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Exercices de spécialité en algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Justifier l’inégalité, Prouver que la suite (un) est convergente.
Typologie: Exercices
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Ne manques pas les parties importantes!
Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Partie A
On considère l’algorithme suivant : Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N.
Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N.
Traitement Affecter à U la valeur 0 Pour k allant de 0 à N − 1
Affecter à U la valeur 3 U − 2 k + 3 Fin pour
Sortie Afficher U
Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3?
Partie B
On considère la suite ( un ) définie par u 0 = 0 et, pour tout entier naturel n , un + 1 = 3 un − 2 n + 3.
2. En déduire la limite de la suite ( un ).
1. Démontrer que la suite ( vn ) est une suite géométrique. 2. En déduire que, pour tout entier naturel n , un = 3 n^ + n − 1.
10 p^? On s’intéresse maintenant au plus petit entier n 0.
3. Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n 0 pour la valeur p = 3. 4. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur
un + 1 − un = f ( n )
où f est la fonction définie dans la partie A. En déduire le sens de variation de la suite ( un ).
Justifier l’inégalité
∫ k + 1
k
k
x
En déduire que
∫ k + 1
k
x
k
k
2. Écrire l’inégalité (1) en remplaçant successivement k par 1, 2,... , n et démontrer que pour tout entier strictement positif n ,
n
On considère la suite ( In ) définie pour n entier naturel non nul par :
In =
0
xn^ e x
2 d x.
2 . Démontrer que la fonction G définie sur R par G ( x ) =
e x
2 est une primitive sur R de la fonction g.
2. En déduire la valeur de I 1. 3. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n , supérieur ou égal à 1, on a : In + 2 =
e −
n + 1 2
In.
4. Calculer I 3 et I 5.
Initialisation Affecter à n la valeur 1 Affecter à u la valeur
e −
Tant que n < 21 Affecter à u la valeur
e −
n + 1 2
u Affecter à n la valeur n + 2 Sortie Afficher u Quel terme de la suite ( In ) ontient-on en sortie de cet algorithme?
2. Montrer que la suite ( In ) est décroissante. 3. En déduire que la suite ( In ) est convergente. On note ℓ sa limite.
tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Déterminer la valeur de ℓ.
Les cinq questions sont indépendantes.
filles et 30 % des garçons déjeunent à la cantine. On choisit, au hasard, un élève du lycée. Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine?
multanément. Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair? 3.
Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à 10−^3.
On appelle A l’évènement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’évènement « l’appa- reil présente un défaut de fonctionnement ». On suppose que les évènements A et F sont indépendants. On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0, 02 et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0, 069. On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défaut F?
A et C sont des entiers naturels, C prend la valeur 0 Répéter 9 fois A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7. Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1 Fin Si Fin répéter Afficher C.
Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée. Quelle loi suit la variable X? Préciser ses paramètres.
Les quatre questions sont indépendantes.
(E) 11 x − 5 y = 14.
2. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) vérifiant l’équation (E).
23 n^ ≡ 1 (mod 7).
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2 011^2012 par 7.
transformation f qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′^ d’affixe z ′^ tel que :
z ′^ =
(1 − i) z + 4 − 2i.
désigne la partie entière de
A et N sont des entiers naturels Saisir A N prend la valeur 1
p A Si
− Ent
= 0 alors Afficher N et
Fin si N prend la valeur N + 1 Fin Tant que.
Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12? Que donne cet algorithme dans le cas général?
