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DM 5.
Corrigé
1 Mouvement de la sonde loin de
la surface
1 - L’équation du mouvement de cet oscillateur est don- née par le PFD selon uz :
mz¨ = −k(z − d) − λ z˙ + f 0 cos ωt
2 - Les dimensions sont : — ω^20 = k/m est une pulsation, i.e. l’inverse d’un temps. — donc : Q = mω 0 /λ est sans dimension. — am = Qf 0 /mω^20 est une longueur — u est un rapport de deux pulsations, donc sans di- mension.
3 - On a l’équation différentielle sur a(t) qui est : mz¨ = m¨a = −ka − λ a˙ + f 0 cos ωt et donc : a ¨ + ω Q^0 a˙ + ω^20 a = f m^0 cos ωt On passe aux grandeurs complexes associées et on ob- tient l’équation algébrique :
−ω^2 + jω ω Q^0 + ω 02
a = f m^0 exp (jωt) ce qui donne l’amplitude a(ω) a =| a |= f^0 m
(ω^20 −ω^2 )^2 +(ω^ ω Q^0 )^2
Que l’on peut mettre sous la forme :
a =| a |= Qf^0 mω^20 ((1−u^2 )^2 Q^2 +u^2 )^1 /^2 = am ((1−u^2 )^2 Q^2 +u^2 )^1 /^2
Le graphe de a(ω) évolue en fonction de Q :
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 -0,
0,
0,
1,
1,
2
Plus le facteur de qualité, plus la résonance est marquée et celle-ci n’existe que pour des valeurs suffisantes de Q.
2 Réponse près de la surface
4 - L’équation du mouvement de la pointe devient :
mz¨ = −k(z − d) − λ z˙ + f 0 cos ωt−K/z^2
On peut oublier le forçage par la force sinusoïdale, puisque celle-ci n’intervient pas dans l’expression de la pulsation propre. On a ainsi : m¨z = −k(z − d) − λ z˙ − K/z^2 Si l’on suppose que z = d + ε, on a : mε¨ = −kε − λ ε˙ − (^) (d+Kε) 2 que l’on peut linéariser si l’on suppose que z ≪ d. On a alors approximativement : mε¨ = −kε − λ ε˙ − Kd 2 (1 − (^2) dε ) Ce qui donne :
m¨ε = −
k − (^2) dK 3
ε − λ ε˙ − Kd 2
Et si l’on passe aux notations canoniques, on obtient ainsi une nouvelle pulsation propre : ω 0 ′ =
q (k−^2 dK 3 ) m Cette expression implique que la mesure de la pulsation propre permet de remonter à la distance d et offre donc la possibilité d’une cartographie de la surface. Cette mesure nécessite tout de même de pouvoir mesurer très précisé- ment la pulsation de résonance et donc d’avoir une réso- nance marquée. Or, c’est justement le cas si l’on considère un cantilever de facteur de qualité 400 , ce qui explique qu’expérimentalement, on s’arrange pour avoir une valeur aussi importante.
3 Expérience d’approche-retrait
Généralités 5 - On a maintenant : m¨z = −k(z −d)−λ z˙ +f 0 cos ωt+ (^) (d (^22) −Kaa (^2) ) 3 / 2 cos (ωt + φ) Si l’on passe à la variable a, on obtient : m¨a = −ka − λ a˙ + f 0 cos ωt + (^) (d (^2) −^2 Kaa (^2) ) 3 / 2 cos (ωt + φ) Si l’on utilise les notations canoniques : ¨a + ω^20 a + ω Q^0 a˙ = f 0 cos ωt + (^) (d (^2) −^2 Kaa (^2) ) 3 / 2 cos (ωt + φ) Si l’on passe aux grandeurs complexes associées :h −ω^2 + ω^20
i a exp j (ωt + φ) − 2 Ka (d^2 −a^2 )^3 /^2 exp^ j^ (ωt^ +^ φ) =^ f^0 exp^ jωt Ce qui donne :h −ω^2 + ω^20
- jω ω Q^0 − (^) (d (^2) −^2 Kaa (^2) ) 3 / 2
i a exp jφ = f 0 exp jωt Ce qui donne, si l’on passe au module :
ω 02 − ω^2
− (^) (d (^2) −^2 aK (^2) ) 3 / 2
ω ω Q^0
2 ^1 /^2
