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Recuerde que una variable aleatoria continua es una variable aleatoria que, de por sí, puede tomar cualquier valor en cierto intervalo o secuencia de números reales. La probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor específico cualquiera es 0. Dado que esto no es cierto para el caso discreto, esta propiedad nos permite distinguir claramente una variable aleatoria continua de otra discreta.
6.1 Funciones de densidad continua y esperanza
En el caso discreto, las funciones de densidad se representan frecuentemente mediante tablas. Estas tablas nos proporcionan una lista de los posibles valores de X junto con f(x) o probabilidad de que X tome el valor de x. El caso continuo es más complejo, debido a que, como una variable aleatoria continua puede tomar infinitos valores, resulta imposible enumerarlos todos. Además, no nos interesa encontrar una ecuación que, al ser aplicada a un determinado valor de x , nos dé la probabilidad de que X tome el valor de x , puesto que ya sabemos que su probabilidad es 0. Sin embargo, sí necesitamos disponer de una expresión que nos permita calcular probabilidades, ya que para el caso continuo, nos interesa conocer la probabilidad de que X esté comprendida en un intervalo de valores específicos.
06.- Variables aleatorias continuas
Densidad continua. Sea X una variable aleatoria continua. La densidad de X es una función f definida en todos los números reales tal que:
- f(x) ≥ 0 (no negativa).
- El área comprendida entre la gráfica de f y el eje x es igual a 1.
- Para cualquier valor real de los números a y b , P[a≤X≤b] viene representada por el área comprendida entre la gráfica f , las rectas x=a , x=b , y el eje x.
Cuando nos dan una tabla con un conjunto de valores posibles para una variable aleatoria continua, lo primero que podemos hacer es elaborar grupos para obtener una clasificación en distintos rangos. Obsérvese el ejemplo en el que se ha estudiado el peso de los riñones como variable:
Ante todos los valores que observamos, procedemos a elaborar una tabla para clasificar todos los individuos según los rangos que creamos procedentes:
Con la clasificación y las frecuencias relativas, podemos elaborar el siguiente histograma. El área que delimita cada columna en el histograma, representa la frecuencia relativa del grupo que se representa:
La distribución normal es de gran importancia en el análisis y cálculo de todos los aspectos relacionados con datos experimentales en ciencias y en medicina. Recuerde que en el caso discreto existen muchas distribuciones binomiales distintas. En el caso de las distribuciones normales, nos encontraremos con la misma situación ya que también existen muchas distribuciones diferentes. En ellas cada densidad tiene la forma:
donde ϭ es la desviación típica de la variable aleatoria y μ es su media. Para identificar una determinada variable aleatoria distribuida normalmente sólo necesitamos hallar los valores de ϭ y μ.
Propiedades de la curva normal
- La gráfica de densidad de cualquier variable aleatoria normal es una curva simétrica en forma de campana con centro en su media μ.
- Los puntos de inflexión o “depresiones” en la curva se dan para valores de X iguales a una desviación típica a cada lado de la media:
Así pues podemos decir que punto de inflexión siempre cambia al valor de sigma. La situación de estos puntos determina la forma de la curva. Cuanto mayor sea el valor de ϭ , más lejos de la media estarán los puntos de inflexión y más plana será la curva, de aquí que, ϭ sea un parámetro de forma.
- Toda variable aleatoria normal es continua, por lo que pueden aplicársele todas las propiedades generales de las variables continuas. En concreto, para cualquier densidad normal, f , f(x) ≥ 0 y el área limitada por la gráfica de f y el eje horizontal es
- Las probabilidades se calculan encontrando las áreas correspondientes.
Distribución normal tipificada
Hay un número infinito de variables aleatorias normales, cada una de las cuales se caracteriza de forma exclusiva por los parámetros μ y ϭ^2. Para calcular las probabilidades asociadas a una curva normal específica, hay que recurrir directamente al cálculo, más concretamente, se utiliza una simple transformación algebraica, conocida como procedimiento de tipificación , mediante el cual se puede transformar cualquier cuestión relativa a una variable aleatoria normal en otra equivalente pero referida a una variable aleatoria normal de media 0 y varianza 1. Esta variable normal particular se representa con la letra Z y se conoce como variable aleatoria normal tipificada.
Teorema de la tipificación. Sea X una variable normal con media μ y varianza ϭ^2. La variable (X- μ )/ ϭ es normal tipificada.
Sea X 1 , X 2 , ..., Xn una muestra aleatoria de tamaño n , de una distribución con media μ y varianza σ^2. Entonces, para n grande, la distribución muestral de medias muestrales es aproximadamente normal con media μ y varianza σ^2 / n. Además, para n grande, la variable aleatoria (X- μ ) / ( σ /√ n ) es aproximadamente normal tipificada.
Estimación: Intervalo de confianza de la población (μ)
En este nuevo apartado trataremos de hacer lo opuesto que hemos hecho hasta ahora: a partir de una muestra intentaremos describir a la población. Para ello obtenemos un valor al azar que se encuentre en la distribución poblacional. A éste le sumamos y restamos el brazo y obtenemos un intervalo en el que se comprende la media.
Podemos observar que los valores “raros” conducen a un error ya que pueden no incluir la media de la población (son la probabilidad de equivocarme cuando estimo los parámetros poblacionales). El error máximo que se acepta es del 5%. El problema surge si no sabemos μ , ya que no sabremos si estamos acertando, pero decimos que tengo un 95% de confianza. Calculo μ a partir del intervalo de confianza.
El área debajo del intervalo delimitado por los brazos es 0,95 de probabilidad. En el caso de estimar μ, no sabemos donde esta el máximo, entonces no podemos calcular probabilidad y hablamos de confianza.
6.1.1.3. T de Student
En esta distribución, el máximo coincide con 0 y va de menos infinito a infinito. Es simétrica. La forma de la función depende de los grados de libertad. Aumentando los grados de libertad, la curva se hace más estrecha. Cuando el grado de libertad tiende a infinito, la distribución se asemeja a la función Z. (infinito = más de 30). Con esta distribución podemos combinar las dos ecuaciones, el teorema del limite central y ji de Pearson. Si tengo una muestra usamos T de student, si es de la población usaremos el teorema del límite central. T de student nos da intervalos más anchos que la normal.
Variables aleatorias que siguen una t de Student
A continuación veamos que tipo de intervalos podemos calcular a partir de cada una de las distribuciones estudiadas hasta ahora:
IP intervalo de probabilidad; IC intervalo de confianza
Normal T de Student
