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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Polynésie juin 1992 \
EXERCICE 1 4 points Enseignement de spécialité
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
O,
u ,
v
Soit C la courbe plane définie par la représentation paramétrique :
t 7 −→
O M ( t ) = x ( t )
u + y ( t )
v avec t ∈ R+,
x ( t ) = e− t^ cos t et y ( t ) = e− t^ sin t.
On donne
cos t − sin t =
p 2 cos
t +
π 4
1. Étudier les variations des fonctions t 7 −→ x ( t ) et t 7 −→ y ( t ) sur [0 ; π ]. Montrer que C admet une tangente en chacun de ses points. Tracer la partie de C pour t appartenant à [0 ; π ] (on prendra comme unité 10 cm sur chaque axe). Préciser en particulier les tangentes à C pour t = 0, t =
π 2
et t = π.
2. Montrer que M
t + π 2
est l’image de M ( t ) par une similitude plane directe
de centre O que l’on précisera. (On pourra exprimer l’affixe z ′^ de M
t + π 2
en fonction de l’affixe z de M ( t ).)
3. On admet que la longueur de l’arc exprimée en centimètres de la courbe C entre les points M (0) et M ( t ) est :
L ( t ) = 10
∫ t
0
[ x ′]^2 +
[
y ′
] 2
d t.
Calculer L ( t ). Donner une valeur approchée de L ( π ) à 10−^2 près. La longueur L ( t ) a-t-elle une limite quand t tend vers +∞?
EXERCICE 2 4 points
Le plan rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
. Soit E l’ensemble des points
M du plan dont les coordonnées ( x ; y ) vérifient l’équation :
21 x^2 + 31 y^2 − 10
p 3 x y − 576 = 0.
1. Soit f la similitude de centre O, d’angle
π 3
et de rapport
Soit M ′^ l’image de M par f. Caractériser f −^1 et calculer les coordonnées x et y de M en fonction des coor- données x ′^ et y ′^ de M ′.
2. Donner une équation de E ′^ image de E par f et montrer que E ′^ est une co- nique dont on précisera la nature, les sommets, l’excentricité, les foyers et les directrices.
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
3. En déduire que E est une conique dont on précisera la nature, les sommets et l’excentricité. Construire E et E ′^ sur un même dessin en prenant 1 cm pour unité sur chaque axe.
PROBLÈME 12 points
On désigne par f la fonction définie sur R par :
f ( x ) = e− x
2 .
On se propose d’étudier la fonction F définie sur R par :
F ( x ) =
∫ x
0
e− t^ 2 d t.
Partie A
1. a. Étudier la fonction f b. Tracer la courbe C représentative de f dans un repère orthonormal (unité 4 cm). 2. a. Justifier l’existence de F ( x ) pour tout x réel. b. Montrer par des considérations d’aires relatives à C que F est une fonc- tion impaire. c. Déterminer le sens de variation de F. d. Vérifier que pour tout réel t on a :
t^2 > 2 t − 1.
En déduire que pour tout réel x de R+ on a :
F ( x ) 6
e 2
On admettra que toute fonction croissante et majorée sur [0 ; +∞[ admet une limite finie en +∞. On pose lim +∞ F = ℓ. Quel encadrement peut-on déjà donner de ℓ?
Partie B
On se propose dans cette partie d’obtenir un encadrement de F (1).
1. k désigne un réel strictement positif. Soit la fonction ϕk définie sur [0 ; 1] par :
ϕk ( x ) = e− x^ −
1 − x + kx^2
Calculer ϕ ′ k et ϕ ′′ k.
2. a. Montrer à l’aide des variations de ϕ ′ 1 2
et ϕ 12 que ϕ 12 est négative sur [0 ; 1].
b. Étudier les variations de ϕ ′ 1 e
Montrer qu’il existe un réel unique α de [0 ; 1] tel que ϕ ′ 1 e
( α ) = 0. Montrer alors à l’aide de ses variations que ϕ (^1) e est positive sur [0 ; 1]. c. En déduire que pour tout x de [0 ; 1] on a :
1 − x^2 +
x^4 e
6 e− x
2
6 1 − x^2 +
x^4 2
et donner un encadrement de F (1).
Polynésie 2 juin 1992
