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REPASO DE TRIGONOMETRÍA
En esta guía y en la siguiente haremos un breve repaso de Trigonometría. Antes de comenzar este tema vamos a hablar un poquito sobre el Teorema de Pitágoras, ya que toda la Trigonometría gira en torno a este Teorema. El Teorema de Pitágoras establece una relación entre las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. Concretamente, dice que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos:
Geométricamente, ésto puede interpretarse diciendo que el área del cuadrado construido con la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos con los catetos. Una demostra- ción gráfica sería la siguiente: construimos el cuadrado que tiene por lado la hipotenusa, así:
Ahora dibujamos estos cuatro triángulos:
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Todos son congruentes con el triángulo ABC ¿por qué? Luego recortamos, con tijeras, los cuatro triángulos y el cuadrado central y los pegamos así: obtene- mos la suma de dos cuadrados:
El cuadrado grande tiene por lado el cateto AC y el cuadrado pequeño tiene por lado el cateto AB. ¿Por qué? Aunque el teorema es atribuido a Pitágoras, filósofo griego (532 a.C.), esta demostración ya era conocida por los Chinos 1.000 años antes que él, sin embargo es de Pitágoras de quién lo heredamos en nuestra cultura.
DEFINICIÓN DE SENO, COSENO Y TANGENTE DE UN ÁNGULO AGUDO γ Consideremos un triángulo rectángulo y sea γ uno de sus ángulos agudos; definimos
sen γ = (^) ac , cos γ = (^) ab , y tg γ = cb
Estos números son características del ángulo γ y no dependen de las longitudes a, b y c de los lados del triángulo. Veamos por qué: Si tenemos dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual, γ, dichos triángulos son semejantes
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Ahora observe que si se toma un punto P sobre la circunferencia, en el primer cuadrante, queda bien determinado un triángulo rectángulo ∆OP X, con hipotenusa OP y catetos P X y OX (ver la figura). Observe que como P X es perpendicular al eje X, la distancia OX entre 0 y X es precisamente la abscisa de P , XP la ordenada de P. Además, como OP = 1 por ser el radio de la circunferencia, el triángulo OP X es un triángulo con hipotenusa de longitud 1 , y por lo tanto sen α = P X, cos α = OX, es decir, el seno del ángulo α es la ordenada de P y el coseno de α la abscisa del punto P.
En resumen, si α es un ángulo agudo, podemos hallar el coseno y el seno de α como la abscisa y la ordenada, respectivamente, del punto P. Al darnos cuenta de este hecho, podemos definir el coseno de α y el seno de α para cualquier ángulo haciendo lo siguiente: se construye el ángulo α con vértice en 0 y midiendo desde el eje X, de manera que uno de los lados del ángulo es el eje X. El segundo lado define un punto P sobre la circunferencia. Definimos cos α como la abscisa de P y sen α como la ordenada de P.
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Estudie cuidadosamente las figuras para que vea todos los casos posibles, y tome nota de que los signos dependen únicamente del cuadrante al que pertenece P. Con esta construcción es fácil darse cuenta de varias propiedades de las funciones seno y coseno. Por ejemplo, la siguiente figura ayuda a entender que sen(−α) = − sen α y cos(−α) = cos α
Además para cualquier α sigue siendo válida la identidad sen^2 α + cos^2 α = 1, por el teorema de Pitágoras.
Ahora definimos tg α = sen cos^ αα , siempre que cos α sea no nulo, es decir α 6 = π 2 , 32 π , etc. Las demás fun- ciones trigonométricas se definen igual que antes.
Para poder usar la Trigonometría en la construcción de triángulos debemos conocer el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera y recíprocamente. Existen tablas que dan valores
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P X =
OP 2 − OX^2 =
Luego: sen π 3 =
2 ,^ cos^
π 3 =
2 ,^ tg^
π 3 =^
- Si α = π 6 o bien α = 30◦, entonces observando el triángulo OP X notamos que β = π 2 − π 6 = π 3 y sen α = cos β, cos α = sen β, luego
sen π 6 =^12 , cos π 6 =
2 ,^ tg^
π 6 =^
√^1
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Por costumbre, se llama resolución de un triángulo a su construcción, cuando se utiliza la trigono- metría. Esto viene quizás del hecho de que en realidad calculamos las medidas de sus lados y ángulos en lugar de construirlos gráficamente.
PRIMER CASO. Del triángulo ABC conocemos el ángulo α y el cateto a. En este caso podemos calcular b, c y γ:
γ = π 2 − α, b = (^) sena α y c = √b^2 − a^2 por Pitágoras.
SEGUNDO CASO. Si conocemos a y b. Entonces podemos calcular c = √b^2 − a^2 y sen α = ab.
Usando la calculadora podemos hallar α y finalmente obtenemos β = π 2 − α.
