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Geometría de las formas. Clase 1: teórica
Clase 1 - Teórica
Sistema de coordenadas cartesianas en dos y tres dimensiones
Un punto, en un sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, está asociado a un par
ordenado
0 0
x ; y Donde 𝑥
recibe el nombre de abscisa e 𝑦
ordenada. En forma análoga,
dicho concepto puede aplicarse a un punto en el espacio. Así, introduciendo una nueva
coordenada 𝑧
, llamada cota (altura), queda biunívocamente determinado un punto en el
espacio:
ଶ
ଷ
A partir de lo anterior surge en forma inmediata el concepto de distancia entre dos puntos.
x
y
O x 0
y 0
A
x 1
y 1
P
B
Como podemos observar, el gráfico mues-
tra dos puntos en un plano que hemos de-
nominado y.
Para calcular la distancia (número real
positivo) entre ellos que simbolizaremos
podemos recurrir al teorema de
Pitágoras. Así, es posible afirmar que:
.
x
y
z
O
x 0
y 0
z 0
A
x
y
O X 0
y 0
A
En el plano (dos dimensiones)
En el espacio (tres dimensiones)
Geometría de las formas. Clase 1: teórica
De la misma manera, podemos hacer la misma deducción en el espacio y llegaremos a la
misma expresión con la salvedad de que ahora se introdujo la cota como nueva variable. Por lo
tanto podemos asegurar que, siendo
0 0 0
A x ; y;z y
1 1 1
B x; y;z resulta:
2
1 0
2
1 0
2
1 0
AB x x y y z z
Vectores: operaciones
Un vector es un segmento orientado. Para definirlo es preciso indicar su dirección, sentido y
módulo (o longitud). Dado que se trata como ya dijimos, de un segmento, es posible denotarlo
mediante dos puntos llamados origen y extremo (en ese orden), o bien, con una única letra
minúscula.
Los vectores que están incluidos en rectas paralelas tienen la misma dirección y para aquellos
que tienen la misma dirección hay dos posibles sentidos llamados opuestos.
Los vectores
a y
b tienen la misma
dirección porque son paralelos a la
recta "r", pero difieren en el sentido y
también en módulo.
Si los vectores no tienen la misma
dirección, los sentidos no son
comparables.
En algunas magnitudes físicas, los vectores son indispensables. Cuando se dice que un
vehículo se desplaza a una velocidad de 40
୩୫
୦
, lo correcto sería decir que su rapidez es tal.
Para poder hablar de velocidad debemos mencionar la dirección y sentido de la misma. A estas
magnitudes, donde no basta con un número y una unidad para describirlas, se las denomina
A
B
Geometría de las formas. Clase 1: teórica
De lo anterior, y de manera inmediata, surge el cálculo del módulo del vector, como así
también su dirección.
Siendo
OP v a;b
resulta de manera
inmediata el cálculo del módulo del vector de
la siguiente manera:
Y la dirección del vector, viene dada por los
llamados cosenos directores que surgen de:
v
a
cos
y
v
b
cos
Mediante consideraciones análogas en el espacio tenemos que:
Y los cosenos directores serían:
v
c
v
b
v
a
cos ; cos ; cos
2 2
v a b
x
y
O
P
a
b
x
y
z
O
a
b
c
P
2 2 2
v a b c
Geometría de las formas. Clase 1: teórica
Suma de vectores
Método gráfico
Dados dos vectores
u y
v llamaremos vector suma a otro vector cuya dirección surge de la
aplicación de ambas direcciones en forma simultánea. A ello se lo conoce usualmente como
regla del paralelogramo.
Nota: Como es posible observar, la dirección
del vector suma no es coincidente con ninguna
de las direcciones de los vectores originales,
sino que depende de ellas, pero además del
ángulo determinado entre los vectores 𝑢ሬ⃗ y 𝑣⃗.
Si la suma fuese entre más vectores, y recordando que los vectores son entes libres,
podríamos repetir el mismo procedimiento como se indica a continuación. Eligiendo un punto 𝑂
como origen y considerando que la suma es una operación conmutativa, tenemos:
Consideraciones importantes:
1 - Si sumamos dos vectores opuestos, el
resultado será el vector nulo que
geométricamente es un punto y se lo
simboliza
- Como es obvio, carece de
dirección y sentido, y su módulo vale
cero.
