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e
6 Vectores. Dependencia e independencia lineal.
Introducción
Hay fenómenos reales que se pueden representar adecuadamente mediante un número con su
adecuada unidad de medida. Sin embargo para representar otros fenómenos hay que hacer uso del concepto
de vector: conjunto ordenado de números que se caracteriza por el número de elementos que lo componen y
por el lugar que ocupa cada elemento.
Por ejemplo, si queremos representar el precio de un bien, este queda perfectamente determinado por
un número real con su unidad de medida (€). Sin embargo, si queremos representar los precios que
comercializa una determinada empresa, si esta comercializa n bienes necesitaremos un vector de n
componentes (uno para cada precio de cada bien):
e 1
e 2
v = ( )
e n
e
1
e 1
Si fuese un bien v = (e1), si fuesen 2 bienes v = (
e
2
), si fuesen 3 bienes v = (
e
2
), etc.
3
Nota: Normalmente y por comodidad, los vectores no se representan como matrices columna, sino como
n-uplas:
e 1
e 1
, e 2
e 1
, e 2
, e 3
e 1
, e 2
, … , e n
Definición 6.
Definimos el espacio vectorial %
n
como el conjunto de todos los vectores de n
componentes
n
= {(x 1
, x 2
, … , x n
)⁄x 1
, x 2
, … , x n
C %}
Nota: En un sistema de coordenadas cartesianas el vector u = (x 1
, x
2
, … , x
n
) es un vector orientado que
queda determinado por su longitud, dirección y sentido. Un representante de este vector es el segmento
cuyo punto inicial es el origen de coordenadas y su punto final es el punto de coordenadas (x 1
, x 2
, … , x n
2
= {(x, y)⁄x, y C %}
conjunto de todos los vectores de 2 componentes.
3
(x, y, z)
x, y C %
conjunto de todos los vectores de 3 componentes.
Como vemos, se pueden representar los vectores de dos componentes en el plano y los de tres
componentes en el espacio, pero no se pueden representar geométricamente vectores con un número mayor
de componentes.
Definición 6.2 Operaciones con vectores:
El vector suma de dos vectores u = (u
1
, u
2
, … , u
n
) C %
n
y v = (v
1
, v
2
, … , v
n
) C %
n
es
el vector:
u + v =
u 1
, u 2
, … , u n
C %
n
Por ejemplo, si u = (1, 2, 1) C %
3
y v = (2, 1, 0) C %
3
, entonces u + v = (3, 3,
1) C %
3
El producto de un escalar α C % por un vector u = (u 1
, u 2
, … , u n
) C %
n
es el
vector:
α u =
αu 1
, αu 2
, … , αu n
C %
n
Por ejemplo, si u = (1, 2, 1, —1) C %
4
y α = 5 , entonces α u = (5, 10, 5, —5) C %
4
Proposición 6.3 (Propiedades de la suma de vectores)
- u + v C %
n
6 u, v C %
n
oeeraci ó n interna
- u +
v + w
u + v
n
asociativa
- El vector nulo o vector cero, definido eor 8 = (0, 0, … ,0), verifica que
u + 8 = 8 + u = u 6 u C %
n
(existencia de eleNento neutro).
4. El vector opuesto de u =
u 1
, u 2
, … , u n
C %
n
, definido por —u =
—u 1
, —u 2
, … , —u n
C %
n
, verifica:
u + (—u) = (—u) + u = 8 6 u C %
n
(existencia de eleNento oeuesto).
- u + v = v + u 6 u, v C %
n
(conNutativa).
Luego,
n
tiene estructura de grupo conmutativo.
Proposición 6.4 (Propiedades del producto de un escalar por un vector)
- α u C %
n
6 α C % y 6 u C %
n
oeeraci ó n externa
α + þ
u = α u + þ u 6 α, þ C % y 6 u C %
n
distributiva reseecto a la suNa
de escalares
- α
u + v
= α u + α v 6 α C % y 6 u, v C %
n
distributiva reseecto a la suNa de
vectores).
- α
þ u
α þ
u 6 α, þ C % y 6u C %
n
asociativa Nixta
- 1 u = u 6u C %
n
El conjunto de todos los vectores de n componentes con las operaciones de suma de
vectores y producto de un escalar por un vector (%
n
, +, ·) tiene estructura de espacio
vectorial.
Nota: Dado que un vector es una matriz columna, verifica las propiedades de la suma de matrices y del
producto de un escalar por una matriz.
