¡Descarga Funciones de Variables Complejas: Conceptos y Aplicaciones y más Ejercicios en PDF de Matemáticas Aplicadas solo en Docsity!
UNIVERIDAD NACIONAL DE PIURA
FACULTAD DE INDUSTRIAL
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INFORMÁTICA
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
FUNCIONES DE VARIABLES COMPLEJAS
INTEGRANTES: -ALFARO NUNURA AARON.
-ANCAJIMA CRUZ MIGUEL.
-ARANDA ZAPATA NAYELY.
-CHUMACERO LÓPEZ CRISTHIAN.
- IBAÑEZ VALLADOLID NOÉ.
- SANDOVAL VALENCIA EDWIN.
ASIGNATURA: CÁLCULO III
DOCENTE : LIC. HENRY DEL ROSARIO CASTILLO
PIURA – PERÚ
Dedicatoria
Dedicamos este trabajo principalmente a Dios, quien nos ha
dado la fuerza e inteligencia para poder culminarlo. A
nuestros padres, quienes fueron nuestro mayor apoyo en
tiempos de angustia. Y a todos los lectores interesados en el
tema tratado en el presente trabajo.
RESUMEN
El análisis complejo o teoría de las funciones de variable compleja es una de las ramas clásicas
de las matemáticas que tiene sus raíces más allá del siglo XIX. En tiempos modernos se
convirtió en popular gracias al empuje de la dinámica compleja y los dibujos de fractales,
producidos por la iteración de funciones holomorfas, de los cuales el más popular es el conjunto
de Mandelbrot. Otras aplicaciones importantes del análisis complejo son las de la teoría de
cuerdas, una teoría de campos cuánticos conforme-invariante.
Como vemos este tema es de mucha utilidad, pero en este trabajo solo nos hemos centrado en un
tema como son las funciones de variables complejas, sé que es posible desarrollar
satisfactoriamente la teoría de funciones de variable compleja de una forma totalmente auto
contenida, creo que en las clases siempre deben subrayarse las conexiones de algunos conceptos
y resultados de estas asignaturas con los de otras. Al establecer relaciones de este tipo creo que
no sólo contribuiremos a que el alumno aprenda mejor y más rápido al integrar los nuevos
conceptos y resultados en una red de nociones matemáticas transversal a varias asignaturas, sino
que también le ayudaremos a desarrollar su intuición geométrica sobre las funciones holomorfas,
tan necesaria para resolver problemas no triviales y asimilar demostraciones complejas. El
tiempo empleado en establecer estas conexiones no será ni mucho menos malgastado, y además
de hecho se recuperará por otros lados: por ejemplo, siguiendo este mismo principio, en el
Capítulo 1 nos ahorraremos algunas demostraciones (elementales, pero aburridas y reiterativas
para un estudiante de este nivel) sobre límites y continuidad de funciones complejas, al hacer ver
al alumno que puesto que las funciones complejas son en realidad funciones de R
2
en R
2
ÍNDICE
- Dedicatoria......................................................................................................................................................
- Agradecimiento................................................................................................................................................
- RESUMEN.........................................................................................................................................................
- INTRODUCCIÓN................................................................................................................................................
- OBJETIVOS........................................................................................................................................................ - Objetivos Generales..................................................................................................................................... - Objetivos Específicos....................................................................................................................................
- FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA............................................................................................................... - CONJUNTOS EN EL PLANO COMPLEJO......................................................................................................... - FUNCIÓN DE VARIABLE COMPLEJA.............................................................................................................. - REPRESENTACIÓN GRÁFICA. COMPLEJO CONJUGADO Y MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO.............. - FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO............................................................................................. - FÓRMULA DE MOIVRE................................................................................................................................ - RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO........................................................................................................... - FUNCIONES ELEMENTALES......................................................................................................................... - I. POLINOMIOS:...................................................................................................................................... - II. RACIONALES....................................................................................................................................... - III. FUNCIÓN EXPONENCIAL.................................................................................................................... - IV. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS....................................................................................................... - V. FUNCIONES HIPERBÓLICAS................................................................................................................. - VI. FUNCIÓN LOGARÍTMICA.................................................................................................................... - LÍMITE DE UN NUMERO COMPLEJO........................................................................................................... - LIMITES INFINITOS:................................................................................................................................ - CONTINUIDAD........................................................................................................................................... - DERIVADA DE UN COMPLEJO..................................................................................................................... - DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA:.................................................................................................... - [ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMMAN].................................................................................................. - PROPIEDADES DE LA DERIVADA............................................................................................................. - VII. FUNCIONES HOLOMORFAS..............................................................................................................
