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Análisis de una función real de una variable aleatoria, Apuntes de Matemáticas

Universidad de Carabobo (UC)Matemáticas

En este documento se analiza una función real de una variable aleatoria X, se determina su función de densidad y se encuentra la función de densidad de la variable Y relacionada con X.

Tipo: Apuntes

2019/2020

Subido el 04/12/2020

karliany-hernandez
karliany-hernandez 🇨🇴

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bg1
2. FUNCION DE VARIABLES ALEATORIAS
Sea X una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad S, sea
XHY
una función real de X, de modo que es evidente que Y es también una
variable aleatoria. La descripción de la función de una variable aleatoria puede
hacerse por intermedio de las funciones de probabilidad o densidad, digamos
yg
.
Estas pueden ser obtenidas conociendo las funciones equivalentes de la variable
original X. Usamos para ello los llamados sucesos equivalente.
Nuevamente, sea X una variable aleatoria definida en S, supongamos que
xHy
es una función real de X,
XHY
es una variable aleatoria puesto que para cada s
S , se determina un valor de Y, sea
sHy
. Consideremos la figura 2. 11. ,
yx
RR ,
son los recorridos o conjunto posibles de valores de las funciones X e Y,
respectivamente. Sea B un suceso definido en
x
R
, es decir
x
RB
. Se define el
evento o suceso A, como todos los elementos en S, para los cuales
, por lo
cual A y B son sucesos equivalentes, resaltando que cuando A ocurre, ocurre B, y
viceversa, es decir, ocurren juntos y asociados a espacios muestrales o recorridos
diferentes. Se define el evento A,
BsXSsA /
Si A y B son equivalentes, entonces
BPAP
Se extiende ahora el concepto, sea C un suceso asociado a
y
R
, se mencionó que
x
RB
, se define B,
CxHRxB
x
/
, de manera análoga el suceso B es el conjunto de valores de X
tales que
CxH
, entonces B y C son equivalentes, como en la relación A y B ,
tenemos que B y C suceden juntos, y asociados a recorridos diferentes, y por supuesto
también se cumplirá que
CPBP
, es decir la probabilidad de un suceso asociado
a Y está definida como la probabilidad de su suceso equivalente en X, conocida la
distribución de probabilidad de X . Por supuesto si A y B son equivalentes, y B y C,
también lo son, entonces A y C son equivalentes.
CsXHSsPCxHRxCP
x
//
, se pretende entonces, a partir del
conocimiento de la relación de dos variables aleatorias, es decir de la función de
variable aleatoria
XHY
, de la función de probabilidad de X y determinación del
suceso equivalente, la obtención de la función de probabilidad de Y. Se presentan
entonces tres casos a continuación.
55
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15

Vista previa parcial del texto

¡Descarga Análisis de una función real de una variable aleatoria y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

2. FUNCION DE VARIABLES ALEATORIAS

Sea X una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad S, sea

YHX

una función real de X, de modo que es evidente que Y es también una

variable aleatoria. La descripción de la función de una variable aleatoria puede

hacerse por intermedio de las funciones de probabilidad o densidad, digamos

gy

Estas pueden ser obtenidas conociendo las funciones equivalentes de la variable

original X. Usamos para ello los llamados sucesos equivalente.

Nuevamente, sea X una variable aleatoria definida en S, supongamos que

yHx

es una función real de X,

YHX

es una variable aleatoria puesto que para cada s

S , se determina un valor de Y, sea

yH   s 

. Consideremos la figura 2. 11. ,

x y

R , R

son los recorridos o conjunto posibles de valores de las funciones X e Y,

respectivamente. Sea B un suceso definido en

x

R

, es decir

x

B  R

. Se define el

evento o suceso A, como todos los elementos en S, para los cuales

Xs   B

, por lo

cual A y B son sucesos equivalentes, resaltando que cuando A ocurre, ocurre B, y

viceversa, es decir, ocurren juntos y asociados a espacios muestrales o recorridos

diferentes. Se define el evento A,

A  sS / Xs  B

Si A y B son equivalentes, entonces

PA   PB

Se extiende ahora el concepto, sea C un suceso asociado a y

R

, se mencionó que

x

B  R

, se define B,

Bx R HxC

x

, de manera análoga el suceso B es el conjunto de valores de X

tales que

Hx   C

, entonces B y C son equivalentes, como en la relación A y B ,

tenemos que B y C suceden juntos, y asociados a recorridos diferentes, y por supuesto

también se cumplirá que

PB   PC

, es decir la probabilidad de un suceso asociado

a Y está definida como la probabilidad de su suceso equivalente en X, conocida la

distribución de probabilidad de X. Por supuesto si A y B son equivalentes, y B y C,

también lo son, entonces A y C son equivalentes.

