Tutorial Lingo (2014-15), Ejercicios de Matemáticas

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ECONOMÍA APLICADA III^1

TUTORIAL

2 G. EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS

LINGO ( L inear, IN teractive, and G eneral O ptimizer) es una herramienta de fácil manejo que permite resolver problemas de optimización no lineal y lineal con un gran número de variables y restricciones.

Ventana inicial de LINGO.

Para introducir un modelo matemático hay que tener en cuenta las siguientes reglas de sintaxis:

Cada línea en LINGO finaliza con un punto y coma. El modelo no se resolverá si falta algún punto y coma.
La primera línea está reservada para la función objetivo colocando las palabras MAX o MIN, seguidas del signo =.
El resto de las líneas harán referencias a las restricciones. Para las restricciones del tipo menor o igual (≤), LINGO ha adoptado como convención utilizar el símbolo <. Análogamente, se usa > para representar mayor o igual (≥).
LINGO no distingue entre mayúsculas y minúsculas. Los nombres de las variables deben comenzar con un carácter alfabético (A-Z), los siguientes caracteres pueden ser alfabéticos, numéricos o subrayado (_). Los nombres pueden ser de hasta 32 caracteres de longitud. Los coeficientes de las variables que no sean números enteros se ponen con punto (ejemplo: 2.5).
LINGO, por defecto, considera siempre que las variables son continuas y no negativas. En caso contrario hay que indicarlo en el modelo a resolver. Si una variable, por ejemplo X, está libre de signo se incluye la instrucción @FREE(X);.

Los operadores aritméticos son los habituales:

• Potencia: ^
• Multiplicación: *****
• División: /
• Suma: +
• Diferencia: -

4 G. EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS

Interpretación del Informe de la solución:

Máximo local: X=1, Y=1, Z=0,5. Valor objetivo óptimo f= 2,25. El problema es convexo, luego por el teorema Local-Global, se puede afirmar que el máximo es global, y además es único ya que la función objetivo es estrictamente cóncava.

Precio Dual ó Precio sombra (Multiplicador): El informe de la solución de LINGO también da el valor del multiplicador para cada restricción. El valor de los multiplicadores asociados a la primera y segunda restricción es λ 1 = 0,5; λ 2 = -2,5, respectivamente.

Observación :

• Todos los modelos que guardemos llevaran la extensión .LG
• Los informes de solución que guardemos llevaran la extensión .LRG

EJEMPLO 2:

x,y 0

x y 2

s.a. x 3

Min (x 4 )^2 (y 4 )^2

Observación : En este ejemplo las variables tienen condiciones de no negatividad.

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Mínimo local: X=3, Y=4. Valor objetivo óptimo f*= 1. El problema es convexo, luego por el teorema Local-Global, se puede afirmar que el mínimo es global, y además es único ya que la función objetivo es estrictamente convexa.

Precio Dual ó Precio sombra (Multiplicador): Para los problemas con restricciones de desigualdad sólo se considera el valor numérico del multiplicador y se le asocia el signo correspondiente atendiendo a los distintos casos considerados en las condiciones de Kuhn-Tucker (ver teoría). Como el problema es de minimizar y las restricciones son del tipo ≤, los multiplicadores asociados son todos no positivos, por tanto, el valor de los multiplicadores asociados a la primera y segunda restricción es λ 1 = -2; λ 2 = 0, respectivamente.

Holgura ó excedente: La columna Slack or Suplus en el informe de la solución, muestra la cantidad necesaria para satisfacer una restricción como una igualdad. Esa cantidad en restricciones del tipo ≤, se denomina generalmente holgura y en restricciones del tipo ≥ excedente. Si una restricción es satisfecha en el óptimo como una igualdad, la holgura ó excedente valdrá cero. Mirando la columna Slack or Suplus del informe de la solución, para la primera restricción la holgura vale cero (es decir, la restricción está saturada en el óptimo) y para la segunda restricción la holgura vale 1 (restricción no saturada en el óptimo).

EJEMPLO 3: PROBLEMA LINEAL La empresa “Fabricantes de muebles S.L.” fabrica pupitres, mesas y sillas. Para lo que se necesitan tableros de madera y dos tipos de trabajo especializado: carpintería y barnizado. Las cantidades necesarias de cada tipo de muebles vienen dadas en la siguiente tabla:

Pupitre Mesas Sillas Madera 8 tableros 6 tableros 1 tablero Barnizado 4 horas 2 horas 1,5 horas Carpintería 2 horas 1,5 horas 0,5 horas

En la actualidad se dispone de 48 tableros, 20 horas de barnizado y 8 horas de carpintería. Los pupitres se venden a 60 u.m., las mesas a 30 u.m. y las sillas a 20 u.m. La empresa piensa que la

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ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD:

Para los problemas lineales, LINGO permite obtener los intervalos de variación o de sensibilidad de los coeficientes que intervienen en la función objetivo y en los términos independientes de las restricciones. Para ello, teniendo activada la ventana del modelo, y una vez resuelto, se selecciona el comando Range del menú LINGO.

LINGO creará una nueva ventana con el título Range Report , conteniendo los intervalos de variación:

INTERPRETACIÓN DE RANGE REPORT:

 La tabla titulada Objetive Coefficient Ranges contiene el valor actual del coeficiente de cada variable en la función objetivo junto con lo máximo que puede aumentar o disminuir para que la solución óptima no cambie.  La tabla titulada Righthand Side Ranges contiene el valor actual del término independiente de cada restricción junto con lo máximo que puede aumentar o disminuir sin provocar un cambio en los valores óptimos de los precios duales o costes reducidos.

El intervalo de variación del precio de venta de los pupitres sin que varíe la producción es [56,80], para las mesas [0,35] y para las sillas [15,22.5]. Análogamente, los intervalos de variación de los recursos disponibles son: [24, +∞) para los tableros, [16,24] para las horas de barnizado y [6.67,10] para las horas de carpintería.

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Nota: En el caso de no tener activado este comando, se debe seleccionar el comando Options del menú LINGO

Dentro de General Solver en Dual Computations se selecciona Prices&Ranges.