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LCMN
Classe 1S
Série N ◦^4 :
Angles orientés et Trigonométrie:
Exercice 0.
Donner la mesure principale de l’angle ( ~u, ~t ) dans chacun des cas suivant:
- ( ~u, ~v ) =
π 4
; ( ~v, ~w ) =
2 π 3
et ( w, ~~ t ) =
5 π 6
- ( ~u, ~v ) =
π 4
; (− ~v, − w~ ) =
2 π 3
et ( ~t, ~w ) =
5 π 6
- (2 ~u, − 2 ~v ) =
π 4
; ( ~v, 3 w~ ) =
2 π 3
et (− w, ~~ t ) =
5 π 6
- (− 3 ~u, − 2 ~v ) =
π 4
; (− 4 ~v, − 3 w~ ) =
2 π 3
et (− w,~ − 2 ~t ) =
5 π 6
Exercice 0.
ABC est un triangle équilatéral. ACD est un triangle rectangle isocèle en D. I est le point de rencontre des segments [ DB ] et [ AC ].
- Faire la figure.
- Donner la mesure principale de chacun des angles orientés suivants: (
AC ;
AB ) ; (
BC ;
BA ) ; (
ID ;
IC ) ; (
DA ;
BC ) ; (
CI ;
AD ).
Exercice 0.
Soit ( C ) et ( C ′) deux cercles sécants en A et B. La droite passant par A coupe ( C ) en M et ( C ′) en M ′. La droite passant par B coupe ( C ) en N et ( C ′) en N ′.
- Faire une figure.
- Montrer que les droites ( M N ) et ( M ′ N ′) sont parallèles.
Exercice 0.
Dans le plan orienté on considère le triangle ABC inscrit dans un cercle C de centre O telle que
( ̂
AB ;
AC ) ≡ π 2 [2 π ]. Soit M le projeté orthogonal de B sur [ AC ] et N le projeté orthogonal de C sur ( AB ).
- Montrer que B ; C ; M et N sont situés sur le même cercle.
- En déduire ( ̂
M N ;
AC ) ≡ ( ̂
BA ;
BC )[ π ].
- Soit [ AT ) la tangente à C en A. Montrer que ( OA ) ⊥ ( M N ).
- Soit Γ = { M ∈ P / ( ̂
M B ;
M C ) ≡ 23 π [2 π ]}.
LCMN
Classe 1S
a. Vérifier que O ∈ Γ. b. Déterminer et construire Γ
Exercice 0.
Le plan est orienté dans le sens direct, On considère un parallélogramme ABCD tel que :
( ̂
AB ;
AD ) ≡ −^2534 π [2 π ] et ( ̂
BD ;
BA ) ≡ π 8 [2 π ].
- Montrer que 34 π est la mesure principale de ( ̂
AB ;
AD ).
- Déterminer la mesure principale de l’angle ( ̂
DA ;
DB )
- En déduire que ABCD est un losange.
- 158 π est-elle une mesure de ( ̂
BD ;
BC )
Exercice 0.
- Soit C un cercle de centre O. Soient A, B, C et D quatre points de C.
Montrer que ( ̂
CA ;
CB ) ≡ ( ̂
DA ;
DB )[ π ].
- Soient A, B, C et D quatre points du plan tels que ( ̂
CA ;
CB ) ≡ ( ̂
DA ;
DB )[ π ]. Montrer que A, B, C et D sont cocycliques.
Exercice 0.
A l’aide des formules relatives aux des angles associés, transformer les expressions suivantes:
- A = 3 cos(− x ) + 2 cos( π 2 − x ) + 4 sin( π − x ) + cos x
- B = 2 sin( π 2 + x ) + 5 cos( π − x ) − 3 sin(− x ) − cos x
- C = − sin( π + x ) + cos( π 2 + x ) − sin( π − x )
- D = sin( π 2 + x ) + cos( x − π ) + sin( x + 32 π ) + cos( x + π )
- E = cos(^32 π − π + x ) − 2 sin( x − 2 π ) + 5 sin(^52 π + x )
- F = 2 tan( x + 32 π ) + tan( x − 52 π ) + 3 cot( x + 4 π ) − cot[(2 k + 1) π − x ] avec k ∈ Z.
