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BAC BLANC - Sujet 1 (2h)
PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES – QCM (6 points)
Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible
par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.
Question 1
Mettre l’expression
3 −^
2 − x 2 sous la forme^
a + bx c , avec^ a,^ b^ et^ c^ entiers relatifs. −1 + x 1
a) 2 −^3 x 6
b) 3 −^ x 5
c) −4 + 3x 6
d)
Question 2
Calculer l’expression B = ac +
1 2 b pour^ a^ =
6 ;^ b^ =
2 et^ c^ =
a) (^6)
b) (^2)
c) 2 d) 1
Question 3
Soit la relation suivante : C =^2 x
+^3
y
. On peut alors affirmer que :
x = 2
C −^
y 3
a) x =
2 y b) (^) Cy − 3 x =
5 − Cy c) (^) C x =
d) 2 C
Question 4
Dans un club sportif les trois quarts des adhérents sont mineurs et le tiers des adhérents majeurs a plus de 25 ans. La proportion des 18-25 ans est :
1 a) (^6)
b) (^4)
c) (^12)
d) 3
Question 5
Le débit d’une rivière est de 36 m^3 · h−^1 son débit en L · s−^1 est :
a) 3600 b) 10 c) 100 d) 1000
BAC BLANC - Sujet 1 (2h)
Question 6
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f définie sur R par : f : x → −x^2 + 10.
P 5
0
On note (Γ) l’inéquation, sur R, f (x) ≤ 5. L’inéquation (Γ) est équivalente à :
−
5 ≤ x ≤
a) 5 x ≤ −
5 ou x ≥
b) 5 x ≥
c) 5 x = −
5 et x =
d) 5
Question 7
Voici une série de notes avec les coefficients associés :
Note 10 7 x Coefficient 1 2 2
On note m la moyenne de cette série. Que doit valoir x pour que m = 12?
a) 17 b) 18 c) 19 d) 20
Question 8
Durant les soldes, le prix d’un article baisse de 30 % puis de 20 %, le prix de l’article a subi une baisse
de :
a) 10% b) 56% c) 44% d)60%
BAC BLANC - Sujet 1 (2h)
Exercice 2 ( ∼ 2 points)
Un piston dans un moteur oscille de haut en bas à partir d’une position de repos comme indiqué.
Position de repos
Le mouvement de ce piston peut être modélisé par la fonction h définie sur
0 ;^213 π
par :
h(t) = 0, 05 cos(13t) où t est le temps en s, et h(t) le déplacement, en m, de la tête de piston par
rapport à la position de repos.
La vitesse de la tête du piston en fonction du temps est v(t) = − 0 , 65 sin(13t).
- Déterminer les vitesses maximum et minimum du piston. Indiquer les instants où elles sont atteintes.
- À quels instants la vitesse est-elle nulle? Donner les positions du piston correspondantes.
Exercice 3 ( ∼ 6 points)
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A :
EF GH est un rectangle avec EH = 2 et EF = 3. M est le milieu de [F G] et K est défini par HK⃗ = 1 3
HG.
L est le projeté orthogonal de K sur la droite (EM ).
E F
H K G
M
L
BAC BLANC - Sujet 1 (2h)
- Montrer que EK⃗ · EM⃗ = 5. On pourra s’aider de la relation de Chasles.
- En écrivant le produit scalaire de EK⃗ · EM⃗ de deux manières différentes, déterminer : (a) La longueur EL. (b) Une mesure de l’angle KEM.
Partie B :
Soit x réel et (O ;ı,⃗ȷ⃗) un repère orthonormé avec A(x ; −2), B(x + 4 ; x + 3) deux points du plan.
- Exprimer OA⃗ · OB⃗ en fonction de x.
- Déterminer pour quelles valeurs de x le triangle OAB est rectangle en O.
- Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x^2 + 2x − 6. (a) Etudier ses variations sur R. (b) En déduire pour quelle valeur de x le produit scalaire OA⃗ · OB⃗ est minimal. (c) Déterminer alors une valeur arrondie au degré près de l’angle \BOA.
