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5 Variables aleatorias contÌnuas
Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor en un intervalo de n˙meros reales.. FunciÛn de densidad. La funciÛn de densidad de una variable aleatoria continua es una funciÛn f que cumple
f (x) 0 ;
Z 1
f (x)dx = 1: (11)
(comparar con (6)) y para todo a < b
F (b) F (a) = P (a < X b) =
Z (^) b
a
f (x)dx: (12)
Entonces es evidente que para una variable aleatoria continua:
P (a < X < b) = P (a X b)
La relaciÛn entre la funciÛn de densidad y la funciÛn de distribuciÛn est· dada por:
F (x) = P (X x) =
Z (^) x
f (y)dy;
de donde se deduce que la funciÛn de distribuciÛn de una variable aleatoria continua, es una funciÛn continua en todas partes; y que la funciÛn de den- sidad es la derivada de la funciÛn de distribuciÛn, en todos los puntos en los que esta ˙ltima sea derivable:
f (x) =
dF (x) dx
5.1 Par·metros de una variable aleatoria continua
La esperanza o media de una variable continua con funciÛn de densidad f; es
EX =
Z 1
xf (x)dx:
cuando esta integral est· deÖnida.
Si X es una variable aleatoria continua con densidad f y h es una funciÛn cualquiera, h(X) es una variable aleatoria cuya esperanza se calcula como:
Eh(X) =
Z 1
h(x)f (x)dx
cuando esta integral est· deÖnida. La propiedad de linealidad del valor esperado tambiÈn vale para variables aleatorias continuas, asÌ como la deÖniciÛn y propiedades de la varianza, y de la desviaciÛn tÌpica.
Para variables aleatorias continuas se deÖnen los cuantiles de la siguiente forma, para cualquier 0 < < 1 ; el cuantil- , es el valor x( ); tal que
F (x( )) = P (X x( )) =
Z (^) x( )
f (x)dx =
En particular, el cuantil- 0 : 5 se llama mediana y es el valor e, tal que:
F (e) =
Z (^) e
f (x)dx = 1= 2
Ejemplo 5.1 Sea X una v. a. con densidad dada por:
f (x) =
0 : 2 si 1 x 0 0 :2 + cx si 0 < x 1 0 en caso contrario Obtener F (x) GraÖcar f (x) y F (x) Calcular F ( 1), F (0) y F (1) Calcular P (0 X 0 :5)
Ejemplo 5.2 Sea X una v.a. con la siguiente funciÛn de distribuciÛn:
f (x) =
0 si x < 0 x= 8 si 0 x < 2 x^2 = 16 si 2 x 4 1 si x > 4 Obtener la funciÛn de densidad para X Calcular P (1 X 3) Calcular P (X 1 :5)
Realice los ejercicios de 1 a 5
La funciÛn de distribuciÛn est· dada por:
0 si x < a F (x) = xb aa si x[a; b] 1 si x > b
Para calcular la mediana e; podemos hacer:
F (e) =
e a b a
y despejando:
med(X) = e =
b + a 2
en este caso la mediana y la media coinciden. Esto ocurre siempre que la distribuciÛn es simÈtrica.
5.3 DistribuciÛn exponencial
Veamos otro ejemplo de variable aleatoria continua. Pensemos en un proceso temporal de Poisson, y consideramos el tiempo T transcurrido entre la pre- sentaciÛn de dos eventos sucesivos. Ese tiempo T , es una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor no negativo, y puede demostrarse que tiene funciÛn de densidad dada por:
f (x) =
e x^ si x > 0 0 si x 0
y se dice que tiene distribuciÛn exponencial con par·metro (X v ()), donde es el valor medio del n˙mero de eventos por unidad de tiempo. Su funciÛn de distribuciÛn est· dada por:
F (t) =
Z (^) t
f (x)dx =
1 e t^ si t > 0 0 si t 0
Ejemplo 5.3 Supongase que se reciben llamadas en una lÌnea telefÛnica de emergencias las 24 hs del dÌa, seg˙n un proceso de Poisson con una tasa 0. llamadas por hora. øCu·l es la probabilidad de que transcurran m·s de dos horas entre dos llamadas sucesivas?
