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TEMA 2: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. DISTRIBUCIÓN DE LAS
PROPORCIONES
1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Consideremos una experiencia aleatoria y prestamos atención, exclusivamente, a si ocurre el suceso A o su contrario. Al suceso A se le suele llamar éxito , y a su probabilidad, p. La probabilidad de su contrario es q. Es decir: P(A) = p P() = 1 – p = q Se repite n veces una misma experiencia. Nos preguntamos por el número, x, de éxitos. La variable x es una variable discreta y puede tomar los valores 1, 2, 3, …, n. La distribución de probabilidad de la variable x se llama distribución binomial B(n, p). La probabilidad de que x tome el valor k es: P(x = k) = Los parámetros de distribución son: , Ejemplo: El 3% de las personas son daltónicas. Sí tomamos al azar 7 personas, ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellas sean daltónicas? Solución: Llamemos A al suceso “una persona es daltónica”, se tiene: P(A) = 0,03 y P () = 0,97. Es decir, p = 0,03 y q = 0,97. Se trata de una distribución Binomial con n= 7 y p = 0,03. Es decir, X ~ B (7; 0,03) P (2 daltónicas) = P(x = 2) = = 0, Los parámetros de la distribución son: = 7 · 0,03 = 0,21 = = 0,
- APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL A LA NORMAL Consideremos una variable X ~ B(n, p). Si n > 30 y se cumple que np 5 y que nq 5 podemos decir que nuestra variable se aproxima a una normal. A la nueva variable la llamaremos X’ ~ N (np, ) donde ,
Ejemplos:
- Una máquina fabrica tornillos. El 5% de ellos son defectuosos. Se empaquetan en cajas de 400. Calcular la probabilidad de que en una caja haya más de 30 defectuosos. Solución: X:”tornillos defectuosos” X~ B(n, p) = B (400, 0,05) Veamos si se puede aproximar a una normal. Como: n = 400 > 30 np = 400 · 0,05 = 20 > 5 X se aproxima a la normal nq = 400 · 0,95 = 380 > 5 Luego: X’ ~ N (20; 4,36)
P (X’ > 30) = P (z > ) = P (z > 2,29) = 1- 0,9890 = 0,
2) Cinco de cada veinte aparatos electrónicos de un determinado tipo, tienen alguna avería dentro del periodo de garantía de 2 años. Un comercio vende 120 de esos aparatos: a) ¿Cuál es el número esperado de aparatos que se averiarán en el periodo de garantía? b) Hallar la probabilidad de que el número de aparatos averiados esté entre 25 y 40. c) Hallar la probabilidad de que el número de aparatos no averiados sea inferior a 80. Solución: a) n = 120, p = = 0, Número esperado = 120·0,25 = 30
b) X:”El número de aparatos averiados”, X ~ B (120; 0,25) Como n > 30, np > 5 y nq > 5, X se aproxima a una normal. X’ ~ N (30; 4,74) P (25 < X’< 40) = P (-1.05 < z < 2,11) = 0,
Ejercicios 1.- El 15% de los jóvenes de 18 a 25 años son miopes. Se eligen, al azar, 40 jóvenes, ¿qué distribución sigue la proporción de miopes con esa muestra?
2.- En unas elecciones a alcalde, el 56% de los votantes optó por el candidato A y el 44% lo hizo por el B. a) Hallar la distribución de la proporción de una muestra de tamaño
b) Hallar la probabilidad de que en una muestra de tamaño 50, haya al menos 30 votantes favorables al candidato A.
3.- Hallar la probabilidad de que en los 200 próximos nacimientos que se produzcan en Las Palmas: a) Menos del 40% sean varones. b) Entre el 48% y el 52% sean varones.
4.- Al acto de presentación de unas oposiciones asistió el 65% de los candidatos. Si se hubiesen tomado al azar, 81 opositores, ¿cuál es la probabilidad de que se presenten menos de 55?
5.- El 40% de los ciudadanos de una región se oponen a la construcción de una presa. Sí se pregunta a 60 personas de esa región, ¿cuál es la probabilidad de que ganen los que se oponen?
6.- Se sabe que 8 de cada 10 profesores universitarios tienen ordenador portátil. Si tomamos 300 de estos profesores. a) Calcular la probabilidad de que tengan ordenador portátil más de 250 profesores b) Construir la distribución de la proporción b) Calcular la proporción de profesores que tienen menos de 2 ordenadores
7.- El 60% de los jóvenes de secundaria y bachillerato tienen consola de videojuegos. Si en un instituto hay 800 alumnos a) ¿Cuántos se espera que tengan consola de videojuegos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 500 tengan consola de videojuegos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el nº de jóvenes con consola de videojuegos este entre 470 y 500 (ambos inclusive)?