Aide au calcul :
cos−^1
√−^7
cos−^1
√^7
cos−^1
√−^7
cos−^1
√^7
BAC BLANC - Sujet 1 - Corrigé
Question 6 : On résout graphiquement ou algébriquement −x^2 + 10 ≤ 5 :
−x^2 ≤ − 5 ⇐⇒ x^2 ≥ 5 ⇐⇒
x^2 ≥
5 ⇐⇒ |x| ≥
Cela correspond à l’union des intervalles ] − ∞ ; −
5] ∪ [
5 ; +∞[. Autrement dit : x ≤ −
5 ou x ≥
- Réponse b. x ≤ −
5 ou x ≥
Question 7 : La moyenne pondérée est donnée par :
m =^10 ×^ 1 + 71 + 2 + 2^ ×^ 2 + x^ ×^2 = 10 + 14 + 2 5 x= 24 + 2 5 x
On veut m = 12 : 24 + 2x 5
= 12 ⇐⇒ 24 + 2x = 60 ⇐⇒ 2 x = 36 ⇐⇒ x = 18
Réponse b. 18
Question 8 : Soit P le prix initial. Le coefficient multiplicateur global est :
CM = (1 − 0 , 30) × (1 − 0 , 20) = 0, 70 × 0 , 80 = 0, 56
Le prix final est donc 56 % du prix initial. La baisse est de :
1 − 0 , 56 = 0, 44 = 44 %
Réponse c. 44%
BAC BLANC - Sujet 1 - Corrigé
DEUXIÈME PARTIE (14 points)
Exercice 1 : Étude de fonctions et suites
Partie A : Modèle continu
- On cherche les abscisses x ∈ R∗^ tels que g(x) = f (x) :
3 + x 2 x =^ x^ −^2 ⇐⇒^
3 + x 2 x −^ (x^ −^ 2) = 0
Mise au même dénominateur :
3 + x − 2 x(x − 2) 2 x = 0^ ⇐⇒^
3 + x − 2 x^2 + 4x 2 x = 0^ ⇐⇒^
− 2 x^2 + 5x + 3 2 x = 0 Cela revient bien à résoudre cette équation sur R∗.
- Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul (et le dénominateur non nul). On résout − 2 x^2 + 5x + 3 = 0.
∆ = 5^2 − 4 × (−2) × 3 = 25 + 24 = 49 > 0
Les racines sont :
x 1 =
2(−2) =^
− 4 = 3^ et^ x^2 =^
2(−2) =^
− 4 =^ −^0 ,^5
Ces deux valeurs sont non nulles, donc valides. On calcule les ordonnées avec f (x) = x − 2 :
- Pour x 1 = 3, y 1 = 3 − 2 = 1. Point I 1 (3 ; 1).
- Pour x 2 = − 0 , 5 , y 2 = − 0 , 5 − 2 = − 2 , 5. Point I 2 (− 0 , 5 ; − 2 , 5). Conclusion : Les points d’intersection sont (3 ; 1) et (− 0 , 5 ; − 2 , 5).
- Étudions le signe de E(x) = −^2 x
(^2) + 5x + 3 2 x
- Le numérateur − 2 x^2 + 5x + 3 est du signe de a = − 2 (négatif) à l’extérieur des racines − 0 , 5 et 3.
- Le dénominateur 2 x s’annule en 0 et est positif pour x > 0.
x
− 2 x^2 + 5x + 3
2 x
Quotient
BAC BLANC - Sujet 1 - Corrigé
(c) Sens de variation (Méthode de la différence) : Calculons la différence vn+1 − vn pour tout n ∈ N∗^ : vn+1 − vn = (^) 2(nn^ + 4 + 1) − n^2 + 3n
Mise au même dénominateur qui est 2 n(n + 1) :
vn+1 − vn =
n(n + 4) − (n + 1)(n + 3) 2 n(n + 1)
Développons le numérateur : n(n + 4) = n^2 + 4n
(n + 1)(n + 3) = n^2 + 3n + n + 3 = n^2 + 4n + 3
D’où : vn+1 − vn = (n
(^2) + 4n) − (n (^2) + 4n + 3) 2 n(n + 1)
= −^3
2 n(n + 1) Étude du signe :
- Le numérateur est − 3 (négatif).
- Pour tout n ∈ N∗, n ≥ 1 , donc 2 n(n + 1) est strictement positif. Par quotient, vn+1 − vn < 0. Conclusion : La suite (vn) est strictement décroissante sur N∗.
- Étude de la suite (wn) : On définit wn = vn − un sur N∗.
Utilisons la méthode de la différence pour étudier les variations :
wn+1 − wn = (vn+1 − un+1) − (vn − un)
On regroupe les termes des suites v et u :
wn+1 − wn = (vn+1 − vn) − (un+1 − un)
D’après les questions précédentes, nous connaissons déjà les valeurs de ces différences :
- vn+1 − vn = (^2) n(−n 3 + 1) (strictement négatif).
- un+1 − un = 1. Ainsi : wn+1 − wn =
|^2 n(n{z^ + 1) } < 0
Puisque l’on soustrait 1 à un nombre déjà strictement négatif, le résultat est nécessairement strictement négatif. ∀n ∈ N∗, wn+1 − wn < 0
Conclusion : La suite (wn) est strictement décroissante sur N∗.
