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Variables Aleatorias Bidimensionales

Las funciones de probabilidad generadas por el comportamiento aleatorio conjunto de dos o más variables (vector aleatorio) son llamadas distribuciones multivariadas y se utilizan en el estudio de las relaciones existentes entre varias variables.

DISTRIBUCIONES MULTIVARIADAS

Definición de Variable Aleatoria Bidimensional Función que asigna a cada elemento de un espacio muestral un par de valores reales, por lo tanto, su dominio [D(X,Y)] al espacio muestral, y como rango [R(X,Y)] a un conjunto de parejas de valores reales. O 1 O 2 . . . OM (x 1 ,y 1 ) (x 2 ,y 2 ) . . . (xK, yL) (X, Y)

= D(X,Y) R

(X,Y) 4

Clasificación de las Variables Aleatorias Bidimensionales R (X,Y) es numerable R (^) (X,Y) no es numerable (X, Y) es DISCRETA (X, Y) es CONTINUA

Función de probabilidad conjunta de dos variables discretas Ejemplo En el siguiente cuadro, se proporcionan las inversiones (en millones de soles), realizadas por 6 empresas agrícolas de la región «W» durante el año 2012. Si a esta población, se le aplica MSR, con n=3; determinar la función de probabilidad conjunta del promedio muestral (X) y de la mediana muestral (Y) de las inversiones. Empresa A B C D E F Inversión 10 12 10 11 12 13

Función de probabilidad conjunta de dos variables discretas Ejemplo N° Muestra Elementos de la muestra Valores de Inversión Promedio Muestral (X) Mediana Muestral (Y) 1 A, B, C 10, 12, 10 32/3 10 2 A, B, D 10, 12, 11 11 11 3 A, B, E 10, 12, 12 34/3 12 4 A, B, F 10, 12, 13 35/3 12 5 A, C, D 10, 10, 11 31/3 10 6 A, C, E 10, 10, 12 32/3 10 7 A, C, F 10, 10, 13 11 10 8 A, D, E 10, 11, 12 11 11 9 A, D, F 10, 11, 13 34/3 11 10 A, E, F 10, 12, 13 35/3 12

Función de probabilidad conjunta de dos variables discretas Ejemplo Tabla de probabilidad conjunta de X e Y Promedio Muestral (X) Mediana Muestral (Y) 10 11 12 31/3 1/20 0 0 32/3 2/20 0 0 11 1/20 4/20 0 34/3 0 2/20 2/ 35/3 0 0 5/ 12 0 0 2/ 37/3 0 0 1/ R(X,Y) = { (31/3, 10), (32/3, 10), (11, 10), (11, 11), (34/3, 11), (34/3, 12), (35/3, 12), (12, 12), (37/3,12)}

Función de probabilidad conjunta de dos variables discretas Ejemplo P ( x , y) =

¿ 1 20 , para ( 31 3 , 10 ) , (^ 11,10 )^ , ( 37 3 , 12 ) ¿ 2 20 , para ( 32 3 , 10 ) , ( 34 3 , 11 ) , ( 34 3 , 12 ) , ( 12,12) ¿ 4 20

. para (11,11 ) ¿ 5 20 , para ( 35 3 . ) ¿ 0 , de otro modo Expresión formal de la función de probabilidad conjunta del promedio muestral (X) y la mediana muestral (Y)

EJERCICIO 1 Se tiene 8 acciones de las cuales dos son de clase A, tres son de clase B, y tres son de clase C. Si se eligen al azar y sin reemplazo 4 acciones, determine la función de probabilidad conjunta de las variables: X = Número de acciones elegidas que son de la clase A. Y = Número de acciones elegidas que son de la clase B.

La función “ f ” es una densidad conjunta de probabilidad de dos variables aleatorias continuas si cumple con las siguientes condiciones: a) b) c) Función de densidad conjunta de dos variables continuas (X,Y ) f ( x , y)  0  ( x , y) R ( , y)  1         f x dy dx P A  P (x,y) A  f ( x , y ) dydx A 

  

b a b a

P X , Y ( , )

a b a b y y x x x x y y f x y dydx

Hallar el valor de “k” pare que f(x,y) sea una función de densidad conjunta Es claro que para 0<x<2 y 0<y<2, se tiene que f(x,y)>0, siempre que k>0. Solamente falta comprobar la condición: Función de densidad conjunta de dos variables continuas. Ejemplo 0 ,

de otro mod o f x y k x y si x y 

( , y)  1         f x dy dx

El rango de la variable (X,Y) es: R(X,Y)={ (x,y) / 0<x<2; 0<y<2} y el gráfico de la función es aproximadamente: Función de densidad conjunta de dos variables continuas. Ejemplo 0 ,

de otro mod o f x y k x y si x y 

EJERCICIO 2 Las cotizaciones diarias (en decenas de soles) de las acciones comunes de las empresas A y B, se distribuyen uniformemente, según W (^) =  (C A , C B ) / 0<C A  1 , 0<C B  1 , C A  C B }. a) Determine la función de densidad conjunta correspondiente. b) Determine la probabilidad de que ambas cotizaciones sean mayores a 5 soles

Si P ( x , y ) es la función de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X, Y; luego, la función de probabilidad marginal de la variable aleatoria X es: y la función de probabilidad marginal de la variable aleatoria Y es: Funciones de probabilidad marginales de dos variables discretas

X ( 𝑥 )= P [ X = 𝑥 ] = (^) ∑ 𝑦 ∈ 𝑅Y

Y ( 𝑦 )= P [ Y = 𝑦 ] = (^) ∑ 𝑥∈ 𝑅X