Definición 6.5 Sean v 1
, v 2
, … , v k
C %
n
Una combinación lineal de v 1
, v 2
, … , v k
es cualquier expresión de la forma:
h 1
v 1
v 2
v k
con h 1
, h 2
, , … , h k
C %
Por ejemplo: 3v 1
v 2
C
3
dicho de otra
manera, el vector (7, 7,0) es combinación lineal de los vectores v 1
= (3,1,2) y v
2
Otra combinación lineal será:
v +
2v
, 7) C %
3
1
2
, 7 ) es coNbinaci ó n
lineal de v 2 2
= (3,1,2) y
v 2
Definición 6.7 Dependencia e independencia lineal
Los vectores v 1
, v 2
, … , v k
C %
n
son linealmente dependientes (o ligados) si
existen números (escalares) h 1
, h 2
, … , h k
no todos ceros tales que
h 1
v 1
v 2
v k
Si la ecuación anterior se verifica solamente cuando h 1
= 0, h 2
= 0, … , h k
= 0 se
dice que los vectores son linealmente independientes (o libres).
Ejemplo 6.8 Dados los vectores v 1
v 2
y v 3
de %
3
comprobar que son linealmente dependientes. Interpretar el resultado.
Solución:
h 1
(3h 1
, h 1
— 2h 2
, 2h 1
— 9h 3
0, 0) ‹ 3h 1
h1 — 2h2 + 13h3 = 0 } es un sistema homogéneo que estudiamos de la forma
habitual
2h 1
— 9h 3
A = ( 1 —2 13 )
rg(A) ≤ 2 1 —
‹ S. C.
I. ‹
infinitas soluciones
eara h 1
, h 2
y h 3
(soluci ó n
| = 0 ‹ rg(A)
distinta de la
trivial) ‹ vectores
deeendientes
Interpretación del resultado:
1) Para saber si un conjunto de vectores es dependiente o independiente hay que estudiar
un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, en el que la matriz asociada tiene por
columnas las coordenadas de los vectores que queremos estudiar.
1
v 1
v 2
v 3
2)El nº de incógnitas del sistema homogéneo coincide con el nº de vectores que estamos
estudiando.
3) No hace falta resolver el sistema para saber si los vectores son dependientes o
independientes. Lo que necesitamos saber es si el sistema tiene sólo la solución trivial (los
vectores serán linealmente independientes) o
… , v k
son linealmente dependientes.
Ejemplo 6.11 Dados los vectores v 1
= (3,1,2) v 2
= (1, —2,3) y v 3
= (4,13, —9) de %
3
demostrar que son dependientes y expresar v 3
como combinación lineal de v 1
y v 2
rg
A
A = (
= 0 ‹ rg(A) = 2
rg(A) =
n º de vect
} ‹ rg
A
€ n º de vect ‹ son l. d.
Vamos a expresar v 3
como combinación lineal
de v 1
y v 2
3a + b = 4
v3 = av1 + bv2 ‹ (4,13, —9) = a(3,1,2) + b(1, —2,3) ‹ { a — 2b = 13
2a + 3b = —
B = (
h
| = —7 ‹ rg(B)
I
I
B
13 )I
| 1 — 2 13 | = 0 ‹ rg
B
l
3a + b =
4 a — 2b
a = 3
b = —
v 3
= 3v 1
Ejemplo 6.12 Estudiar el sistema de vectores v
1
= (0,1,1), v
2
= (0,0,1) y v
3
= (0,0,2). ¿Se
puede expresar v 1
como combinación lineal de v 2
y v 3
Veamos si son dependientes o independientes
A = ( 1 0 0 )
| = 1 ‹ rg
A
| = 0 ‹ rg(A)
rg
A
n º de vect
} ‹ rg
A
€ n º de vect ‹ son l. d.
Como v 1
, v 2
y v 3
son dependientes sabemos que uno de ellos se puede poner como
combinación lineal de los demás. Elegido un vector cualquiera, ¿se puede poner como
combinación lineal del resto? No, de hecho es fácil ver que v 1
no se puede poner como
combinación lineal de v 2
y v 3
= a
Se obtiene el
sistema:
a + 2b = 1
Nota: Se verifica
- Cualquier conjunto de vectores que contenga al vector nulo es linealmente dependiente.
EjeNelo: v 1
= ( 3 , 1 , 2 , 1 ) v 2
= ( 1 , — 2 , 3 , 1 ) y v 3
rg (
) = 2 € n º de vectores
- Un conjunto formado por un único vector distinto del vector nulo es linealmente independiente.
EjeNelo: v =
rg (
) = 1 = n º de vectores
- Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, cualquier conjunto que lo contenga será
linealmente dependiente
EjeNelo:
son l. d.:
A = ( ) , | | G 0
y
1 1 2
| = 0 ‹ rg(A) = 2 € n º de vectores = 3 ‹ l. d.
¿ Qu é ocurre si a ñ adiNos un vector N á s?
a, b, c)
| G
f
I
I
1 1 a
= 0 ‹ rg
B
= 2 € n º de vectores = 4 ‹ l.
d.
