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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Antilles–Guyane septembre 1993 \
EXERCICE 1 4 points Enseignement obligatoire
Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct
O,
u ,
v
ayant
comme unité graphique 2 cm. On désigne par A et B les points d’affixes respectives −1 et i. Soit f l’application de P −{A} dans P qui, à tout point M de P −{A} d’affixe z , associe le point f ( M ) d’affixe Z telle que :
Z = i
z − i z + 1
(On rappelle que : arg( zz ′) = arg z + arg z ′^ + 2 kπ , k entier relatif).
1. a. Soit G le point d’affixe (− 1 + i). Déterminer f ( G ). b. Déterminer le point M de P − {A} tel que f ( M ) = O. 2. Donner une interprétation géométrique des arguments de ( z − i) et de ( z + 1). Préciser l’argument de i. En déduire une interprétation géométrique de l’argument de Z. 3. a. Déterminer et construire l’ensemble S 1 des points M de P − {A} dont les images par f ont pour affixe un nombre réel. b. Déterminer et construire l’ensemble S 2 des points M de P − {A} dont les images par f ont pour affixe un nombre imaginaire pur. N.B. Les élèves qui suivent l’enseignement de spécialité utiliseront, pour ( traiter 3. a et 3.b, leurs connaissances sur le lieu des points^ M^ tels que −−→ M A ,
M B
= α mod π ou mod 2 π..
EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire
Une urne contient douze boules indiscernables au toucher : m boules blanches et n boules noires.
1. On tire successivement deux boules de l’urne, la boule tirée n’étant pas remise dans l’urne après le premier tirage. Déterminer les couples ( m , n ) pour que la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes soit égale à
2. On prend désormais m = 8 et n = 4. On tire successivement 3 boules de l’urne, la boule tirée étant remise dans l’urne après chaque tirage. a. Calculer la probabilité d’obtenir exactement une boule blanche. b. Calculer la probabilité d’obtenir au moins une boule blanche et au moins une boule noire. (On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.)
EXERCICE 2 4 points Enseignement de spécialité
On considère dans le plan un triangle ABC tel que : AB = 7, BC = 4 et AC = 5 (unité graphique = 1 cm). Soit I le milieu de [BC].
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
1. Montrer que AI =
p
2. a. Soit M un point du plan. Pour quelle valeur du réel m le vecteur m
M A +
M E +
M C est-il égal à un vecteur
U indépendant du point M? Déterminer alors le vecteur
U en fonction du vecteur
AI.
b. Déterminer et construire l’ensemble E des points M du plan tels que :
− 2 M A^2 + M B^2 + M C^2 = −58.
3. Soit D le barycentre du système : (A, −1);(B, 1);(C, 1). 4. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? Justifier la réponse. 5. Déterminer et construire l’ensemble F des points M du plan tels que :
− M A^2 + M B^2 + M C^2 = −25.
PROBLÈME 12 points
On considère les fonctions dépendant d’un entier naturel n et définies sur l’inter- valle [0 ; 1] par :
f 0 ( x ) =
1 + x + x^2
et pour tout n > 1 : fn ( x ) =
xn 1 + x + x^2
On pose : In =
0
fn ( x ) d x.
Dans la partie A, on étudie la fonction f 0 et sa fonction dérivée. Dans la partie B, on étudie la suite des nombres réels In.
Partie A
1. Étudier le sens de variation de la fonction f 0. Construire la courbe représentative de f 0 dans un repère orthonormal (unité graphique : 6 cm) en précisant les tangentes aux points d’abscisses 0 et 1. 2. On note pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 1] : f ( x ) = − f (^) 0 ′ ( x ). Calculer la fonction dérivée de f et montrer que f est décroissante sur [0 ; 1]. En déduire que pour tout x appartenant à [0 ; 1], on a :
6 f ( x ) 6 1.
Partie B
(On ne cherchera pas à calculer In .)
1. Calculer : I 0 + I 1 + I 2 et I 0 + 2 I 1. 2. Étudier, pour tout entier n et pour x appartenant à [0 ; 1], le signe de fn + 1 ( x ) − fn ( x ). En déduire que la suite ( In ) est décroissante.
3. Montrer que, pour tout entier n et pour tout x appartenant à [0 ; 1], 0 6 fn ( x ) 6
xn^.
En déduire que : 0 6 In 6
n + 1
Déterminer la limite de la suite ( In ).
4. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout entier n :
In =
3( n + 1)
n + 1
0
f ( x ) xn +^1 d x.
( f étant la fonction définie dans le A. 2.).
Antilles–Guyane 2 septembre 1993
