Correction Correction DS n◦2A - Seconde - Octobre 2015
Devoir Surveillé n◦2A
Correction
Seconde
Fonctions - Distances
Durée 1 heure - Coeff. 5
Noté sur 20 points
Exercice 1. Repère 3,5 + 0,5 + 1 = 5 points
Soit (O′, I′, J ′)un repère orthonormée du plan. on considère les points : A(2 ; 4) , B 2−√3 ; 3, C 3 ; 4 −√3.
Dans tout ce qui suit, les longueurs seront exprimées en unités de longueur (u.l.).
1. [3,5 pts] Démontrer que (A , B , C)est un repère orthonormé.
On va pour cela montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.
Le repère (O′, I′, J′)un repère orthonormée donc le calcul des distances est légitime.
AB2=2−√3−22
+ (3 −4)2
AB2= 3 + 1 = 4
AC2= (3 −2)2+4−√3−42
AC2= 1 + 3 = 4
BC 2=3−2 + √32
+4−√3−32
BC 2=1 + √32
+1−√32
BC 2= 1 + 2√3 + 3 + 1 −2√3 + 3
BC 2= 8
Il est donc clair que le triangle ABC est isocèle en Apuisque AB =AC = 2.
Si le triangle ABC est rectangle, c’est en Acar [BC]est le plus grand côté.
Or CB 2= 8
AB2+AC2= 4 + 4 = 8
Donc on a égalité, BC2=BA2+AC 2= 8 et d’après la récipr oque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
On a donc montré que ABC est rectangle et isocèle en Aet donc que (A , B , C)est un repère orthonormé.
2. [0,5 pt] Déterminer les coordonnées de A,Bet Cdans le repère (A , B , C ).
Dans le repère (A , B , C)on a par définition A(0; 0), B(1; 0), C(0; 1) .
3. [1 pt] Déterminer les coordonnées du milieu Idu segment [BC], dans le repère (O′, I′, J ′)et dans le repère
(A , B , C). Dans le repère (A , B , C):I1
2;1
2et dans le repère (O′, I ′, J′):I 5−√3
2;7−√3
2!
Exercice 2. Parallélogramme 2 + 3 + 1 + 1 = 7 points
Soit (O′, I′, J ′)un repère orthonormée du plan. On considère les points : A(4 ; 1) , B (2 ; 5) , C (−2 ; 3).
1. Déterminer les coordonnées du point Dtel que ABCD soit un parallélogramme.
ABCD est un parallélogramme si et seulemen t si les diagonales [AC ]et [BD]se coupent en leur milieu donc :
mil[AC] = mil [BD]⇔
xA+xC
2=xB+xD
2
yA+yC
2=yB+yD
2
⇔
4−2
2=2 + xD
2
1 + 3
2=5 + yD
2
⇔(2 = 2 + xD
4 = 5 + yD
mil[AC] = mil [BD]⇔D(0 ; −1) .
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