TERCER CASO. Si conocemos α y b, podemos calcular: a = b sen α, c = b cos α, γ = π 2 − α
CUARTO CASO. Si conocemos α y c, podemos calcular: b = (^) cosc α , a =
b^2 − c^2 , γ = π 2 − α
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EJEMPLOS Y APLICACIONES
- Una persona de 1,80 metros de estatura desea medir la altura h de un árbol sabiendo que a una distancia de 10 metros el extremo superior se observa bajo un ángulo de 60 ◦^ respecto a la horizontal. ¿Cómo puede hacer? La figura que sigue lo indica:
tg 60◦^ = h
′ 10 , h
′ (^) = 10 tg 60◦ (^) = 10 √3 = 17, 32 m h = h′^ + 1, 80 = 19 , 12 m
- Una lancha navega hacia el norte con una velocidad de 40 Km/h., en un río cuya corriente se dirige hacia el este con velocidad de 30 Km/h. Un observador en tierra firme desea saber cuál es la velocidad resultante Vr de la lancha y la dirección en que se mueve.
La velocidad resultante Vr se consigue usando la regla del paralelogramo para la suma de velocidades tomando en cuenta que la corriente arrastra la lancha a 30 Km/h.
De la figura anterior, usando el teorema de Pitágoras vemos que: |Vr| =
(40)^2 + (30)^2 =
La dirección del movimiento puede darse conociendo el ángulo θ: tg θ =^3040 = 0, 75. Con la calculadora buscamos el valor del ángulo (agudo) θ: ≈ 36 ◦, 52 ′
36 ◦, +52 minutos, 1 ′^ =^1
◦ 60
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Entonces a = 4, 9 m/seg^2. Finalmente presentamos un resumen de las fórmulas usuales de Trigonometría, que suponemos conocidas por Ud.
FÓRMULAS PARA LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS.
sen(α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sen α sen β tg(α ± β) = 1 tg ∓^ α tg^ ± α^ tg tg^ β β
Atención, deben usarse signos correspondientes
FÓRMULAS PARA EL ÁNGULO DOBLE.
sen 2α = 2 sen α cos α cos 2α = cos^2 α − sen^2 α tg 2α = (^1) −2 tg tg^ α (^2) α
FÓRMULAS PARA EL ÁNGULO MITAD.
sen α 2 = ±
√ (^1) −cos α 2 cos α 2 = ±
√ (^) 1+cos α 2 tg α 2 = ±
√ (^1) −cos α 1+cos α
Los signos dependen del cuadrante que ocupa α 2.
EJERCICIOS Y APLICACIONES
- Desde el punto medio de la distancia entre los pies de dos torres, los ángulos de elevación de sus extremos superiores son 30 ◦^ y 60 ◦^ respectivamente, demostrar que la altura de una de las torres es el triple de la otra.
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- Al aproximarse una patrulla de reconocimiento a un fuerte situado en una llanura encuentra que, desde un cierto lugar el fuerte se ve bajo un ángulo de 10 ◦, y que desde otro lugar, 200 metros más cerca del fuerte, éste se ve bajo un ángulo de 15 ◦. ¿Cuál es la altura del fuerte y cuál es su distancia al segundo lugar de observación?
Sugerencia: x e y son las cantidades pedidas (incógnitas); nótese que
y = x tg 15◦ y = (x + 200) tg 10◦
R: x = 385 m, h = 103 m aprox.
- Con el fin de medir la altura h de un objeto, se ha medido la distancia l entre dos puntos A y B a lo largo de una recta horizontal que pasa por su base. Los ángulos de elevación de la punta del objeto desde A y B resultaron ser α y β respectiva- mente, siendo A el más cercano a la base. Demostrar que la altura está dada por la fórmula
h = (^) cot β −l cot α
si A y B están del mismo lado, y por
h = (^) cot β + cotl α
si A y B están en lados opuestos de la base del objeto.
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- Pruebe que
a) sen 15◦^ =
b) cos 15◦^ =
c) sen 7◦ 30 ′^ =^4 −
(^8
Solución: 15 ◦^ = 45◦^ − 30 ◦, 7 ◦ 30 ′^ = 152 ◦^ )
- Pruebe que cos 36◦^ = 1 +^
Solución: cos 36◦^ =
1 + cos 72◦ 2 cos 72◦^ = sen 18◦^ =
1 − cos 36◦ 2 Resuelva el sistema de ecuaciones.
- Dos barcos observan la parte superior de un faro situado entre ellos con ángulos de eleva- ción de 30 ◦^ y 60 ◦^ respectivamente. Calcule la altura del faro si la distancia entre los barcos es de 200 m. Respuesta: 50 √ 3 .m.
- Calcule el perímetro de un triángulo ABC sabiendo que la altura hA mide 100 m., el ángulo B mide 45 ◦^ y el ángulo C mide 30 ◦. Respuesta: 415 m.
