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UNIDAD VI
ESPACIOS VECTORIALES
✓ Vectores en n
✓ Módulo de un vector
✓ Interpretación geométrica de vectores y su representación
✓ Operaciones con Vectores y sus Propiedades
✓ Vectores Ortogonales
✓ Aplicaciones de Vectores
✓ Ley de Composición interna y Ley de Composición Externa.
✓ Espacios Vectoriales.
✓ Propiedades de los espacios vectoriales.
✓ Subespacios Vectoriales.
✓ Combinaciones lineales.
✓ Vectores linealmente independientes y linealmente dependientes.
✓ Rango de una matriz y vectores linealmente independientes.
✓ Subespacio generado por una familia de vectores.
✓ Sistema de generadores.
✓ Base de un espacio vectorial.
✓ Dimensión de un espacio vectorial.
✓ Subespacios generados por un conjunto de vectores. Base y dimensión.
✓ Coordenadas de un vector.
✓ Aplicaciones.
REVISIÓN DE CONCEPTOS TEÓRICOS BÁSICOS
Formula la definición de vectores de n
b) Define Norma o módulo de un vector
c) ¿Cuándo puedes afirmar que dos vectores de n son iguales?
Dados dos vectores u y v, pertenecientes a n y
a) Define la operación u
b) Define la operación u + v
Enuncie las propiedades de suma de vectores y del producto entre un escalar
y un vector
Define el Producto interno entre vectores de n
¿Qué otro nombre recibe el producto interno entre vectores?
¿Qué condición deben cumplir dos vectores para que sean ortogonales?
Define ley de composición interna. Elabora ejemplos.
Define ley de composición externa. Elabora ejemplos.
Sea Z, conjunto cuyo único elemento es “yogur”. En Z definimos: yogur + yogur = yogur k (yogur) = yogur con k Demuestre que Z es un espacio vectorial
Podré demostrarlo???
Ayuda : Un espacio vectorial no es solamente un conjunto de objetos (de vectores); deben estar definidas en él operaciones de suma y producto por escalares, y ellas, satisfacer los diez axiomas de la definición de E. V.
Sea A = {v 1 , v 2 , ..... ,vn } un conjunto de vectores de ( V, +, R,. ). Demuestra
que: “Si A es l.d. entonces algún vector de A es combinación lineal de los
demás”.
Si cualquier vector v de V, se expresa en forma única como combinación lineal
de un conjunto A de V, ¿qué puedes afirmar del conjunto A?.
Dado ( V, +, R, .) un espacio vectorial. Sea vV tal que
v = α 1 v 1 +α 2 v 2 +.....+αnvn con A = {v 1 , v 2 , ..... ,vn } V , A es l. i. ¿ Qué puedes
afirmar acerca de dicha combinación lineal?. Justifica tu respuesta.
¿ Todo subconjunto de un conjunto de vectores l.i. es l.i. o l.d.?. Explica.
¿Un conjunto de vectores que contiene a un subconjunto l.d., es l.d. o l.i.?
Explica.
¿Se puede afirmar que todo conjunto de n vectores de Rn^ es l.i.? Justifica tu
respuesta.
¿ Puedes definir rango de una matriz utilizando el concepto de independencia
lineal?. Explica.
¿Cuál es la definición de subespacio vectorial generado por un conjunto de
vectores A={v 1 , v 2 , ., vn} de un espacio vectorial V?. Lee atentamente el
ejercicio 6.- , ¿puedes ampliar tu respuesta?.
Formula la definición de un sistema de vectores generador de un espacio
vectorial real.
¿Por qué el conjunto de vectores {e 1 , e 2 ,....., en} Rn^ es un generador del
Espacio Vectorial Rn^ ?.
Puedes afirmar que cualquier conjunto de vectores l.i. de V, es un sistema de
generadores de V?. Justifica tu respuesta.
Define base de un espacio vectorial.
Es el conjunto A = { ( 1, 0, 0,..., 0), ( 0, 1, 0,..., 0),..., ( 0, 0,..., 1)} una base de
Rn?. Explica.
Si A = { v 1 , v 2 , ..., vn} es l .i. ¿Es A una base de Rn^ ?. Explica.
¿Por qué el conjunto de vectores {e 1 , e 2 , , en} Rn^ es una base de Rn^?
¿Cuál es la base canónica de R^3?
Si W y T son dos bases de V, espacio vectorial, ¿qué puedes afirmar del
número de vectores de dichos conjuntos de vectores?
Formula la definición de dimensión de un espacio vectorial.