O
Geometría de las formas. Clase 1: teórica
Producto entre un escalar (número real) y un vector
Método gráfico
Si multiplicamos un escalar por un vector, obtenemos otro vector cuya dirección es la misma
que tiene el vector original, pero su sentido y módulo dependerán de cuál sea el escalar. A
continuación, y en forma gráfica, pueden verse diversos ejemplos según el valor numérico y el
signo del escalar en cuestión.
Ahora estamos en condiciones de definir esta operación y lo hacemos así:
Si
v es un vector y 𝑘 un escalar (número real) entonces
k. v wdonde:
w k v
w sentido v si k
w v
sentido 0
dirección dirección
Caso particular: si el escalar 𝑘 = 0 resulta el vector nulo. Expresado matemáticamente,
tenemos que:
0 .v 0
En forma analítica
Dado un vector
v a;b
del plano (o del espacio) el producto entre él y un número real, se
puede calcular como indicamos a continuación:
Geometría de las formas. Clase 1: teórica
En la figura se puede observar que:
OP v a;b y OQ k.v
Dado que, los triángulos rectángulos
OMP y ONQ
son semejantes, el aumento
de 𝑘 veces en la hipotenusa implica un
aumento en forma proporcional de los
catetos, en consecuencia, podemos afirmar
que:
k. vk. a;b k.a;k.b
Consecuencia inmediata:
Versor
Se llama así a todo vector cuyo módulo es igual a 1 (una unidad). Por ejemplo, el vector
2
3
2
1
v
es un versor, porque si calculamos su módulo, como puede observarse a
continuación, resulta igual a la unidad:
4
3
4
1
2
2
3
2
2
1
v
Cuando un vector es un versor lo simbolizaremos así:
v
x
y
O
a
b
k.a
k.b
P
Q
M N
Dos vectores y son paralelos cuando sus componentes
resultan proporcionales. Ello significa que siendo y
debe ocurrir que:
Geometría de las formas. Clase 1: teórica
Aplicación física
Como dijimos anteriormente existen, en líneas generales, dos tipos de magnitudes que son las
escalares y las vectoriales. Aprovechando los conceptos vistos hasta ahora y las operaciones
entre vectores dejamos, a cargo del lector, el siguiente problema.
Problema: Un punto material se desplaza, en línea recta, desde una posición inicial
2 ; 1 ; 2
0
P hasta una posición final 8 ; 2 ; 4
1
P y para ello emplea, un intervalo de tiempo
t 5 seg. Si la distancia recorrida se encuentra expresada en metros, Hallar:
a) La expresión de su vector desplazamiento
x y su módulo.
b) La expresión del vector velocidad
v y su módulo.
Rta.: a) x 6 i 3 j 2 k y x 7 m
b) v i j k y v 1 , 4 m/seg
5
2
5
3
5
6
Producto escalar
Hasta el momento, las operaciones que hemos definido con vectores dan siempre, como
resultado, otro vector. Ello, a veces, no sucede. Si por ejemplo, dos vectores interactúan
simultáneamente sobre un cuerpo, como por ejemplo un vector "Fuerza" y otro vector
"desplazamiento" la operación resulta un número real al que llamamos trabajo mecánico. Como
entes geométricos que son, estamos en condiciones de definirlo así:
x
y
z
O
x 1
y 1
z 1
y 0
y 0
z 0
P 1
P 0
Orientación: como surge de la gráfica, el vector
desplazamiento surge del planteo siguiente:
Luego:
El vector velocidad será la consecuencia de
dividir cada componente por el tiempo.
Geometría de las formas. Clase 1: teórica
u.v u. v. cos
Observemos ahora la analogía entre la definición anterior y el concepto de trabajo mecánico.
Suponiendo que un cuerpo es arrastrado debido a la acción de una fuerza
F desplazándolo
desde su posición de inicial una distancia
x y despreciando el valor de la fuerza de
rozamiento, tendremos:
.. .cos
F x F x
Es preciso notar que, el trabajo mecánico, da como resultado lo que se logra entre la acción de
la fuerza neta actuante y el desplazamiento producido. De allí la presencia del factor angular.