- CONCLUSIÓN..................................................................................................................................................
OBJETIVOS
Objetivos Generales
Investigar y analizar sobre las funciones de variable compleja.
Objetivos Específicos
Conocer la teoría de Cauchy de las funciones analíticas.
Entender las propiedades de las funciones diferenciables en una variable compleja.
Entender cómo la variable compleja aclara y soluciona algunos problemas de variable real.
Conocer las aplicaciones del método de los residuos al campo real.
Comprensión de la naturaleza de las singularidades aisladas de las funciones analíticas.
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
CONJUNTOS EN EL PLANO COMPLEJO
Consideremos un número real r > 0 y z 0
∊ ℂ. Se denomina círculo o disco abierto de radio r y. Se denomina círculo o disco abierto de radio r y
centro z 0
al conjunto,
D ( z
0
,r ) ={ z ∊ C :dist (z ˳ ˎz)<r }, donde dist ( z ˳ ˎz)=|z−z ˳|
Un punto se denomina punto interior de un conjunto A si es posible centrar el él un disco
que se quede contenido en A.
Un conjunto se denomina abierto si todos sus puntos son interiores.
Un conjunto se denomina conexo si siempre es posible unir dos se sus puntos mediante
una poligonal contenida en el conjunto.
Un conjunto se denomina región si es abierto y conexo.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA. COMPLEJO CONJUGADO Y MÓDULO DE UN
NÚMERO COMPLEJO
Es usual interpretar el número complejo x +iy como el vector del plano (x, y) y, en ese sentido, se
habla del plano complejo. El eje horizontal recibe el nombre de eje real, y el eje vertical recibe el
nombre de eje imaginario.
Si
z=x +iy es un número complejo (con x e y reales), entonces el conjugado de z se define
como: ´z=x−iy, y el módulo o valor absoluto de z, se define como:
|z|=
x
2
2
. Observa que
√ x
2
2
está definido sin ambigüedad; es la raíz cuadrada del
número real no negativo x
2
2
FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO
El uso de coordenadas polares en el plano facilita mucho los cálculos con productos de
números complejos. Para cualquier número complejo
z=x +iy ≠ 0 podemos escribir
z=
z
x
|z|
iy
|z|
Como
x
|z|
y
|z|
es un punto de la circunferencia unidad, puede escribirse en la forma
x
|z|
y
|z|
=(cosϑ , senϑϑ )
Para algún ϑ ∈ R resulta así que:
z=|z|(cosϑ +isenϑϑ )
Esta forma de expresar un número complejo recibe el nombre de forma polar o forma
módulo-argumento cuya interpretación gráfica vemos en la figura
FÓRMULA DE MOIVRE
Si
z es un complejo no nulo, ϑ es un argumento de
z y n es un número entero, se verifica
que nϑϑ ∈ Arg(z
nϑ
, es decir:
z
nϑ
=|z|
nϑ
( cosϑ +isenϑϑ )
, z ∈ C
¿
,ϑ ∈ Arg ( z ) , nϑ ∈ Z
RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO
Se trata ahora de resolver la ecuación w
nϑ
=z
donde n es un número natural, n > 2, y nϑ ≠ 0 es un
número complejo conocido. Escribamos w en forma polar
w=|w|( cosϑ +isenϑϑ )
Ahora, usando la fórmula de De Moivre, podemos escribir la ecuación w
nϑ
=z
en la forma
equivalente
FUNCIONES ELEMENTALES
I. POLINOMIOS:
Los polinomios complejos son de la forma:
f
z
=a
nϑ
z
nϑ
nϑ− 1
z
nϑ− 1
+…+ az+ a
0
a
j
∈ C,para todo j= 0, 1, 2,…, n
La parte real e imaginaria de una función polinómica compleja son funciones
polinómicas de dos variables reales.
