MATEMÁTICA BÁSICA
Y
ÁLGEBRA LINEAL
Vectores en ℝ𝟐
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Materámatica Básica y Algebra Lineal: Concepto de Vectores en ℝ², Resúmenes de Matemáticas
Conceptos básicos de Materámatica y Algebra Lineal relacionados con vectores en el plano cartesiano ℝ²,\n\nse definen conceptos como puntos, segmentos de recta dirigidos, vectores geométricos y vectores algebraicos,\n\nse explican operaciones como igualdad, suma, resta y multiplicación por escalar de vectores,\n\nse calculan ejemplos de módulos (normas) y direcciones de vectores,\n\nse presentan conceptos adicionales como vectores unitarios y producto interno (escalar).
Tipo: Resúmenes
2021/2022
1 / 42
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MATEMÁTICA BÁSICA
Y
ÁLGEBRA LINEAL
Vectores en ℝ
2
es el conjunto de vectores (𝑥
1
2
) con 𝑥
1
y 𝑥
2
números reales. Como
cualquier punto en el plano se puede escribir en la forma (𝑥, 𝑦) es evidente
que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un vector en , y
viceversa
Sean 𝑃 y 𝑄 dos puntos en el plano. Entonces el segmento de recta dirigido
de 𝑃 a 𝑄, denotado por 𝑃𝑄, es el segmento de recta que va de 𝑃 a 𝑄.
Observe que los segmentos de recta dirigidos 𝑃𝑄 y 𝑄𝑃 son diferentes puesto
que tienen direcciones opuestas
Vectores en ℝ
𝟐
OPERACIONES
1 ) Igualdad de vectores
Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden y las mismas componentes.
Si 𝑣Ԧ = (𝑣
1
2
) y 𝑤 = (𝑤
1
2
), entonces 𝑣Ԧ = 𝑤 si y sólo si 𝑣
1
1
2
2
2 ) Suma y resta de vectores
La resta de vectores se define como la suma de
un vector con el opuesto de otro, es decir:
1
1
2
2
La suma de vectores en ℝ
2
se hace componente
a componente.
Si 𝑣Ԧ = 𝑣
1
2
y 𝑤 = 𝑤
1
2
entonces
1
1
2
2
3 ) Multiplicación por un escalar (número real)
Si 𝑣Ԧ = (𝑣
1
2
2
y 𝑟 ∈ ℝ ⟹ 𝑟 𝑣Ԧ = 𝑟𝑣
1
2
Si 𝑢 = 𝑟 𝑣Ԧ los vectores son paralelos
Propiedades de las operaciones entre vectores
Si 𝒖 , 𝒗 , 𝒘 ∈ ℝ
𝒏
y 𝛂, 𝜷 ∈ ℝ , entonces se cumple:
Ejemplo: Halle el módulo de los siguientes vectores
- a) 𝑣Ԧ = 1 ,
- b) 𝑣Ԧ = 2 ,
- c) 𝑣Ԧ = − 2 3 ,
- d) 𝑣Ԧ = − 3 , −
- e) 𝑣Ԧ = 0 ,
Vector unitario
Nota:
Vectores canónicos:
𝒊 = ( 1 , 0 ) La dirección del eje x (positivo)
𝒋 = ( 0 , 1 ) La dirección del eje y (positivo)
Luego:
𝑎, 𝑏 = 𝑎 1 , 0 + 𝑏 0 , 1 = 𝑎𝑖Ԧ + 𝑏𝑗Ԧ (forma vectorial)
Producto interno o producto escalar
a) 𝑢 = 6 , 1 , 𝑣Ԧ = 2 , 7
b) 𝑢 = 5 , 2 , 𝑣Ԧ = − 4 , 3
c) 𝑢 = 4 , 2 , 𝑣Ԧ = (− 2 , 4 )
Ejemplo: Calcule 𝑢 ∙ 𝑣Ԧ si:
- Sean los vectores 𝑎Ԧ = (2𝑥 − 2 ; 5 ) y 𝑏 = ( 1 ; 2𝑥 + 3 ), si 𝑐Ԧ = 𝑎Ԧ − 2 𝑏 y 𝑎Ԧ ∙ 𝑏 = 13.
Calcular 𝑐Ԧ.
Solución:
Como 𝑎Ԧ ∙ 𝑏 = 13
𝑎 Ԧ = (− 2 ; 5 ) y 𝑏 = ( 1 ; 3 )
2
2
Ángulo entre vectores