Propiedades
La definición de producto escalar entre vectores, trae aparejada algunas propiedades, a veces
evidentes, que nos van a permitir, más adelante, deducir una fórmula de cálculo siempre que
conozcamos las componentes de los vectores. Estas propiedades son:
- Conmutatividad:
u .v v.u
Demostración:
u .v u. v.cos v .u .cos( ) v.u
- Si
u v
(se lee ortogonales) entonces
u v
Geometría de las formas. Clase 1: teórica
Para calcular su producto escalar,
vamos a expresar a cada uno de los
vectores en su forma canónica:
u v ai b j a i b j
1 1 2 2
De esta manera, prescindimos de los
vectores originales y nos quedamos
con sus respectivas componentes
horizontales y verticales.
Aplicando la propiedad distributiva,
vista anteriormente, tenemos que:
u v a i a i ai b j a i b j b j b j
1 2 1 2 2 1 1 2
Como el problema se tradujo a operar con componentes horizontales y verticales, de los cuatro
términos, hay dos que son nulos porque los vectores son ortogonales.
u v a i a i ai b j a i b j b j b j
vale
sonortogonale s
vale cero
sonortogonale s
1 2
cero
1 2 1 2 2 1
u v a i a i b j b j
1 2 1 2
Si aplicamos la definición de producto escalar dada anteriormente resulta:
.. .cos 0 º. .cos 0 º
1 2 1 2
u v ai a i b j b j
Siendo los módulos, números reales positivos, resulta:
1
1 2
1
1 2
.. .cos 0 º. .cos 0 º
1 2 1 2
a a b b
u v a i a i b j b j
x
y
O
a 1
b
1
a 2
b 2
Geometría de las formas. Clase 1: teórica
Entonces, el producto escalar entre
u
y
v , resulta ser:
1 2 1 2
u. va.a b.b
Observación: si los vectores fuesen en el espacio, la fórmula de cálculo sería idéntica, pero con tres términos, por
el agregado de las cotas.
Aplicación geométrica
Para calcular la amplitud de un ángulo en el plano, podemos recurrir a un elemento de
precisión como es el transportador. El mismo, nos dará el valor de dicho ángulo con una
aproximación menor que un grado. ¿Qué sucede si deseamos calcular un ángulo en el espacio
y no podemos materializar a los entes que nos permiten hacerlo? Por ejemplo, queremos
calcular el ángulo que forman las diagonales de un cubo. El probema que sigue a continuación
nos brinda una ayuda para ello y la resolución la dejamos a cargo del lector.
Problema: Calcular aproximadamente el ángulo que forman las diagonales de un cubo.
Ayuda: Suponiendo que el cubo tiene arista 1 unidad
(obviamente el resultado del problema no depende de
ello) y que además, tres de sus caras se apoyan sobre
los planos coordenados (como se indica en la figura), el
ángulo que forman sus diagonales (el agudo) coincide
con el ángulo que forman los vectores
1
v
y
2
v
.
Hallando las componentes de
1
v
y
2
v
y aplicando
simultáneamente, la definición y la fórmula de cálculo del
producto escalar resulta v v 70 º
1 2
.
Aplicación física
La resolución del problema, queda a cargo del lector.
y
z
x
Geometría de las formas. Clase 1: teórica
Nuestros datos son las coordenadas del punto de paso y las componentes del vector dirección:
v ai bj c k
P x y z
Datos
0 0 0 0
Sea un punto P x;y;z, como el
indicado en la figura, de coordenadas
variables. De ello, resulta inmediata la
igualdad vectorial planteada a conti-
nuación:
OP OP PP
0 0
Pero el vector
P P
0
es paralelo al vector
v. Entonces, por lo visto anteriormente debe ocurrir
que:
P P .v donde
0
Si esto último lo reemplazamos en la ecuación anterior resulta:
OP OP .v
0
Expresando cada uno de los vectores, según su notación cartesiana, tendremos una primera
expresión de la ecuación de la recta llamada forma vectorial:
r : x;y;z x;y;z . a;b;c
0 0 0
(forma vectorial)
Si operamos vectorialmente tenemos que:
x ;y;z x ;y;z a; b; c x;y;z x a;y b;z c
0 0 0 0 0 0
Igualando entre sí las componentes homólogas, nos da una segunda expresión de la recta,
llamada ecuaciones en forma paramétrica.
