Devoir maison n°8
Au troisième siècle avant J.-C., les Grecs savaient déjà que la Terre était sphérique. En utilisant les propriétés de la
sphère et ses connaissances en astronomie et géométrie, Ératosthène réussit à calculer la circonférence de la terre.
1) Déterminer l'angle d'inclinaison de rayons du soleil !
a) On considère un triangle rectangle en . Rappeler les trois formules des rapports
trigonométriques liées à l'angle de mesure , en degrés. (Ces formules ont été vues au collège.)!
b) Grâce à la méthode grecque, calculer la mesure de l'angle pour un gnomon de et une ombre de
longueur . !
2) Calculer la longueur d'un arc de cercle
Sur un cercle de centre , deux points et forment un angle de mesure
avec le point , comme sur la figure ci-contre. Cette construction
détermine un arc de cercle qu'on note . !
a) À quoi correspond un arc de cercle de °? Calculer la longueur de cet
arc de cercle pour un rayon de .!
b) On admet que, pour un même rayon, la longueur de l'arc est
proportionnelle à la mesure de l'angle . En déduire la longueur de
l'arc lorsque le rayon du cercle est de et l'angle mesure °.!
3) Calculer la circonférence de la Terre à la manière d'Ératosthène :
Ératosthène avait remarqué qu'à midi, le jour du solstice d'été, le soleil est à la verticale de la ville de
Syène (actuellement près d'Assouan en Égypte). Il chercha à la même heure l'angle formé par les rayons
du soleil à Alexandrie avec un gnomon de et il trouva une ombre portée de .!
a) Avec une méthode similaire à la question 1), démontrer
que l'angle d'inclinaison des rayons du soleil par rapport à
la verticale à Alexandrie est environ égal à °. !
b) On considère que les rayons du soleil sont parallèles
entre eux. Quelle est alors la mesure de l'angle indiqué sur
la figure ci-contre ?!
c) Ératosthène évalua la distance entre Alexandrie et Syène
à m. Avec une méthode similaire à la question 2)
calculer, en km, la circonférence de la Terre trouvée à cette
époque. !
d) Les calculs actuels donnent une mesure théorique de pour la circonférence de la Terre.
Déterminer l'erreur commise par Ératosthène (l'erreur est la différence entre la valeur théorique et la valeur
expérimentale). Quelle proportion de la valeur théorique l'erreur représente-elle ? Exprimer le résultat sous
la forme d'un pourcentage arrondi à l'unité.
SPR
P
PSR
α
α
3m
PR = 50c m
O
A
B
a
O
⌢
A B
360
5m
⌢
A B
a
AOB
5m
10
3m
38cm
7,2
a
877500
40076k m
Pour calculer la mesure de l'angle formé par les rayons du
soleil avec la verticale en un lieu, les Grecs utilisaient un
"gnomon", c'est-à-dire un bâton de taille connue planté
verticalement dans le sol. Ils mesuraient alors la longueur de
l'ombre portée et en déduisaient l'angle cherché.