a = f 0 Puis, si l’on prend le carré et que l’on utilise les nota- tions de l’énoncé, on a :
a^2
Q^2
h 1 − u^2 − (^2) kK(d (^2) −a^12 ) 3 / 2
i 2
= a^2 m
Courbes expérimentales d’approche retrait pour ω = ω 0 6 - Si u = 1, l’équation précédente devient :
d^ ˜^2 = ˜a^2 +
h β^2 Q^2 1 /˜a^2 − 1
i 1 / 3
d^ ˜ est la somme de deux fonctions croissantes de ˜a et est donc une fonction croissante de ˜a. Les valeurs limites de a˜ sont : — pour ˜a → 0 : d˜^2 = 0 + 0 donc d˜ → 0 — et pour ˜a → 1 : d˜ → +∞
7 - La valeur de d˜ pour ˜a = 0, 95 est : d˜ = 0, 9932 L’écart vaut :
d˜ − ˜a
8 - Pour d˜ faible, on peut approcher la fonction par son premier terme, le deuxième étant négligeable vue la valeur de βQ :
d^ ˜^2 = ˜a^2 +
h β^2 Q^2 1 /˜a^2 − 1
i 1 / 3 ∼ a˜^2 Donc : d^ ˜ ∼ ˜a Pour ˜a ∼ 1 , on peut approcher la fonction par le deuxième terme, et on a :
d^ ˜^2 ∼
h β^2 Q^2 1 /a˜^2 − 1
i 1 / 3 qui peut prendre de grandes valeurs
alors que ˜a reste proche de 1 Le graphe de ˜a( d˜) peut ainsi être modélisé à l’aide de ces deux portions de droites et a pour allure :
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
0,
1
Ce qui est très proche du graphe expérimental.
Courbes expérimentales d’approche retrait pour ω ̸= ω 0 9 - On cherche pour quelle valeur de ˜a les deux branches se rejoignent. Cela correspond à :
˜a^2 +
βQ Q(1−u^2 )−
1 /˜a^2 − 1
= ˜a^2 +
βQ Q(1−u^2 )+
1 /a˜^2 − 1
Ce qui donne :
Q(1 − u^2 ) −
p 1 /˜a^2 − 1 = Q(1 − u^2 ) +
p 1 /˜a^2 − 1
Et donc forcément en −
p 1 /˜a^2 − 1 = +
p 1 /˜a^2 − 1 et donc pour :
p 1 /˜a^2 − 1 = 0 Donc : ˜a = 1, qui correspond à :
d^ ˜^2 = 1 +
h βQ Q(1−u^2 )
i 2 / 3
C’est-à-dire numériquement : d^ ˜ = 1, 02 10 - La branche ⊕ correspond à :
d^ ˜^2 = ˜a^2 +
βQ Q(1−u^2 )+
1 /˜a^2 − 1
qui est la somme de deux fonctions croissantes, donc qui est une fonction croissante. La situation est analogue à celle analysée précédem- ment. Le graphe de ˜a( d˜) peut être modélisé simplement par ˜a = d˜ comme précédemment. 11 - Pour la branche ⊖, la valeur de ˜a correspondant aux grandes distances d˜ est donnée par la divergence de la fonction, c’est-à-dire quand le deuxième terme est grand :
d^ ˜^2 = ˜a^2 +
βQ Q(1−u^2 )−
1 /˜a^2 − 1
βQ Q(1−u^2 )−
1 /˜a^2 − 1
C’est-à-dire quand le dénominateur est faible, et donc quand : Q(1 − u^2 ) −
p 1 /˜a^2 − 1 ∼ 0 Donc : a˜ = √^1 Q^2 (1−u^2 )^2 + ce qui donne numériquement :
˜a = √^1 Q^2 (1−u^2 )^2 +
La valeur d˜ 1 de d˜ correspondant à ˜a = 0, 75 est : d^ ˜ 1 = 1, 07. Ce qui implique que ˜a varie de 0 , 74 à 0 , 75 quand d˜ varie de d˜ 1 à l’infini. On peut donc approcher la fonction ˜a( d˜) par une fonction constante de valeur 0 , 75 pour tout le domaine
h d˜ 1 ; +∞
i .
12 - On a donc :
Branches ⊖ et ⊕. Zoom et trajectoires suivies lors d’une approche.
Analyse — Si on commence avec des valeurs de d importantes, on est sur la seule branche qui peut atteindre ces valeurs, c’est-à-dire sur la branche ⊖. On s’approche jusqu’au point A qui est la plus petite valeur de d possible sur cette branche. Ensuite, le système passe