z z c
y y b
x x a
r
0
0
0
(forma paramétrica)
x
y
z
O
x
y
z
x 0
y 0
z 0
P
P 0
r
Geometría de las formas. Clase 1: teórica
Dado que " " es un número real que vale lo mismo para cada variable, resulta una tercera
expresión llamada ecuación de la recta en forma simétrica.
c
z z
z z c
b
y y
y y b
a
x x
x x a
0
0
0
0
0
0
Así, igualando, llegamos a:
c
z z
b
y y
a
x x
r
0 0 0
(forma simétrica)
Observación 1: el parámetro " ", no tiene un valor fijo sino que, para cada valor del mismo se logra un punto que
indefectiblemente estará en la recta.
Observación 2: existen infinitas maneras distintas, pero todas equivalentes, de expresar una recta. Como
precisamos un punto de paso y un vector paralelo, es posible escribir lo mismo pero con datos diferentes.
Posiciones relativas entre rectas
Dadas dos rectas en el espacio, existen cuatro posiciones relativas entre ellas, como se
muestra a continuación.
0
r s P
y
v w
r s
y
v . w
r
s
r
P 0
s
r y s son incidentes r y s son paralelas
Geometría de las formas. Clase 1: teórica
Ecuación del plano
Así como dos puntos distintos definen una recta,
tres puntos no alineados, definen un plano. Dicho
de otra manera: Si A, B y C son puntos no
alineados, existe un único plano "" que los
contiene. Simultáneamente a los tres.
Para poder hallar la ecuación cartesiana de dicho plano, lo vamos a hacer usando los
conceptos y operaciones vectoriales vistas más arriba porque de esa manera es más simple
llegar a su expresión.
Supongamos tener un punto A y un vector
v
cuyas coordenadas y componentes, respec-
tivamente, son conocidas. Es posible afirmar, que
existe un único plano "" que cumple con la
condición de contener al punto y ser normal
(perpendicular) al vector.
Deducción: Nuestros datos son:
v ai bj c k
A x y z
0 0 0
Sea un punto P x;y;z de coordenadas
variables de manera tal que "P" pertenezca al
plano. Independientemente del punto que
elijamos, podemos afirmar siempre que los
vectores
AP
y
v
resultarán ortogonales. Ello
permite plantear que el producto escalar entre
esos vectores debe ser nulo. O sea:
AP v AP v
Escribiendo cada uno de los vectores en función de sus componentes tenemos:
; ; . ; ; 0
0 0 0
x x yy zz abc
A
B
C
A
A
P
Geometría de las formas. Clase 1: teórica
Aplicando la fórmula de cálculo del producto escalar tenemos que:
. . . 0
0 0 0
a x x b yx c zz
Distribuyendo y agrupando resulta:
... ... 0
0 0 0
0 0 0
d
ax by cz ax b y c z
ax ax by by cz cz luego
Entonces la ecuación cartesiana del plano "" resulta ser:
a. x b.yc.zd 0
Observación: dado que los números "a, b y c" son los coeficientes de un vector normal y al menos uno de ellos, no
debe ser nulo, podemos extraer una conclusión interesante. Si el coeficiente "d" es nulo, pero alguno de los
restantes no lo es, el plano contiene al origen de coordenadas. Caso contrario obviamente, no.
Forma segmentaria de la ecuación del plano
Si todos los coeficientes son no nulos, podemos escribir el plano de la siguiente manera:
d
c z
d
by
d
a x
ax by cz d ax by cz d
De esto último tenemos que:
c
d
b
d
a
d
x y z
Como estos denominadores son números no nulos los llamaremos "A, B y C" con lo cual
resulta la expresión segmentaria de la ecuación del plano:
C
z
B
y
A
x
(forma segmentaria)
Esta manera de expresar al plano es muy útil para graficarlo porque cuando:
x
y
z
O
x
y
z
O
