MS. DELGADO VÁSQUEZ ROSARIO DIOMEDES
INTRODUCCIÓN AL
ANÁLISIS MATEMÁTICO
SESIÓN 2: Vectores en el plano, ecuación de la recta vectorialmente y
transformación de coordenadas
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS
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Vectores en el Plano y Ecuación de la Recta, Ejercicios de Análisis Matemático
Lista de ejercicios de vectores en el plano de analisis matematico
Tipo: Ejercicios
2019/2020
1 / 11
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MS. DELGADO VÁSQUEZ ROSARIO DIOMEDES
INTRODUCCIÓN AL
ANÁLISIS MATEMÁTICO
SESIÓN 2: Vectores en el plano, ecuación de la recta vectorialmente y
transformación de coordenadas
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS
1. Los vectores en nuestra realidad
Definición 3 (Operaciones algebraicas entre vectores). Para 𝑈 = 𝑥 1 , 𝑦 1 y 𝑉 = 𝑥 2 , 𝑦 2 y 𝜆 ∈ ℝ
- Suma de vectores : 𝑈 + 𝑉 = 𝑥 1 , 𝑦 1 + 𝑥 2 , 𝑦 2 = 𝑥 1 + 𝑥 2 , 𝑦 1 + 𝑦 2
- Producto de un escalar por un vector : 𝜆𝑈 = 𝜆𝑥 1 , 𝜆𝑥 2 𝑈 𝑉 𝑈 𝜆𝑈 Definición 2 ( vector posición ) Sea 𝑃𝑄 un vector localizado en ℝ 2 , donde 𝑃 𝑥 1 , 𝑦 1 y 𝑄 𝑥 2 , 𝑦 2 son puntos del plano. El vector de posición del vector localizado 𝑃𝑄 es el vector 𝑉 = 𝑥 2 − 𝑥 1 , 𝑦 2 −𝑦 1. 𝑃 𝑄 𝑉 Definición 4 ( vectores iguales ) Los vectores 𝑈 = 𝑥 1 , 𝑦 1 y 𝑉 = 𝑥 2 , 𝑦 2 de ℝ 𝟐 son iguales si: 𝑥 1 = 𝑥 2 y 𝑦 1 = 𝑦 2 Definición 5 (vectores paralelos) Los vectores 𝑈 = 𝑥 1 , 𝑥 2 y 𝑉 = 𝑦 1 , 𝑦 2 no nulos son paralelos si uno de ellos es múltiplo escalar del otro. Esto es 𝑈 ∥ 𝑉 ⟺ ∃ 𝜆 ≠ 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑈 = 𝜆𝑉
2.. MAGNITUD, DIRECCIÓN Y PRODUCTO PUNTO DE VECTORES EN ℝ
2 Definición 6 (Magnitud de un vector) Si 𝑈 = 𝑥 1 , 𝑥 2 , se define y se denota la magnitud de 𝑈 como, 𝑈 = 𝑥 12 + 𝑥 22 𝑈 : vector 𝑈 : tamaño del vector 𝜃: dirección del vector
- Cuando 𝑈 = 1 , diremos que el vector 𝑈 es unitario.
- La distancia 𝑑 entre los puntos del plano 𝑃 y 𝑄 es 𝑑 = 𝑃 − 𝑄 Definición 7. A cada vector no nulo 𝑈 = 𝑥 1 , 𝑥 2 , le corresponde una dirección dada por la medida del ángulo 𝜃 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑈 que forma el vector con el semieje positivo de las 𝑋, para el cual 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
0 ≤ 𝜃 ≤ 360 0 En consecuencia 𝑈 = 𝑥 1 , 𝑥 2 = 𝑈 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑈 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑈 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑈 𝜃
3.. VECTORES ORTOGONALES EN ℝ
2 Teorema: Si 𝑈 = 𝑥 1 , 𝑥 2 𝑦 𝑉 = 𝑦 1 , 𝑦 2 son vectores diferentes de cero de ℝ 2 , y 𝜃 es el ángulo entre ellos, entonces:
1. 𝜃 es agudo si y sólo si 𝑈. 𝑉 > 0
2. 𝜃 es obtuso si y sólo si 𝑈. 𝑉 < 0
𝜋 2 si y sólo si 𝑈. 𝑉 = 0 Definición 9. Sea el vector 𝑈 = 𝑥 1 , 𝑥 2. Denotamos y definimos el vector ortogonal de 𝑈, mediante 𝑈 ⊥ = −𝑥 2 , 𝑥 1. Teorema. Para los vectores no nulos 𝑈 y 𝑉 se tiene:
- son ortogonales si y solo si 𝑈 ⊥ y 𝑉 son paralelos.
⊥ ⊥ = −𝑈
⊥ = 𝑈 ⊥
- 𝑉 ⊥
⊥ = 𝜆𝑈 ⊥ 𝑈⊥ 𝑈
4.. LA RECTA EN FORMA VECTORIAL
Sean 𝑃 0 𝑥 0 , 𝑦 0 y 𝑃 𝑥, 𝑦 puntos conocido y general respectivamente de la recta 𝐿. 𝑈 = 𝑢 1 , 𝑢 2 vector paralelo a la recta 𝐿. Entonces 𝑃 0 𝑃 ∥ 𝑈 ⟹ 𝑃 0 𝑃 = 𝜆𝑈, 𝜆 ∈ ℝ 𝑃 − 𝑃 0 = 𝜆𝑈, 𝜆 ∈ ℝ de donde obtenemos la ecuación vectorial de la recta 𝐿: 𝑃 = 𝑃 0 + 𝜆𝑈, 𝜆 ∈ ℝ. 𝑈
𝑃 0 𝑃 𝜆𝑈 De la forma vectorial de la recta se obtienen otras formas de representar a la recta:
, 𝜆 ∈ ℝ forma paramétrica de 𝐿
𝑥−𝑥 0 𝑢 1
𝑦−𝑦 0 𝑢 2 , forma simétrica de 𝐿
⊥ = 0 , forma normal de 𝐿
- 1 Traslación de ejes coordenados De la ecuación de transformación 𝑃 = 𝑃 0 + 𝑥 ′ 𝑢 + 𝑦 ′ 𝑢 ⊥ Haciendo 𝑃 0 = ℎ, 𝑘 y 𝜃 = 0 Obtenemos las ecuaciones de traslación de ejes: 𝑥, 𝑦 = ℎ, 𝑘 + 𝑥 ′ 1 , 0 𝑦 ′ 0 , 1
- 2 Rotación de ejes coordenados De la ecuación de transformación 𝑃 = 𝑃 0 + 𝑥 ′ 𝑢 + 𝑦 ′ 𝑢 ⊥ Haciendo 𝑃 0 = 0 , 0 y 𝜃 ≠ 0 Obtenemos las ecuaciones de rotación de ejes: 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ′ 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑦 ′ −𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑐𝑜𝑠𝜃