¿Por qué la dimensión del espacio vectorial R^3 es 3?
Si A es un conjunto de n vectores l.i. de Rn^ , ¿Qué puedes afirmar de A?
Si A es un sistema de n vectores generadores de Rn^ , ¿Qué puedes afirmar de
A?
Si D es un conjunto de n vectores l.i. de V, ¿El conjunto D es base de V?
6.- Una fábrica textil produce remera, pantalones y shorts. El vector costo unitario de
producción es el siguiente: c = (55, 70, 35). Para calcular los nuevos costos para Enero
2019, se estima que la inflación será de un 20% más. Calcule el nuevo vector costo de
producción.
7.- Una fábrica láctea está evaluado introducir al mercado quesos envasados en pequeñas
bochas, los tipos de quesos que se desean producir son: clásico, al ají y al orégano.
De acuerdo a la evaluación de costos de producción, se determinó que los mismos son 50,
53 y 55 respectivamente para cada tipo de producto y según un estudio de mercado se
estima vender 160, 140 y 150 unidades de cada tipo de queso.
Calcular el Costo Total de producción para poder determinar el monto de la inversión
inicial.
8.- Carsa SA fabrica bolsas plásticas para distribuir en comercios. Los rollos que se producen
contienen las bolsas en tres tamaños T1, T2 y T3. Sabiendo que el costo total de
producción es de 2780, el vector de precios de los productos es p = (40, 50, 60) y la
cantidad de bolsas que se vendió este último mes se muestra en el vector q = (200, 230,
300). Calcular el Beneficio que se logra en la venta del último mes.
ESPACIOS VECTORIALES
1 .- i) Pruebe que la cuaterna ( ^3 , +, , .) tiene estructura de Espacio Vectorial.
ii) Determine si las siguientes cuaternas verifican los axiomas indicados en cada caso:
a) ( ^2 , +, , .). Existencia del neutro multiplicativo y distributividad del producto de un
escalar respecto de la suma de vectores.
b) (, +, Q,. ). Ley de composición externa y existencia del inverso aditivo.
c) ( Q, +, ,. ). Ley de composición externa. Diga si la cuaterna dada tiene estructura de
Espacio Vectorial.
d) (Mnxn, +, ,. ). Existencia del neutro aditivo y asociatividad mixta.
e) (M3x2, +, ,. ). Distributividad del producto de un vector respecto de la suma de
escalares.
2 .- Sea ( V, +, , .), determine si los subconjuntos dados son Subespacios del E.V. indicado:
a) S 1 = { (x , y) ^2 / x = 2y}; V = ^2
b) S 2 = { (x , y) ^2 / y = 0 }; V = ^2
c) S 3 = { A M2x2^ / A =
− b a
a b 3
2 }; V = M2x
d) S 4 = { A =
c d
a b M2x2^ / a + d = 1} ; V = M2x
e) S 5 = { ( x 1 , x 2 , x 3 ) ^3 / la tercera componente es - 1}; V = ^3
f) S 6 = { (x 1 , x 2 ) ^2 / x 1 .x 2 = 1 }; V = ^2
g) S 7 = { (x 1 , x 2 ) ^2 / x 2 0 }; V = ^2
h) S 8 = { ( x , y, z) ^3 / x = z y = x + z }; V= ^3
i) S 9 = { A =
c d
a b M2x2^ / a = 2d c = b }; V = M2x
j) S 10 = { A =
c d
a b M2x2^ / a = d = 1 }; V = M2x
k) S 11 = { (x, y ) ^2 / cuyas componentes son números racionales }; V = ^2.
l) S 12 ={ a x^2 + b x + c / a , c , b = 0 };V = P 2 (Conjunto de los Polinomios de grado 2 )
m) S 13 = { 1 + a x + b x 2 / a , b }; V = P 2 (Conjunto de los Polinomios de grado 2 )
3 .- Dado un Espacio Vectorial ( V, +, ,. ) y un Subconjunto W V. Averigüe en cada caso
si W es un Subespacio del Espacio Vectorial indicado.
a) W = { A Mnxn^ / A = At^ }; V = Mnxn
b) W = { X / X .A = A .X ; A fija ; A y X ∈ M2x2^ }; V = M2x^.
c) W = { A M3x3^ / A es una matriz diagonal}; V = M3x3.
d) W = { A M2x2^ / A es inversible }; V = M2x
e) S =
f) S = { 2 x + x 2 , - 3 x + 4 x 2 , - 2 x 2 - 4x }
8 .- Dados los siguientes conjuntos de vectores.