PC   x R HxCP   s S HXs  C 

x

  /    / 

, se pretende entonces, a partir del

conocimiento de la relación de dos variables aleatorias, es decir de la función de

variable aleatoria

YHX

, de la función de probabilidad de X y determinación del

suceso equivalente, la obtención de la función de probabilidad de Y. Se presentan

entonces tres casos a continuación.

H(x)  C

H(X(s))  C

R

Y

C

X(s)  B

R

X

B

S

A

s  A

X

YHX

CASO 1: Sea X una variable aleatoria discreta, entonces se deduce que

YHX

es

también una variable aleatoria discreta. Para

1 2 n

x x x

, tenemos

  ,  ,....

1 1 2 2

y  H x y  H x , puede que algunos valores de Y sean iguales, pero

ciertamente pueden enumerarse. La función de probabilidad de Y ,

 

i

P Y  y

, se

obtiene mediante la búsqueda del suceso equivalente A en la función X , más en su

recorrido,

x

R

   

A

i i

PY y PX x

Figura 2.1. Sucesos equivalentes.

Ejercicio 2.1. Una persona gana determinada cantidad Y de dinero según el número

de puntos obtenidos al lanzar un dado no balanceado, variable aleatoria X, la

probabilidad de una cara impar es tres veces la probabilidad de una cara par. Sea

YHX   3 x  10

. Obtenga la distribución de probabilidad de Y.

Solución: Sea X: v.a. número de puntos obtenidos al lanzar el dado.

Solución:

  5 ,  4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 

x

R

, la función de probabilidad de X es

entonces:

 

12

1

 

i

P X x

; Luego de acuerdo a

Y  H  X   x  2

, tenemos:

 

 

      

 

2 ; : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

2 ; : 5 , 4 , 3 2 , 1

X para x

X para x

Y H X

Por lo que :

 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 

y

R

   

     

     

     

     

     

   

12

1

8 6

12

2

7 5 5

12

2

6 4 4

12

2

5 3 3

12

2

4 2 2

12

2

3 1 1

12

1

2 0

   

     

     

     

     

     

   

PY P X

PY PX P X

PY PX P X

PY PX P X

PY PX P X

PY PX P X

PY P X

CASO 2: X es una variable aleatoria continua, mientras que Y es discreta. Para

obtener la función de probabilidad de Y,

 

i

P Y  y

, se determina el suceso

equivalente A en la función de densidad de X, más en el recorrido

x

R

PY yfxdx

A

i

Ejercicio 2.3. Considere la variable aleatoria X del ejercicio 1.6, cuya función de

densidad y función de distribución acumulada son:

1 para x 4

para 2 x 4

x

x

para 0 x 2

17 x

7 x

0 para x 0

F(x)

otrocaso

x

x x

x

x

f

0 para

para 2 4

para 0 2

(x)

Suponga que la variable aleatoria X representa la cantidad de material usado en la

fabricación de cierto compuesto. El precio de venta del compuesto depende del

contenido de material y se vende a en $6 el galón si es mayor a 3,5, en $5 el galón sí

está entre 1,5 y 3,5, de otro modo se vende a $ 2. El costo de producción es de $1.6.

Encuentre la función de probabilidad de la utilidad, Y.

Solución: Como sabemos X es una variable aleatoria continua, pero aún cuando la

variable aleatoria U es función de X, la misma es discreta. Ubicamos entonces el

evento equivalente A correspondiente en X para hallar la distribución de probabilidad

de Y:

PY yfxdx

A

i

  0 , 4 ; 3 , 4 ; 4 , 4 

y

R

       

           

 

 4 , 4     3 , 5  1  3 , 5  1 0 , 7388 0 , 2612

4

3 , 5

3 , 5

2

2

1 , 5

1 , 5

0

 

PY f xdx PX P X

P Y

PY f xdx f xdx P X F F

PY f xdx P X F

Encontramos otro ejemplo del caso 2, aplicado en la solución de la parte de “d” del

ejercicio 1.7, específicamente en la obtención de la distribución de probabilidad de la

variable

i

Y

, bonificación del gerente en el mes i.}

CASO 3 : El caso mas frecuentemente encontrado y por consiguiente más importante

se presenta cuando se tiene una variable aleatoria continua X con función de densidad

de probabilidad

fx

, y

YHX

, es también continua. Nos centramos entonces en

hallar la función de densidad de Y, digamos

gy

. Recordemos que

fx

y

Fx

son respectivamente, la función de densidad de probabilidad y la función de

distribución acumulada de X, por lo que para Y estas funciones serán

gy

y

Gy

respectivamente. El procedimiento general es:

a.- Obtenga

Gy

, en donde

Gy   PYy

, al encontrar el suceso A en el

recorrido

x

R

, que es equivalente al suceso

Yy

b.- Diferenciar

Gy

con respecto a y para obtener

gy

Figura 2.2 Ejercicio 2.4. Función de densidad de probabilidad de X,

fx

y Función de variable aleatoria

YHX

Aclaramos que el eje de las ordenadas del gráfico anterior, figura 2.2, representa a

fx

, pero también a la variable aleatoria Y, de forma independiente, por cuanto

tenemos dos funciones superpuestas. Se pudo haber elaborado dos gráficos separados