I
| 1 0 b|
‹ euede ocurrir ‹ {
G 0 ‹ rg(B) = 3 € n º de vectores =
4 ‹ l. d
L
1 1 c
- Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, cualquier subconjunto suyo será linealmente
independiente.
EjeNelo: {( 2 , 1 , 0 ), ( 1 , 0 , 1 ), ( 0 , 1 , 2 )} son l. i.:
A = (
| G 0 y |
| G 0 ‹ rg
= n º de vectores
¿ Qu é ocurre si quitaNos el eriNer vector? {( 1 , 0 , 1 ), ( 0 , 1 , 2 )}
a
B = ( 1
b)
c
| G 0 ‹ rg
1 ) = 2 = n º de vectores
‹ l. i. 2
¿ Qu é ocurre si quitaNos el segundo vector?
| G 0 ‹ rg
1 ) = 2 = n º de vectores
‹ l. i. 2
Las rectas que pasan por el origen (dimensión 1)
Los planos que pasan por el origen (dimensión 2)
El espacio tridimensional %
3
, que recibe el nombre de espacio total (dimensión 3)
u = μ v + μ v + … +
Proposición 7. 2 Sea A C M N×n
Las soluciones de un sistema lineal homogéneo Ax = 8 forman un subespacio vectorial
de %
n
Demostración:
Sea F es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineal y homogéneo
F = {x C %
n
⁄Ax = 8 }
Veamos que se verifican las dos propiedades de la definición 7.
- Sean u, v C F ‹ {
Au
Av = 8
¿ u + v C F? A(u + v) = Au + Av = 8 + 8 = 8 ‹ u + v
C F
- Sea α C % y u C F ‹ Au = 8 ¿ αu C F? A
αu
= α
Au
= α8 = 8 ‹ αu C F
Como se verifican las dos propiedades F es un subespacio vectorial.
Definición 7. 3 Sean F S %
n
un subespacio vectorial de %
n
y A C M N×n
Las ecuaciones del sistema Ax = 8 reciben el nombre de ecuaciones implícitas del
subespacio F.
Proposición 7.4 Sean v 1
, v 2
, … , v k
C %
n
El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de v 1
, v 2
, … , v k
es un
subespacio vectorial de
n
que recibe el nombre de variedad lineal generada por v 1
, v 2
, … , v k
, y se denota por
f(v
1
, v
2
, … , v
k
) o bien (v
1
, v
2
, … , v
k
Demostración:
Sea F =
u C %
n
u = h 1
v 1
v 2
v k
Veamos que se verifican las dos propiedades de la definición 7.
- Sean u 1
, u 2
C F ‹ {
u
1
= h
1
v
1
2
v
2
… + h
k
v
k
2 1 1 2 2 k k
¿ u 1
C F?
u 1
= ˛h 1
v
1
+ h
2
v_
2
.+ … +h
k
_v¸
k
v
1
_+ μ 2
v 2
.+ … +_μ k
v¸
k
u 1
u 2
(h _
1
_
_
μ 1
_
v 1
_
_
h 2
_
v 2
_
_
_
h k
k
_
v ¸
k
C F
coNbinaci ó n SineaS de v 1
,v 2
,…,v k
- Sea α C % y u C F ‹ u = h 1
v 1
v 2
v k
¿ αu C F?
α u = α
h 1
v 1
v 2
v k
α_h 1
_v 1
+_
_α h 2
_
.v 2
+_… +
α
h_
k
_v¸
k
C F
coNbinaci ó n SineaS de v 1
,v 2
,…,v k
Como se verifican las dos propiedades F es un subespacio vectorial.
Definición 7.5 Sean F S %
n
un subespacio vectorial de %
n
y v 1
, v 2
, … , v k
C %
n
v 1
, v 2
, … , v k
es un sistema generador del subespacio vectorial F si F =
v 1
, v 2
… , v k
Dicho de otra manera, {v 1
, v 2
, … , v k
} es un sistema generador de F si, cualquier
vector de F se puede expresar como combinación lineal de {v 1
, v 2
, … , v k
Nota: Veamos con un ejemplo qué significa F =
F es el subespacio vectorial de %
4
formado por todas las combinaciones lineales que se pueden hacer
x = —4α
— 2þ z =
þ
w = 3α +
5þ
Estas ecuaciones reciben el nombre de
ecuaciones paramétricas del
subespacio F o ecuaciones
explícitasdel subespacio F
Ejercicio 7.6 Comprobar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales
a) E 1
= {(x 1
, x 2
, x 3
) C %
3
⁄x 1
= 1 } No, el vector nulo ( 0 , 0 , 0 ) Ø F
b) E 2
= {(x 1
, x 2
) C %
2
⁄x 1
= 0 , 2 x 1
= 0 }. Si, ya que las soluciones de un
sistema lineal
homogéneo forman un subespacio vectorial.