i) Determine si el mismo es un conjunto l.i. o l.d.
ii) En caso de ser l.d., exprese uno de ellos como c.l. de los demás.
a) A = {(1, 1)}
b) A = { (-2, 1), (3, - 2)}
c) A = { (6, 2, 3, 4), (0, 5, - 3, 1), (0, 0, 7, - 2)}
d) A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. ¿Qué nombre especial reciben estos vectores?
e) A = { x + 3, 2x + 5, x^3 +1}
f) A =
g) A =
h) A = { (1, 0, - 1), (0, 1, - 1), (1, 1, - 2)}
i) A = { x^2 + 2x - 1, x^2 +1, x^2 + x}
j) A =
9 .- Determine para qué valores de “k” los siguientes vectores son l.i.:
a) A = { (k, 1), (1, 3) }
b) A =
k 0
k 0 , 1 0
2
c) A = { ( 1, 0, k), ( 1, 1, - 2), (0, 1, k)}
d) A = {( 1, 1, 1), ( k, k, 0), (1, 0, k)}
10 .- En el E.V. ( ^2 , +, ,. ) los vectores no nulos (a, b) y (c, d), verifican la condición:
ad - bc 0. Demuestre que son l.i..
11 .- Dados los vectores (1, - 4, 6); (1, 4, 4); (0, - 4, x) del espacio ^3 sobre el cuerpo ,
determine “x” para que sean linealmente dependientes.
12 .- Dado el espacio vectorial (M 2 x 2 , +, ,. ), bajo qué condiciones para a, b, c, d los
vectores :
c 0
a b , c 0
a b , 1 0
2
2 2 son l.i.?. Explique.
13 .- En cada caso, dado el conjunto A, encuentre el máximo número de vectores l.i. de dicho
conjunto:
a) A = { (1, 0, 1), (2, - 1, 0), (3, - 1, 1), (1, - 1, - 1)}
b) A = {(-2, 1), (1, 1)}
14 .- Halle el subespacio generado por los siguientes conjuntos de vectores.
a) A = { ( 1, 0, - 2), (2, - 1, - 5). ¿El vector ( 2, 3, - 1), pertenece a dicho subespacio?
b) A =
. Encuentre dos vectores de dicho subespacio,
diferentes a los dados.
c) A = {(1, 2)}. ¿El vector ( 0, 0) pertenece al subespacio?
d) A = { ( 1, 1, 1), ( 1, 1, 0), ( 1, 0, 0)}. ¿Qué puede concluir del conjunto dado?
e) A =
. ¿El vector
pertenece al subespacio
encontrado?
f) A = { 1 + x + x^2 , 2 – x + 3 x^2 , - 1 + 5 x – 3 x^2 }. Encuentre dos vectores de dicho
subespacio.
g) A = { (1, 0), ( 0, 1), (1, 1)}. ¿Qué puede concluir acerca de este conjunto?
15 .- Determine si el conjunto de vectores dados genera el espacio vectorial indicado:
a) A = { (1, 2), (3, 4)} ; ^2
b) A = { (1,1), (2,1), (2,2)} ; ^2
c) A = { (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}; ^3
d) A = { ( 2, 0, 1), ( 3, 1, 2), (0, 0, 1), (1, 0, 1)}; ^3
e) A =
0 0 1
0 0 0 ; 0 1 0
0 0 0 ; 1 0
0 0 0 ; 0 0 0
0 0 1 ; 0 0 0
0 1 0 ; 0 0 0 0
1 0 0 ; M2x
c) d)
e)
18 .- Determine “k” para que el siguiente conjunto de vectores sea una base de ^3.
{(1, 1, - 1), (2, k, - 1), (3, 4, - 2)}
19 .-a) i) Escriba el vector v = ( 4, - 2, 0) como combinación lineal de los vectores del
conjunto:
A = { ( 1, 0, 2 ), ( - 2, 1, 0 ), ( 0, 1, 4 )}
ii) ¿ Qué puede concluir acerca del conjunto A, es l.d. ó l.i.?. Explique.
iii) ¿ El conjunto A es una base para el espacio ( ^3 , +, ,. ) ?. Explique.
b) Dado el conjunto A = { ( 1, 0, 2 ), ( - 2, 1, 0 ), ( 1, 1, - 3 ), ( 0, - 1, 0 )}
l) Diga si A es l.i. ó l.d.. Explique.
ii) Escriba el vector v = ( 1, 0, 4 ) como combinación lineal de los vectores del
conjunto A.
iii) ¿ Es A una base del espacio vectorial ( ^3 , +, ,. ). Justifique su respuesta.