X ; fx 

y otro

X ; Y

-4 1 2 X

f(x) / Y

Este gráfico nos ayuda a determinar el recorrido de la variable aleatoria Y; tenemos

por un lado la función de densidad de X,

fx

, uniformemente distribuida en el

intervalo

  4  X  2 

, representada con una línea delgada. Encontramos también

representada la relación

YHX

, señalada con una línea gruesa. A grandes rasgos,

observamos que mientras la variable aleatoria X existe en el mencionado intervalo, la

variable aleatoria Y, lo hace en el tramo

  1  Y  15 

. Sin embargo, en el intervalo

  2  X  2 

, para el cual Y está en

  1  Y  3 

, resalta la relación 2: 1, entre las

dos variables, mientras que en el intervalo

  4  X  2 

, para el cual Y está en

 3  Y  15 

, la relación entre ellas es 1:1. Esta diferencia de comportamientos

arrojará dos tramos diferentes para la función de densidad de Y,

gy

. También se

puede identificar la diferencia en el recorrido al intentar hallar

Gy

, formada por la

suma de dos términos. Observamos que para el tramo

  1  Y  3 

ambos términos

están presentes, pues resulta que

f   y  1 

y

fy  1 

, son mayores a cero.

Mientras que en el tramo

 3  Y  15 

, solo un término está presente, pues solo

f   y  1 

resulta ser mayor a cero.

Partiendo de la ecuación

Gy

y para el tramo

 1  Y  3

, donde  2  X  2 ,

tenemos:

 

 

   

y

f y

y

f y

dy

dG y

G y

 

 

y

y

y y y

G y

Tenemos:

3  Y  15

, donde  4  X  2

 

 

   

y

f y

y

f y

dy

dG y

G y

 

 

y

y

y y

G y

Finalmente hemos obtenido la función d densidad de Y,

gy

las dos variables, y otro distinto en el tramo

  4  Y  0 

, donde la relación entre las

mismas es 2:1, lo que determinaría una función de densidad para Y con mas de un

tramo. Por otra parte, en este último tramo de Y, tenemos la variante que el evento

equivalente está relacionado con dos tramos distintos de X, lo cual obliga a dividirlo.

Otra forma de determinarlo, por ejemplo, es percatarse en el tramo

  4  Y  0 

de la

imposibilidad de evaluar

f  3   y

, ya que su equivalente se encuentra asociado al

segundo y tercer tramo de X, específicamente en el intervalo

 3  X  4   4  X  5 

Lo mismo sucedería al intentar evaluar

f  3   y

, en el mismo tramo

  4  Y  0 

aquí el equivalente lo encontramos en

 1  X  2   2  X  3 

asociado a primer y

segundo tramo de X, por lo que finalmente la función de densidad de Y estará

conformada por tres tramos, como se muestra:

Para

 25  Y  4

; donde  2  X  1

     

 

y

y

y y

G y

y

f y

y

G y f y

Para

 4  Y  1

; donde

 1  X  2   4  X  5 

     

y

f y

y

G y f y

 

 

 

y

y

y

y

G y

y y

y

G y

Para

 1  Y  0

; donde 2  X  4

     

 

   

 

y

y

y y

y y

G y

y

y

y

y

G y

y

f y

y

G y f y

Finalmente:

 

  

   

   

otrocaso

y

y

y

y

y

y

y

g y

0 ;

; 1 0

11

; 4 1

11

1

; 25 4

11

b.- Halle

 

 



 

3

0 2

Y

X

P

Puesto que desconocemos la función de densidad conjunta

fx , y

, debemos buscar

el evento equivalente de

 0  X  2 

en el recorrido de Y, o el evento equivalente de

Y  3 

en el recorrido de X, a fin de trabajar con eventos asociados a una sola

variable aleatoria. En este caso particular puesto que conocemos la función de

densidad de X y además su función de distribución acumulada, resultará menos

laborioso trabajar con eventos asociados con el recorrido de X.

Procedemos a encontrar el evento equivalente de

Y  3 

en el recorrido de X, el

cual podrá obtenerse con la ayuda de la figura 2.3, o bien haciendo el planteamiento

correspondiente.