Exercice 0.
Donner la mesure principale en radian de l’angle orienté α dont on connait une de ses mesure dans les cas suivants: 180 π 15 ;^
− 67 π 4 ;^
112 π 3 ;^ −
119 π 5 ;^
93 π 2 ;^100 π^ ;^
107 π 6 et^ −
111 π
Donner toutes les mesures appartenant à l’intervalle [− 5 π ; 132 π ] de l’angle orienté dont la mesure principale est π 4.
Exercice 0.
- En utilisant les angles associés, calculer la valeur des expressions suivantes: A = sin π 8 − sin 38 π + sin 58 π − sin 78 π. B = sin^2 π 8 + sin2 3 8 π + sin2 5 8 π + sin2 7 8 π. C = sin^4 π 8 + sin4 3 8 π + sin4 5 8 π + sin4 7 8 π.
LCMN
Classe 1S
- Résoudre les équations suivantes: cos( x − π 4 ) = cos 3 x cos(2 x − π 4 ) = cos( x + π 6 ) cos(3 x + π 6 ) = 12. sin(3 x − π 5 ) = sin( π 5 − x ) sin(2 x + π 3 ) = −
√ 2 2 4 sin
(^2) x − 1 = 0 tan( x − π 6 ) =
3 tan(3 x + π 3 ) = tan( x − π 3 )
3 tan x = 3
- Résoudre les inéquations suivantes:√ 2 cos x − 1 < 0 dans R 2 sin x −
√^3 >^^0 dans^ R. 2 sin(2 x + π 2 ) − 1 ≤ 0 dans [0; 2 π ] sin x − cos x ≥ 0 dans [0; π ]. tan( x + π 6 ) ≥ 0 cos 2 x ≥ 0 dans ] − π ; π ]
- Résoudre dans√ R les équations suivantes: 3 cos x + sin x + 1 = 0 sin 3 x = cos( x − π 6 )
cos x +
sin x = 1
Exercice 0.
- Exprimer cos 4 x en fonction de cos 2 x et de cos x puis en déduire cos^4 x.
- Démontrer que (cos x + sin x )^2 − (cos x − sin x )^2 = 4 sin x cos x
- a. Calculer (cos^2 x + sin^2 x )^3 de deux façons différentes. b. Exprimer de sin^2 2 x en fonction de cos 4 x. c. En déduire que cos^6 x + sin^6 x = 58 + 38 cos 4 x
Exercice 0.
- Calculer la mesure principale de 12712 π et puis utiliser les formules d’addition pour calculer la valeur exacte de son cosinus et de son sinus.
- Calculer cos 38 π cos π 8 et sin 38 π cos π 8.
- Démontrer que pour tout réel x 6 = k π 2 avec k ∈ Z on a: sin 3 sin xx − cos 3 cos xx = 2.
- Démontrer que ∀ x ∈]0; π 2 [: tan x = 1 − sin 2cos 2 x x ; en déduire les valeurs exactes de tan π 8 et tan 12 π.
Exercice 0.18 :
- a. Sachant que 712 π = π 3 + π 4 ; donne les valeurs exactes de cos 712 π et sin 712 π. b. En déduire le calcul de cos 12 π et sin 12 π
- Résoudre dans R l’équation (E):cos 4 x + sin 4 x = 1 −
√ 3 2 ; précise les solutions de (E) qui appar- tiennent à [0; 2 π [.
- Placer les images des solutions de (E) sur le cercle trigonométrique
- Calculer (cos^2 x + sin^2 x )^3 de deux façons différentes puis déterminer l’expression de sin^2 2 x en fonction de cos 4 x
- En déduire que cos^6 x + sin^6 x = 58 + 38 cos x