Por ejemplo :
f
z
= 2 z
2
x +iy
2
x
2
− y
2
4 xy
=u
x , y
+iv
x , y
Es importante resaltar que una función polinómica compleja es aquella que se puede
expresar como combinación lineal de potencias de exponente natural z, ya que
pueden concurrir en u ( x , y ) y iv ( x , y ). Un ejemplo es la función
( x
2
2
) +i( x
2
− y
2
que no se puede expresar e la forma z
2
+bz+c
por lo tanto no es
una función polinómica compleja.
II. RACIONALES
De forma análoga al caso real, se denomina función racional a una función definida
como cociente de dos polinomios
f ( z )=
P ( z )
Q ( z )
Como en el caso real, las funciones racionales se pueden definir en todo el plano
complejo salvo en el conjunto de los números complejos que anulen el denominador,
que son las raíces del polinomio Q (z).
Así, por ejemplo:
f ( z )=
2 z
2
z
2
Está definido para todo valor complejo del plano salvo z=−i y z =i
III. FUNCIÓN EXPONENCIAL
Dado el número complejo
z=x +iy , la función exponencial compleja se define a
través de la fórmula de Euler f
z
=exp
z
=e
z
=e
x+iy
=e
x
cosy+isenϑy
La función así definida es una extensión de la función exponencial real, pues si z es
un número real y=o, f
z
=e
x
Propiedades:
z , w ∈ C , e
z +w
=e
z
e
w
Si ´z=x−iy, | e
z
| =e
y
, , | e
iy
| = 1
e
z
= 1 ⟺ z= 2 kπiπ , sienϑdo kπ ∈ Z
e
z
=( e
z
− 1
(e
z
nϑ
=e
znϑ
IV. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas seno y coseno complejas se definen:
cosz =
e
iz
+e
−iz
, cosz =
e
iz
−e
−iz
2 i
Propiedades;
cos (−z ) =cos ( z ) , senϑ ( z )=−senϑ(z )
cos
2
z + senϑ
2
z = 1
senϑ ( z+ w) =senϑ z cos w+ senϑ w cos z
log ( zw )=log z +log w
log
z
w
=log z −log w
log ( zw )=log z +log w ± 2 kππi
LÍMITE DE UN NUMERO COMPLEJO
Una función
f ( z) tiene límite L ∊ ℂ cuando z tiende a z 0
∊ ℂ, y se representa
lim
z → z 0
f ( z )=L ,
si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si z ∈ D(z
0
, ε );
z ≠ z
0
, entonces f ( z )−L< ε.
El álgebra de límites de funciones de variable compleja es el mismo que el límite de
funciones de variable real.
LIMITES INFINITOS:
Se puede extender la definición al plano complejo ampliado con el punto del infinito. En
este caso se tienen las siguientes definiciones:
lim
z →∞
f ( z )=w , ⩝ε > 0 ∃ M >0,tal que|z|> M , se vefica que
|f ( z ) −w|< ε
lim
z → z
0
f
z
=∞ , ⩝ M> 0 ∃ ε >0,tal que 0 < |
z−z
0
|
< ε , se verfica que|f ( z )|> M
CONTINUIDAD
Una función definida en un conjunto abierto
A ⊂ C
f : A → C , es continua en el punto
z
0
∈ A
Si y solo sí
lim
z → z
0
f ( z )=f (z
0
. La función es continua en A si es continua en todos los
puntos de A. Este hecho se representa mediante f ∈ C
0
( A)
. Los teoremas de continuidad
para funciones de variable real se mantienen para las funciones de variable compleja. La
existencia de límite y la propiedad de continuidad para f equivale a la existencia de límite y
propiedad de continuidad para u y v como funciones de variable real.
