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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Nouvelle-Calédonie décembre 1992 \
EXERCICE 1 4 points
On donne, dans le plan, un quadrilatère convexe ABCD. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en E.
Soit F le point tel que :
DF =
BE.
1. Comparer les distances BD et EF, puis les aires des triangles ABD et AEF. 2. Montrer que le quadrilatère ABCD et le triangle AFC ont même aire. 3. Démontrer l’égalité :
AC ∧
AF =
AC ∧
BD.
En déduire l’aire du quadrilatère ABCD à l’aide d’une expression faisant inter- venir les vecteurs
AC et
BD.
EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire
Le plan complexe P est rapporté au sepère orthonormal
O,
u ,
v
(unité graphique : 2 cm).
1. Déterminer et représenter dans le plan P, l’ensemble D des points M dont l’af- fixe z vérifie :
z − i z = 0.
2. Au point M d’affixe z = x + i y ( x et y désignant des nombres réels distincts), on fait correspondre le point M ′^ d’affixe z ′^ définie par :
z ′^ = f ( z ) =
z + z − i z − i z
a. Calculer le module de f (i). Donner un argument de f (i). En déduire que [ f (i)]^8 est un nombre réel positif>. b. Déterminer les parties réelle et imaginaire du nombre complexe z véri- fiant f ( z ) = i.
3. a. Calculer les coordonnées du point M ′^ en fonction de celles du point M. b. Déterminer et représenter dans le plan P l’ensemble des points M tels que z ′^ soit un imaginaire pur.
EXERCICE 2 4 points Enseignement de spécialité
Dans le plan, rapporté à un repère orthonormé direct
A,
u ,
v
, soit ABCD un pa-
rallélogramme tel que
AB =
DC =
u.
On note E le point d’affixe : 1 +
p 3
i.
Soit F l’image de C par la similitude directe f de centre B, de rapport
, et d’angle π 3
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
A B
D C
u
v
1. Vérifier que
AB ,
AE
π 6
et montrer que le triangle BCF est rectangle en F. Faire une figure soignée.
2. On note t la translation de vecteur
u et g la similitude directe de centre E qui transforme A en B. Montrer que g = f ◦ t : on pourra, pour cela, soit utiliser les transformations vectorielles associées à g et f ◦ t , soit déterminer leurs expressions analytiques complexes.
3. Montrer que g transforme D en F. En déduire la nature et les angles du triangle EDF.
PROBLÈME 12 points
Le but de ce problème est d’étudier certaines fonctions fk de la variable réelle x définies sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
fk ( x ) = x e− x^ + kx
où k est un réel donné quelconque, et de construire leurs courbes représentatives C k.
Partie A
1. Étude de fk a. Déterminer selon les valeurs du réel k , (^) x lim→+∞ fk. Montrer que la droite Dk d’équation y = kx est asymptote en +∞ à la courbe C k? Préciser la position de C k par rapport à Dk. b. Calculer f (^) k ′ ( x ) et f (^) k ′′ ( x ). Donner selon les valeurs du réel k , lim x →+∞ f (^) k ′ ( x ). Donner le sens de variations de fk. 2. Donner les tableaux de variations de f 0 et f 1. 3. Le plan est rapporté au repère orthonormal
O,
ı ,
. Pour le dessin, on choisit pour unité 5 cm. a. Donner les coefficients directeurs des tangentes à l’origine T 0 et T 1 res- pectivement à C 0 et C 1. b. Construire les tangentes T 0 et T 1 les asymptotes D 0 , D 1 et les courbes C 0 et C 1. 4. Pour tout a de [0 ; +∞[, on pose F ( a ) =
∫ a
0
f 0 d( x ).
a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer F ( a ). b. Déterminer lim x →+∞ F ( a ).
Nouvelle-Calédonie 2 décembre 1992