La variable aleatoria T; el tiempo (medido en horas) entre dos llamados sucesivos, tiene distribuciÛn exponencial con = 0: 5. Entonces:
P (T > 2) = 1 P (T 2) = 1 (1 e ^0 :^5 ^2 ) = 0: 3679
La media y varianza de una variable exponencial est·n dadas por:
ET =
; var(T ) =
^2
Para calcular la mediana e
F (e) = 1 e e^ = 1= 2
luego
med(T ) = e =
ln 2 en este caso puede verse que la mediana es menor que la media. Realice los ejercicios de 6 a 9
5.4 La distribuciÛn normal
La distribuciÛn normal tÌpica (o normal N(0; 1)) tiene densidad
'(z) =
p 2
e z (^2) = 2
se puede ver que esta funciÛn es simÈtrica respecto de 0 Si Z tiene esta distribuciÛn, entonces se prueba que
EZ = 0; var(Z) = 1
Llamamos (z) a su funciÛn de distribuciÛn; entonces para todo a < b:
P (a Z b) = (b) (a):
Por ser ' simÈtrica, la cumple
( z) = 1 (z): (13)
En general, para calcular probabilidades correspondientes a una X con distribuciÛn N(; ^2 ); se la lleva al caso N(0; 1), trabajando con Z = (X )=: Su funciÛn de distribuciÛn es entonces
F (x) = P (X x) = P
Z
x
x
y por lo tanto, si a < b :
P (a X b) = F (b) F (a) =
b
a
De aquÌ se puede ver que para cualquier variable aleatoria X con dis- tribuciÛn normal, la probabilidad de que X estÈ dentro de 1 desvÌo est·ndar de su media es:
P ( < X < + ) = (1) ( 1) = 0: 6826
P ( 2 < X < + 2) = (2) ( 2) = 0: 9544 y P ( 3 < X < + 3) = (3) ( 3) = 0: 9974
Usando (15), se prueba que los cuantiles de una variable X con distribu- ciÛn N(; ^2 ) cumplen x( ) = + z( ); (16)
donde z( ) son los cuantiles de N(0; 1): En particular, la mediana de una X s N(; ^2 ) es
med(X) = x(0:5) =
Ejemplo 5.5 Calcularemos los cuantiles de 0.80 y de 0.20 de una variable normal X con media 5 y desviaciÛn 2. De la tabla: (0:84) = 0: 7995 y (0:85) = 0: 8023 : Interpolando resulta aproximadamente z(0:8) = 0: 843 ; y por lo tanto x(0:8) = 5 + 2 0 :843 = 6: 686 : Para el otro cuantil, usamos z(0:2) = z(0:8) y por lo tanto x(0:8) = 5 2 0 :843 = 3: 314 :
Realice los ejercicios de 10 a 14
Realice el resto de los ejercicios
Pr·ctica 3
- Sea X una variable aleatoria con densidad dada por:
f (x) =
c(2 x) si 0 x 2 0 en caso contrario
(a) Determinar el valor de c y graÖcar f (x) (b) Obtener y graÖcar F (x) (c) Calcular P (1 X 2) (d) Calcule E(X) y V (X) (e) Sea Y = 2X + 3, øcu·l es la E(Y )? (f) Calcular el 80 -percentil. (el cuantil- 0 : 80 )
- Sea X una variable aleatoria con densidad dada por:
f (x) =
kx^3 si 0 x 1 0 en caso contrario
(a) Hallar la constante k, y graÖcar (b) Calcular la funciÛn de distribuciÛn F (x) y graÖcar. (c) Usando la F (x), calcular P (0: 5 < X < 0 :75) (d) Calcular E(X) y V (X) (e) Calcular la mediana. (f) Sea Y = 1=X, calcular E(Y )
- El tiempo de vida, en horas, de cierto tipo de tubo de radio es una variable aleatoria que tiene funciÛn de densidad dada por
f (x) =
0 si x 100 100 =x^2 si x > 100
(a) VeriÖcar que Èsta es una funciÛn de densidad. (b) Calcular la probabilidad de que uno de esos tubos deba ser reem- plazado antes de las 150 horas de operaciÛn (c) øPuede calcular la media del tiempo de vida de estos tubos?
(c) øCu·l es la probabilidad de que la profundidad observada estÈ dentro de 1 desvÌo est·ndar del valor medio?
- La duraciÛn de cada operaciÛn que realiza cierta m·quina puede repre- sentarse mediante una v.a. uniforme de media 10 segundos y varianza 3 seg2. øCu·ntos segundos tarda como mÌnimo, el 75% de las veces?