En este caso, como rg (
) = 2 = n º de inc ó gnitas , la única solución es la
trivial y se trataría del
subespacio trivial: E 2
c) E 3
= ((1,0,0), (1,1,1)) Sí, porque el conjunto formado por las combinaciones lineales
de dos vectores de
3
es un subespacio vectorial de %
3
Definición 7.7 Sean F S %
n
un subespacio vectorial de %
n
y {v 1
, v 2
, … , v k
} S F
Decimos que
v 1
, v 2
, … , v k
es una base del subespacio F si:
v 1
, v 2
, … , v k
es un sistema generador de F.
2. {v
1
, v
2
, … , v
k
} es linealmente independiente.
El número de vectores de cualquier base de F, que siempre es el mismo, recibe el nombre
de dimensión del subespacio F y se denota por dim( F ).
Nota : Si nos dan un sistema generador de un subespacio y queremos una base, lo único que hay que hacer
es eliminar los vectores que dependen de los demás.
Ejemplo 7.
Consideremos el subespacio vectorial E =
(0, —1,1), (2, —1,3)) de %
3
Veamos cómo obtener una base:
EstudiaNos el rango de la Natriz A = ( 0 1 — 1
| = 1 G 0 ‹ rg
A
orlamos:
— 1 | = 0 ‹ eodeNos eliNinar el tercer vector
h
I
Una base de E es {(1,0,1),
— 1 | = 0 ‹ eodeNos eliNinar el cuarto
vector
I
dim E = 2
| = 0 ‹ eodeNos eliNinar el quinto
vector
I
8 Bases de %
n
. Componentes de un vector.
Definición 8.1 Sea
v 1
, v 2
, … , v k
S %
n
El conjunto de vectores {v 1
, v 2
, … , v k
} es una base de %
n
si
1. {v 1
, v 2
, … , v k
} es un sistema generador de %
n
v 1
, v 2
, … , v k
es linealmente independiente.
El número de vectores de cualquier base de %
n
, que siempre es el mismo, recibe el nombre
de dimensión de %
n
y se denota por dim(%
n
Nota : Las bases de %
n
están formadas por n vectores y la dimensión de %
n
es n, dim
n
= n.
Ejemplo 8.2 Veamos que B =
es una base de %
2
1.Es sistema generador: 6
x, y
C %
2
x, y
= h 1
? Para que sea cierto el
sistema
h
1
2
= x
} tiene que tener
solución única 2h 1
= y
A = (
) ‹ coNo |
| = — 3 G 0 ‹
rg
A
rg(A) = rg(A
S. C. D
x
A
) ‹ coNo |
| = — 3 G 0 ‹ rg(A)
nº de incógnitas
Solución única
2.Son linealmente independientes rg (
Conclusión: B =
es una base de %
2
Nota : Un conjunto de n vectores de %
n
linealmente independientes siempre es una base.
Definición 8.
C =
e 1
, e 2
, … , e n
, con e i
i
1 , 0, … ,0) el vector con todas sus componentes iguales
a 0 excepto
la i-ésima que es igual a 1, es una base de %
n
que recibe el nombre de base canónica de
n
{(1,0), (0,1)} base canónica de %
2
{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} base canónica de %
3
{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} base canónica de %
4
, etc
Proposición 8.4 Sea B =
v 1
, v 2
, … , v n
S %
n
una base de %
n
y v C %
n
v se puede expresar de forma única como v = h 1
v 1
v 2
v n
. En este caso
diremos que
h 1
, h 2
, … , h n
son las coordenadas de v respecto a B y escribimos v =
h 1
, h 2
, … , h n
)B
Demostración:
Queremos demostrar quelas coordenadas respecto a una baseson únicas. Supongamos que v
C %
n
se puedeexpresar dedos formas distintas respecto a la baseB
v = h 1
v 1
v 2
v n
RestaNos aNbas exeresiones
v = μ1v1 + μ2v2 + … + μnvn 8 =
h 1
— μ 1
v 1
h 2
— μ 2
v 2
h n
y
Ejercicio 8.4 Probar que B =
es una base de %
2
y calcular las coordenadas del
vector
v =
respecto a ella.
Tenemos 2 vectores de %
2
, si son independientes, serán base de %
2
A = (
) , coNo |
| = — 1 G 0 , rg(A) = 2 ‹ son l. i.
Buscamos las coordenadas del vector
en función deesta base.
( 5 , 4 ) = h 1
( 1 , 1 ) + h 2
5 = h
1
2
resolviendo el sisteNa ‹
h
1
‹ v = ( 3 , 1 )B
4 = h
1
2
h
2