BAC BLANC - Sujet 1 - Corrigé
Exercice 2 : Mouvement du piston
Données : h(t) = 0, 05 cos(13t) et v(t) = − 0 , 65 sin(13t) sur I =
2 π 13
- Vitesses extrêmes : On sait que pour tout réel X, − 1 ≤ sin(X) ≤ 1. Donc − 0 , 65 ≤ − 0 , 65 sin(13t) ≤ 0 , 65. - Vitesse maximale : vmax = 0, 65 m/s. Elle est atteinte quand sin(13t) = − 1. Or 13 t ∈ [0; 2π]. sin(X) = − 1 ⇐⇒ X =^3 π 2
13 t =
3 π 2 ⇐⇒^ t^ =
3 π 26 s
- Vitesse minimale : vmin = − 0 , 65 m/s. Atteinte quand sin(13t) = 1.
13 t =
π 2 ⇐⇒^ t^ =^
π 26 s
- Vitesse nulle : v(t) = 0 ⇐⇒ − 0 , 65 sin(13t) = 0 ⇐⇒ sin(13t) = 0. Sur l’intervalle [0; 2π] pour 13 t, les solutions sont 0 , π et 2 π. - 13 t = 0 ⇐⇒ t = 0. Position : h(0) = 0, 05 cos(0) = 0, 05 m (Haut). - 13 t = π ⇐⇒ t =
π
- Position :^ h
(^) π 13
= 0, 05 cos(π) = − 0 , 05 m (Bas).
- 13 t = 2π ⇐⇒ t =^2 π 13 . Position : h
2 π 13
= 0, 05 cos(2π) = 0, 05 m (Haut).
Exercice 3 : Géométrie et produit scalaire
Partie A : Géométrie vectorielle On a EF GH rectangle, EH = 2, EF = 3. On peut placer un repère orthonormé (E ;ı,⃗ȷ⃗) tel que
ı⃗ = (^13)
EF etȷ⃗ = (^12)
EH. Les coordonnées sont : E(0; 0), F (3; 0), G(3; 2), H(0; 2). M milieu de [F G] donc M (3 ; 1). − HK−→ = 13 − HG−→ =⇒ − EK−→ = − EH−→ + 13 − HG−→. Comme − HG−→ = − EF−→ , on a − EK−→(1 ; 2) donc K(1 ; 2).
- Calculons − EK−→ · − EM−→ avec les coordonnées :
−−→ EK
et
EM
− EK−→ · − EM−→ = 1 × 3 + 2 × 1 = 3 + 2 = 5
Méthode sans coordonnées (Chasles) : − EK−→ · − EM−→ = (− EH−→ + − HK−→) · (− EF−→ + − F M−→ )
Comme EF GH est un rectangle :
BAC BLANC - Sujet 1 - Corrigé
- Vecteurs : − OA→ x − 2
et − OB−→ x^ + 4 x + 3
− OA→ · − OB−→ = x(x + 4) + (−2)(x + 3) = x (^2) + 4x − 2 x − 6 = x (^2) + 2x − 6
- Le triangle OAB est rectangle en O si et seulement si − OA→ · − OB−→ = 0.
x^2 + 2x − 6 = 0
∆ = 2^2 − 4(1)(−6) = 4 + 24 = 28 = (
7)^2.
x = −^2 ±^2
Les valeurs sont − 1 −
7 et − 1 +
- Soit f (x) = x^2 + 2x − 6.
(a) C’est un polynôme du second degré avec a = 1 > 0. La parabole est tournée vers le haut. L’abscisse du sommet est α = −b 2 a
= −^2
= − 1. f est décroissante sur ] − ∞ ; −1] et croissante sur [−1 ; +∞[.
(b) Le produit scalaire est minimal au sommet de la parabole, donc pour x = − 1. Ce minimum vaut f (−1) = (−1)^2 + 2(−1) − 6 = 1 − 2 − 6 = − 7.
(c) Pour x = − 1 , calculons l’angle BOA. − OA→·− OB−→ = − 7. Coordonnées des points pour x = − 1 : A(−1 ; −2) et B(3 ; 2). Longueurs :
OA =
p (−1)^2 + (−2)^2 =
OB =
p 32 + 2^2 =
Formule du produit scalaire :
OA ·
OB = OA × OB × cos(\BOA).
−7 =
5 ×
13 × cos(\BOA) =
65 cos(\BOA)
cos(\BOA) =
√−^7
D’après l’aide au calcul : cos−^1
√−^7
≈ 150 ◦. L’angle mesure environ 150 ◦^.
