Grand oral de maths
Dans l’imaginaire collectif on pense souvent que si un solide a une aire infinie il
aura alors aussi un volume infini. Aujourd’hui nous allons réfuter cela avec le
paradoxe de la trompette de Gabriel, une forme géométrique qui a une aire
infinie mais un volume fini. Cela peut nous amener à nous questionner": Peut-on
remplir de peinture un récipient qu'on ne pourrait pas peindre à l'extérieur ?
Introduction:
On s’intéressera à la fonction
f
(
x
)
=1
x
avec
x ≥
1
Cette fonction est décroissante plus
x
est grand plus
f
(
x
)
est petit et se
rapproche de 0. Aussi elle a une asymptote horizontale en 0 c’est-à-dire que la
courbe se rapproche de 0 sans jamais l’atteindre.
Maintenant imaginons que l’on fasse tourner notre courbe autour de l’axe de
abscisses on obtient donc un solide de révolution qui s’étend infiniment en
+
∞
.
C’est la trompette de Gabriel découvert par le mathématicien italien Evangelista
Torricelli aux alentours de 1640. Son nom vient de la trompette de l’ange Gabriel.
On peut l’assimiler a une trompette ou à un entonnoir. Le paradoxe apparait
donc. Comment peut-on avoir un volume fini mais une aire infinie.
Pour relier cela a notre problématique on pourrait remplir la trompette de Gabriel
(volume fini) mais on ne pourrait jamais la peindre en entier (aire infinie).
Grâce à l’utilisation des intégrales on va donc pouvoir calculer l’aire et le volume
de de la trompette de Gabrielle.
Calcule du volume de notre solide de révolution
Notre solide de révolution peut être modélisé par une infinité de tronçons. Bien
que ces bandes présentent une légère pente, plus on réduit leur épaisseur, plus
elles s'assimilent à de parfaits cylindres.
L'épaisseur infinitésimale de chaque cylindre est notée dx, ce qui correspond à sa
hauteur h. Le volume d'un cylindre s'obtient en multipliant l'aire de sa base
circulaire par sa hauteur. Ici, le rayon r de chaque disque correspond à la distance
entre l'axe des abscisses et la courbe de la fonction, soit r = f(x).
Grâce au calcul intégral, nous pouvons faire la somme de ces volumes
infinitésimaux pour obtenir le volume total du solide de révolution. En intégrant
pour chaque valeur de x allant de 1 à l'infini, la formule devient donc":
V
=
π ×
∫
1
+
∞
[
f
(
x
)
]
2
dx
On assimile notre calcul à une suite":
V
(
n
)
V
(
n
)
=
π ×
∫
1
n
[
f
(
x
)
]
2
dx