20 .- Dé una base y la dimensión de los siguientes subespacios:
a) S =
M a b 0 c d
a b 2 x 2
b) S = { ( a, b, c) ^3 / - 3 a + c = 0 }
1 x
v 2
y
v 1
v 3
v 2
v 1
y 3
c) S = { ( a, b, c, d) ^4 / a = 3b = 2c }
d) S = { ( a, b, c) ^3 / a = b = c }
e) S =
M a 3 c d c d
a b 2 x 2
f) S = { a x^2 + b x + c P 2 / a + b + c = 0 }.
21 .- Halle el subespacio generado por A; en cada caso dé una base y su dimensión.
a) A = {( 0, 1, 0 ) , ( 0, 0, 1 )}
b) A = {( 2, 1 ), ( - 6, - 3 )}
c) A = {( 1, - 2, 0 ), ( 2, - 2, - 1 )}
d) A = {( 1, - 1, 2 ), ( 0, - 1, 1 ), ( 1, 1, 0 )}
e) A = {( 2, - 3 )}
f) A = { ( 1, 1, 1), ( - 1, 2, 3), ( 0, 3, 4)}
g) A =
g) A = { - x^2 + 3 , 1 - x }
h) A = { 1 + x , x^2 + x^3 , - 2 – 2 x + 3 x^2 + 3 x^3 }
22 .-Sea el E.V. de las matrices diagonales de orden 3. Encuentre una base de dicho espacio.
Diga cuál es su dimensión.
23 .- Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a) Encuentre en cada caso el conjunto solución.
b) Determine si el conjunto solución encontrado es un subespacio vectorial del espacio
correspondiente.
c) Dé una base y si es posible, la dimensión del subespacio.
i)
2x 4 2 0
x 4 0
1 2 4
1 2 3 4
3 4
x x x
x x x
x
ii)
2y 3z 0
3x-4y-6z 0
A contiene 1 mg de vitaminas y 2 mg de hierro. B contiene 5 mg de vitaminas y 1 mg de
hierro.
A B
Vitaminas 1 5
Hierro 2 1
i) Exprese como vector los compuestos básicos A y B y una mezcla especial en términos
de ellos. Averiguar si las mezclas básicas son l.i.
ii) ¿Se pueden combinar los compuestos A y B de manera de obtener una mezcla que
contenga 16 mg de vitaminas y 5 mg de hierro?
iii) Como el compuesto B es más costoso que A ¿Se puede obtener la mezcla pedida para
disminuir el gasto?
iv) ¿Se pueden combinar A y B para obtener una mezcla genérica cualquiera (x , y) con
x + e y+^ para las necesidades del fabricante?
29 .- Supongamos que un gobierno establece en un país las siguientes relaciones entre las
distintas tasas de crecimiento de los sectores económicos (primario, industria y servicios)
siendo: CI = 50 CP y CS = 100 CP, donde CP, CI, CSson las tasas de crecimiento del
sector primario, industria y servicio respectivamente.
a) Demuestre que el conjunto de vectores de variaciones de precios es un subespacio
vectorial de ^3. b) Obtenga una base y la dimensión. ¿Qué interpretación económica se le
puede dar a la dimensión?
30 .- Una empresa que se dedica a la fabricación de televisores, produce cuatro tipos de los
mismos:
Gama alta: TV 32”, TV 43”
Gama baja: TV 32”, TV 43”
Con el fin de realizar una previsión para el próximo año se ha realizado un estudio de
mercado el cual arrojó los siguientes resultados:
Gama alta: ventas TV 32” A 1 = 100N + 218 E
Gama alta: ventas TV 43” A 2 = 90N + 153E
Gama baja: ventas TV 32” B 1 = 300E
Gama baja: ventas TV 43” B 2 = 500E
Siendo N el número de familias con renta anual superior a los 24000 dólares y E el número
de grandes tiendas en los que se comercializan los productos.
a) Construye el vector del nivel de ventas de los cuatro artículos y comprueba que el
conjunto de esos vectores es un subespacio vectorial de ^4.
b) Calcula la base del subespacio de ^4 generado por el ventor formado por el nivel de
ventas de los cuatro artículos.
c) Interpreta la dimensión de dicho subespacio.
d) ¿En qué condiciones las ventas de los cuatro artículos serian nulas?.