Calculando  3  3 3 3 1 , 27 ; 4 , 73 1 2

2

 X    X    X  X  y Observando la

figura 2.3, tenemos que para

Y  3 

, resulta equivalente que

  2  X  1 , 27   4 , 73  X  5    X  1 , 27   X  4 , 73 

Haciendo el planteamiento del evento equivalente obtendremos igual resultado:

Figura 2.3 Ejercicio 2.5. f.d.p. de X,

fx

, y Función de variable aleatoria

YHX

X

f(x) / Y

     

4

9

4

15

G yFy   Fy

Ahora procedemos a obtener

gy

 

 

   .  1 

f y f y

dy

dG y

G y

     

4

9

4

15

    

G y f y f y

Observemos la figura 2.4.

Podemos observar que del intervalo

 0  X  1 , 5 

, equivalente a

  3  Y  2 , 25 

la

relación entre las dos variables es 2:1, mientras que en el intervalo

  0 , 5  X  0 

equivalente a

  2 , 25  Y  1 , 75 

, la relación entre las misma es 1:1.

En el intervalo

  3  Y  2 , 25 

, observamos que para la recta con pendiente

positiva

 

4

15

YX

, el evento equivalente en el recorrido de X está asociado a

dos tramos de la función de densidad de X, por lo que es necesario dividir el recorrido

de Y, con lo cual finalmente tendremos tres tramos para

gy

Determinación de

gy

Para :

  3  Y  2 , 75 

 0 , 5  X  1 

     

4

9

4

15

    

G y f y f y

         

 

G y

G y y y y y

Figura 2.4. Ejercicio 2.6. Función de densidad de probabilidad de X,

fx

y Función de variable aleatoria

YHX

Para :

  2 , 75  Y  2 , 25 

 0  X  0 , 5   1  X  1 , 5 

-0,

3/ 1,

X

f(x) / Y

1

1

-2,

-2,

0,25 0,5 1,

-2,

-1,

Retomando el ejercicio original y utilizando la función de distribución acumulada de

X, tenemos:

 

 

   

 

    

 

   

0 , 5

0 , 25 0 , 5 1 1 , 25

0 , 5

2 , 75 2 , 5

X

X X

P

X

Y

P

       

 

 

 

   

 

P X

PX P X

P X

P X

P X

X X X

P

EJERCICIOS PROPUESTOS

2.1.- Sea X una V.A. que describe el comportamiento de la demanda en litros de

suero en una farmacia de ayuda social que ofrece medicamentos gratuitos. La F.D.A.

de la V.A. X es:

 



  

 

  

1 : 2000

  1. 000 3. 300.

  2. 400 540. 000

  3. 150 325. 000

0 ; 650

( )

2

2

2

X

h X X

h X X

X X

h

X

F X

a.- Sea

2

Y  ( X  800 ) , halle la f.d.p de Y.

b.- Halle la probabilidad de que Y esté entre (-10.000) y (- 1.000.0000)

2.2.- Sea X una V.A. con la siguiente f.d.p.

 

  

otro caso

X

X

X

X

f x

0 ; /

; 0 5

45

2

; 2 0

9

2

( )

a.- Sea

   3

2

Y ( X 1 )

determine la f.d.p. de Y

b.- Halle

P  10  Y  15 

c.- Si cada observación superior a cero (0) genera una ganancia Bs. 8 y cada

observación inferior a cero (0) genera una pérdida de Bs. 4, determine al cabo de tres

(3) observaciones independientes de X, la distribución de probabilidad del beneficio.

2.3.- La temperatura de los moldes que se usan para la fabricación de cierta pieza

debe ser llevada a 0°C antes de poder ser vaciados y por eso son introducidos en un

congelador. La temperatura de estos moldes al salir del congelador puede ser

modelada mediante una variable aleatoria con función de densidad de probabilidades

como la que se muestra en la figura.

a.- Hallar F(X).

b.- Calcule la probabilidad de que la temperatura de un molde al salir del congelador

se encuentre entre -3°C y 0°C si es conocido que la temperatura es superior a -1°C

pero inferior a 2°C.

c.- Se mide la temperatura de 5 de estos moldes al salir del congelador, ¿cuál es la

probabilidad de que solo uno de estos moldes este bajo 0°C y al menos 2 estén sobre

3°C?

d.- Sea

2

2

Y  X

, halle la f.d.p. de Y.

2.4.- Sea X, una variable aleatoria con la Función de Distribución Acumulada que se

muestra a continuación.

     

   

 

 

1 ; 20

; 10 20

3

5

15

4

150

; 5 10

3

1

; 0 5

150

2

0 ; 0

( )

2

2

X

X

X X

X

X

X

X

F x

a.- Sea   12

2

Y  X  8  , obtenga la función de densidad de probabilidad de Y.

b.- Determine la probabilidad de que X sea mayor que 12 si es conocido que Y esta

comprendido entre -2 y 45.

2.5.- La cantidad de pasajeros que asiste a comprar boletos en cierta ruta es Uniforme

en el intervalo entre 85 y 145 pasajeros.