- Supongamos que el tiempo de funcionamiento de una l·mpara est· exponencialmente distribuida con media 10. Supongamos que una per- sona entra en una habitaciÛn donde hay una l·mpara encendida.
(a) øCu·l es la probabilidad de que la l·mpara dure menos de 6 horas? (b) øCu·l es la probabilidad de que no se funda la bombilla si la persona desea trabajar 5 horas? (c) øCu·l es la probabilidad de que dure entre 4 y 8 horas?
- Sea X el tiempo (en minutos) entre dos llegadas sucesivas a un servicio de emergencias. Si X tiene distribuciÛn exponencial con = 0; 125. Calcular:
(a) El tiempo esperado entre dos llegadas sucesivas. (b) La probabilidad de que el tiempo entre dos llegadas sea menor de 10 minutos
- Cierto mÈdico invierte 15 minutos, por tÈrmino medio, en atender a un paciente. Sabiendo que la duraciÛn de la consulta sigue una distribuciÛn exponencial y que atiende durante 2 horas, øcu·l es el n˙mero m·ximo de pacientes que podr· atender con probabilidad 0 ; 90?
- La variable Y tiene distribuciÛn normal tÌpica. Calcular las probabili- dades de (a) Y 2 ; 23 , (b) Y > 1 ; 35 , (c) 0 ; 51 < Y < 1 ; 54
- Calcular:
(a) la mediana y los cuartiles de una variable con distribuciÛn normal tipica (b) Idem, para la distribuciÛn N(10; 36) (c) Para esta ˙ltima, calcular los percentiles del 10% y del 90%.
- En determinada poblaciÛn la presiÛn arterial diastÛlica entre mujeres de 18 a 74 aÒos se encuentra distribuida normalmente con una media de = 77 mmHg y una desviaciÛn est·ndar de = 11; 6 mmHg
(a) Cu·l es la probabilidad de que una mujer elegida al azar tenga una presiÛn arterial diastÛlica menor de 60 mmHg? (b) Cu·l es la probabilidad de que tenga una presiÛn diastÛlica mayor de 90 mmHg? (c) Cu·l es la probabilidad de que tenga una presiÛn diastÛlica entre 60 y 90 mmHg?
- Una f·brica produce tornillos, las especiÖcaciones indican que el di·metro de los mismos debe estar entre 1 ; 19 y 1 ; 21 pulgadas. Si el proceso de producciÛn es tal que el di·metro de los tornillos es una variable aleato- ria con distribuciÛn normal con media 1 ; 196 y desviaciÛn estandar 0 ; 005 : øQuÈ porcentaje de la producciÛn no satisface las especiÖca- ciones?
- Un sistema consta de 5 componentes idÈnticos conectados en serie. Cuando falla uno de los componentes, falla todo el sistema. Suponga que cada componente tiene una duraciÛn que est· distribuida exponen- cialmente con = 0; 01 y que dicha duraciÛn es independiente para cada componente. DeÖna Ai ={i-Èsimo componente dura por lo menos t horas}, i = 1; :::; 5 (estos Ai son eventos independientes). Sea X = el tiempo en que falla el sistema (esto es la duraciÛn m·s breve entre las cinco componentes)
(a) El evento (X t), øes equivalente a quÈ evento donde aparecen las Ai? (b) Por medio de la independencia de las Ai, calcule P (X t). Luego obtenga F (t) = P (X t) y la densidad de X
- La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) es una varable aleatoria X con densidad dada por:
f (x) =
2(1 1 =x^2 ) si 1 x 2 0 en caso contraio (a) Calcular la funciÛn de distribuciÛn.
(b) Si el voltaje v en un medio es Öjo, pero la corriente I es aleatoria, entonces la resistencia (R = v=I) tambiÈn ser· aleatoria. Si I = 20 y I = 0: 5 , calcule los valores aproximados de R y R. (c) La absorbancia a de una soluciÛn es el el negativo del logaritmo (decimal) de su transmitancia t, a = log t: Se tiene una mediciÛn de t con error, representada por una variable aleatoria X con media t y desviaciÛn ; de modo que la absorvancia tambiÈn es una variable aleatoria representada por Y = log X. Si t = 0: 501 y = 0: 001 ; calcular la desviaciÛn est·ndar de Y (el error en la mediciÛn de la absorvancia)