31.- Citrax está evaluando exportar tres concentrados cítricos para la fabricación de jugos
envasados. Las proporciones en litros de cada concentrado para fabricar los diferentes tipos
de jugos se detallan a continuación:
C 1 C 2 C 3
Limón 1 0 1
Naranja 2 1 1
Pomelo 0 1 1
i) Exprese como vector los concentrados C 1 , C 2 y C 3 y un mix de ellos. Averiguar si el
mix es linealmente independiente.
ii) ¿Se pueden combinar los concentrados C 1 , C 2 y C 3 , de manera de obtener un mix que
tenga 3 litros de jugo de limón, 6 de naranja y 2 de pomelo?
iii)Como el concentrado C 1 es el más costoso, ¿se puede obtener el mix del apartado
anterior a un costo menor?
EJERCICIOS RESUELTOS
e) u =( 2y, 12, z) y v = (^) ( 63 − y ,^2 2 x +^2 −4, (^5) )
Por lo tanto x = 2 ; y = 7 o y =− 9 ; z = 5 para que u = v
5 .- d) ¿Para qué valor/es de “x” los siguientes vectores son ortogonales?
Sean u = (2x, 3, x) y v = (4x+2, - 4x, x −1) entonces son ortogonales si:
u. v = 0
( 2x,^ 3,^ x. 4x) ( +^ 2,^ −4x,^ x^ −^1 )^ =^0
2 x ( 4 x+ 2 )− 12 x+x(x− 1 )= 0
8 x 4 x 12 x x x 0 2 2
9 x 2 − 9 x= 0
x 1
x 0 9 x(x 1 ) 0 2
1
Por lo tanto x = 0 o x = 1 para que el vector u sea ortogonal al vector v
8.- B = I – CT y I = q. p
I = (35, 45, 55). (40, 50, 60)
I = 1400 + 2250 + 3300
I = 6950
B = 6950 – 2780
B = 4170
El beneficio de la fábrica de bolsas será de $ 4170.
Espacios Vectoriales
1 .- i) Pruebe que la cuaterna (^3 , + , , .) tiene estructura de Espacio Vectorial.
2 2 1 2 x+2 x+2 4 x+
y = 7 2 y = 63 - y y + 2y - 63 = 0 y = -
12 = 2 - 4 16 = 2 2 = 2 4 = x + 2 x = 2
z = 5
^ ^
(^3 , + , , .) es tal que : (x1 , y 1 , z 1 ) + (x 2 , y 2 , z 2 ) = (x 1 +x 2 , y 1 +y 2 , z 1 +z 2 )
(x , y , z) = (x , y , z)
Probaremos que (^3 , + , ,. ) es un espacio vectorial. Para ello debemos probar que se
verifican los 10 axiomas, que definen un espacio vectorial.
A 1 ) Sean u, v ^3 .Debo probar que u + v ^3
u + v = ( x 1 , y , z 1 1 ) + ( x 2 , y 2 , z 2 ) por definición
= ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )^3
Luego u + v ^3
A 2 ) Sean u, v ^3. Debo probar que: u + v = v + u
u + v =( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ,z 1 + z 2 )
Las componentes de esta terna son números reales y como el conjunto de los
números reales tiene estructura de cuerpo, se verifica la propiedad conmutativa.
Luego:
u + v = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ,z 1 + z 2 )= ( x 2 + x 1 , y 2 + y 1 , z 2 + z 1 )= v + u
Por lo tanto se verifica la conmutatividad de la suma de vectores en^3
A 3 ) Sean u = ( x 1 , y 1 , z 1 ) ^3 , v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ^3 , w = ( x 3 , y 3 , z 3 )^3
Debo probar que (u + v) + w = u + (v + w)
(u + v)+ w = ( x 1 , y 1 , z 1 ) +( x 2 ,y 2 ,z 2 ) +( x 3 ,y 3 ,z 3 ) por definición de suma en
3
= ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) +( x 3 , y 3 , z 3 ) por definición de suma en^3
=(( x 1 + x 2 ) + x 3 , ( y 1 + y 2 ) + y 3 , ( z 1 + z 2 )+ z 3 )
Las componentes de esta terna son números reales, por lo tanto, como el conjunto
tiene estructura de cuerpo, se verifica la propiedad conmutativa. Luego, podemos
escribir
= ( x 1 +( x 2 + x 3 ) , y 1 +( y 2 + y 3 ) , z 1 +( z 2 + z 3 )) por definición de suma en^3
=( x 1 , y 1 ,z 1 ) +( x 2 + x 3 , y 2 + y 3 ,z 2 + z 3 )
= u + (v + w)
