 2
Imposible ya que sen x + cos x 2. 23. Las soluciones de los sistemas, en el
primer giro, son:
a) Sumamos ambas ecuaciones y obtenemos: 2x + 1 = 3, entonces x = 1.
Sustituyendo el valor anterior en la primera ecuación y operando, obtenemos:
sen^2 y = 1 sen y = 1 2
1 2
y ^ ey .
Las soluciones del sistema son:
y
b) Sumamos ambas ecuaciones y obtenemos: sen (x + y) = 1, entonces (x + y) = 90º o x = 90º - y.
Sustituyendo la expresión anterior en la primera ecuación y operando, obtenemos:
sen (90º - y) · cos y = 4
cos^2 y = 4
cos y .
Las soluciones del sistema son: (60º, 30º); (300º, 150º); (240º, 210º) y (120º, 330º).
c) De la segunda ecuación obtenemos: x + y = 0º, entonces x = - y
Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos:
cos (- y) + cos y = 1 2 cos y = 1 cos y = 2
.
Las soluciones del sistema son: (300º, 60º) y (60º, 300º).
d) Despejamos y = 90º - x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
2
6 2 · 45 º·cos( 45 º) 2
6 senx sen ( 90 º x ) sen x
45 º 30 º 45 º 330 º 2
3 cos ( x 45 º) x ó x
H
H
H h h H h h
h
H^63636 · 72 36 0
2 2 2
Esta es relación que liga ambas alturas. Relación que se verifica para los valores obtenidos anteriormente.
26. A partir del desarrollo de tg (A + B + C) y de sustituir A + B + C = 180º, obtenemos la expresión
buscada:
tg A tg B C
tg A tg B C tg A B C tg A B C
tgB tgC tgA tgB tgA tgC
tgA tgB tgC tg A tgB tgC
1 · · ·
· ·
Como A + B + C = 0, entonces tg (A + B + C) = 0 y queda tg A + tg B + tg C = tg A · tg B · tg C
27. Sea el triángulo:
El área del triángulo es:
S base altura c · h 2
Vamos a calcular h:
tg A tgB
tg A tg B h c
c x
h tg B
x
h tg A
De modo que sustituyendo en el área obtenemos la fórmula buscada.
tg A tg B
tg A tgB c tg A tgB
tg A tgB S c c
28. En el dibujo adjunto aparece la antena, AC, y los cables, uno de ellos BC.
En el dibujo puede apreciarse el triángulo ABC, rectángulo en A, con el ángulo
en B de 75º y sus lados son:
- AC la longitud de la antena,
- AB la mitad de la diagonal de la base,
- BC la longitud de uno de los cables.
La medida de AB es la mitad de la diagonal del cuadrado de lado 80 m, por tanto:
AB D · 80 80 AB 56 , 57 m 2
Calculamos la longitud de cada cable y la longitud de la antena en el triángulo
ABC:
cos 75 º
cos 75 º L L m L
cable cable cable
75 º L tg L m
L
tg (^) antena antena
antena
29. Sea el dibujo del enunciado:
En el triángulo ABC 1 :
El ángulo C 1 vale C 1 = 180º - 72º - 49º = 59º.
Utilizando el teorema de los senos:
1331 , 44 59 º
72 º 1200 ·
1056 , 56 59 º
49 º 1200 ·
59 º 49 º 72 º
1200
1
1 1 1
sen
sen BC
sen
sen AC
sen
BC
sen
AC
sen
En el triángulo ABC 2 :
El ángulo C 2 vale C 2 = 180º - 47º - 82º = 51º.
En el triángulo curvilíneo PHC tenemos en cuenta la relación “arco = radio · ángulo” y obtenemos:
R h
R d R
2 ^ ·arccos
Para h = 1,8 m = 0,0018 km, obtenemos:
4 , 789. 6371 0 , 0018
6371 d 2 (^) 6371 ·arccos km
El resultado es prácticamente igual al obtenido con anterioridad. Esto es debido a que R y R + h tienen
valores muy próximos y, por tanto, el ángulo es muy pequeño.
c) En la gráfica pueden verse las gráficas de las funciones que relacionan la distancia al horizonte, tomando o
no el término h^2. Estas funciones son:
d h 2 · 6371 · h
2 1 ^ y D^ ^2 ·^6371 · h
En la gráfica pueden verse las gráficas de las funciones de las distancias al horizonte:
d h 2 · 6371 h
2 1 ^ y
h
d 6371
6371 2 6371 ·arccos
d) Debemos resolver la siguiente ecuación:
0 , 1962. 2 · 6371
2500 50 2 · · 50 2 · 6371 ·
2 R h h h km
Tendríamos que subir a unos 200 m de altura.
e) Desde una altura h se puede ver un casquete esférico de altura R · (1 – cos α), donde
R h
R arccos
Teniendo en cuenta que el área de un casquete esférico viene dada por la fórmula A = 2πRh, tenemos:
R h
R A R R h
R A 2 R · R · 1 cos arccos 2 · 1
2
Tomando la altura del Everest h = 8848 m = 8,848 km, tenemos:
6371 8 , 848
6371 2 6371 · 1
2 2 A (^) km
UNIDAD 6: Números complejos
