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Comparación de dos medias y dos varianzas Cuantitativa-cualitativa En este capítulo, continuamos con el estudio de problemas relativos a dos muestras considerando métodos para comparar las medias de dos poblaciones. Se hace en condiciones experimentales diferentes, es decir, cuando las muestras extraídas son independientes y cuando los datos están emparejados.
8.1. Estimación puntual: muestras independientes
La situación general se puede describir del modo siguiente: hay dos poblaciones de interés, cada una con media desconocida; se extrae una muestra aleatoria de la primera población y otra de la segunda, de forma tal que los objetos seleccionados de la población I no tengan relación con los objetos de la población II (tales muestras se dice que son independientes); se comparan las medias poblacionales por medio de una estimación puntual.
Si quiero evaluar dos antibióticos, hacemos dos grupos de gente y a cada grupo le damos ambos medicamentos. El objetivo a estudiar puede ser distinto: 1 Los dos medicamentos son iguales?; 2 Es el tratamiento 1 más efectivos que el 2?; 3 Es 2 más efectivo que 1?:
08.- T-Student
La forma lógica de estimar la diferencia entre las medias poblacionales, μ 1 - μ 2 , es aplicar la diferencia de los resultados obtenidos:
Estas fórmulas se usan solo si los datos son independientes. La diferencia de medias sigue una Z:
Esta formula depende de σ 1 i σ 2 y quiero pasar las desviaciones típicas poblacionales a muestrales ( s ); esto implica que la distribución Z se convierta en una T. En función de la información que tengamos sobre las desviaciones típicas poblacionales tendremos que aplicar un estadígrafo u otro. Para el caso que desconozco el valor de las desviaciones típicas poblacionales, tenemos que realizar un contraste de hipótesis para saber si estas son iguales o distintas. El contraste a realizar es el siguiente:
Observando las hipótesis, podemos decir que las desviaciones típicas son iguales si no rechazo la hipótesis nula, en cambio si rechazo la hipótesis nula, las desviaciones típicas muestrales son distintas. Para rechazar o no la hipótesis nula hay que describir una nueva distribución la de F de Fischer-Snedecor.
Una vez obtenido el valor de F, el siguiente paso es rechazar o no la hipótesis nula para, recordemos, poder saber si las desviaciones típicas poblacionales son iguales o distintas.
Una vez tenemos la fórmula de las desviaciones típicas poblacionales, calculamos el estadígrafo y, en una nueva curva vemos si cae o no en zona de rechazo de la hipótesis nula. Si en el problema se nos habla de desviaciones típicas muestrales, esta nueva curva seguirá una distribución t de Student ; si se nos habla de desviación típica poblacional seguirá una Z normal.
8.2. Interferencias sobre μ 1 - μ 2 : T para datos emparejados
En muchos ejemplos surgen problemas en los que se dispone de dos muestras aleatorias no independientes; más bien, cada observación en una muestra está naturalmente, o a propósito, emparejada con una observación de la otra. Ejemplos de esta clase de emparejamientos ocurren en estudios realizados con un grupo de persones, en el cual se comparan las presiones sistólicas iniciales y finales, después de aplicarles un tratamiento.
Cuando se tiene un emparejamiento tal como el que se acaba de exponer, no son aplicables los métodos de la sección anterior. Cualquier procedimiento para comparar medias deberá tener en cuenta ahora el hecho de que las observaciones están
emparejadas. Considerando el ejemplo anterior, los dos valores a comparar son μ 1
(presión sistólica inicial) y μ 2 (presión sistólica final). En particular queremos estudiar
una nueva variable, la variable diferencia (μd) entre las dos anteriores (μ 2 - μ 1 ).
Si el valor obtenido cae por enzima de F, entonces rechazaremos la hipótesis nula y diremos que las desviaciones típicas poblacionales son distintas. El valor F que determina la zona de rechazo es F υ 1 ,υ 2 ;α.
Si esta variable diferencia a nivel poblacional es distinta de 0, es que ha habido un cambio del colesterol. Si es mayor que 0, ha habido un aumento de colesterol, si la media de la diferencia es menor que 0, ha habido una disminución.
A partir de la variable diferencia tengo que calcular un estadígrafo y rechazar o no la hipótesis nula. Si en el enunciado del problema nos dan una media usaremos el estadígrafo de Z. Si se sigma es una T de student.
Ejercicio datos apareados: ver 7.
Si tengo datos apareados tengo que calcular la variable diferencia y usar la formula de Z o T sobre la variable.