DERIVADA DE UN COMPLEJO
Sea f: A ⊂ ℂ ⥴ℂℂ , con A un abierto en C y z 0
∊ A. Se dice que f es derivable en z = z 0
si y
solo si el límite
lim
z → z
0
f ( z )−f
z
0
z−z
0
Existe y no es infinito. Conviene tener presente que el límite en z 0
se toma en cualquier
dirección de acercamiento a z 0
. Esto hará que, aunque la derivación compleja y la derivación
real compartan muchas propiedades, la derivación compleja sea más rica. El valor del límite
se denota por f′ (z 0
) o por
df
dz
(z
0
y coincide también con la cantidad
lim
h→ 0
f
z
0
−h
−f
z
0
h
donde la variable h es la variable compleja h =.
z−z
0
Una función se denomina analítica u holomorfa en un punto si es derivable en ese
punto y en un cierto entorno de ese punto.
Una función se denomina analítica u holomorfa en A si es derivable en todos los
puntos de A.
Una función analítica en todo ℂ se denomina función entera.
[ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMMAN]
Sea f(z) = u(x; y) + iv(x; y) una función derivable en z = x + iy. Entonces las funciones
u(x; y) y v(x; y) tienen derivadas parciales en el punto (x; y) respecto a las variables x
e y, y se verifican las igualdades:
∂ u
∂ x
∂ v
∂ x
∂u
∂ x
∂ v
∂ x
Si se imponen ciertas condiciones a la parte real e imaginaria de una función
de variable compleja entonces es posible garantizar su derivabilidad. En
concreto, si:
(a) En el punto (x 0 ; y0) las funciones u(x; y) y v(x; y) son derivables.
(b) En ese punto se cumplen las ecuaciones (1),
Entonces la función f(z) = u(x; y) + iv(x; y) es derivable en z0 = x0 + iy0. En
particular, si (a) y (b) son ciertas en todos los puntos (x; y) de una región A
entonces, teniendo en cuenta deducimos que la función es analítica en A y
además f(z) cumple que
f
'
z
=u
x
x
=v
y
−iu
y
=u
x
−i u
y
=v
y
+i v
x
,(⩝ z ∈ A )
Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann es posible reconstruir una función
analítica (a excepción de una constante), siempre y cuando se conozca o bien su parte
real u(x; y), o bien su parte imaginaria v(x; y). Una función Ã(x; y) se denomina
armónica en una región A si en esa región tiene derivadas parciales continuas hasta
segundo orden inclusive y satisface la siguiente ecuación en derivadas parciales
(conocida como la Ecuación de Laplace):
ϑ
2
φ
ϑ
2
x
2
ϑ
2
φ
ϑ
2
y
2
La expresión anterior se suele escribir como ▼ φ
= 0, donde ▼ denota al operador de
Laplace o Laplaciano. Si una función f ( z ) = u + iv es analítica en cierta región del
plano complejo C, entonces ▼u = 0 y ▼v = 0 en los correspondientes puntos del plano
R
2
. Es decir, u y v son funciones armónicas (y se denominan armónicas conjugadas).
En resumen, podemos establecer que: Si f ( z ) es una función analítica con z = x + iy y
f ( z ) = u ( x; y ) + iv ( x; y ), entonces u y v son funciones armónicas que satisfacen (1). Si
u y v son dos funciones armónicas que verifican (1), entonces u ( x; y ) + iv ( x; y ) es una
función analítica.
PROPIEDADES DE LA DERIVADA
La derivada compleja conserva las propiedades de la derivada en ℝ.
Dadas dos funciones complejas f(z) y g(z) derivables en el punto z 0
y dado un numero complejo c
cualquiera, se verifica las siguientes propiedades:
a) Las funciones f(z) y g(z) son continuas en z 0
b) Las funciones f(z) + g(z), f(z) * g(z), cf(z) son derivadas en el punto
z 0
y sus derivadas correspondientes son:
(f(z) + g(z))′ = f′(z 0
) + g′(z 0
(f(z) * g(z))′ = f′(z 0
) * g′(z 0
(c f(z))′ = c (f′(z))
c) Si g(z 0
) ≠ 0 en un entorno de z 0
, f/g es derivable en z 0
y su derivada es:
(
f
g
)
'
( z
0
f
'
z
0
g
z
0
−f ( z
0
) g ' ( z
0
( g (x))
2
d) Si f(z) es derivable en z 0
y g(z) es derivable en f(z 0
), la composición de
funciones h(z) = g(f(z)) es derivable en z 0
y h′(z 0
) = g′(f(z 0
))f′(z 0
)
