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L’épreuve comporte deux parties : — Une première partie, composée d’ exercices. Les candidats sont invités à consacrer au moins un tiers du temps de l’épreuve à cette partie en cherchant à traiter les quatre exercices numérotés 1, 2, 3, 4. — Un problème à traiter au choix parmi deux proposés : le Problème 1, plutôt orienté « Analyse et Probabilités » ou bien le Problème 2, plutôt orienté « Mathé- matiques Générales ». Le candidat devra indiquer clairement sur sa copie le problème qu’il choisit. Seul ce choix sera pris en compte dans l’éva- luation. Au moins la moitié du temps de l’épreuve devrait être consacré à l’un de ces problèmes.
Dans tout le sujet N ˚^ désigne l’ensemble des entiers naturels strictement positifs.
Exercices
Exercice 1 Pour une suite de complexes a = (an)nP N , on pose
A(a) = r ě 0 tel que (|an|rn)nP N est majorée
B(a) = r ě 0 tel que (^) nÑlim+ 8 anrn^ = 0
C(a) =
r ě 0 tel que
ÿ^8 n=
anrn^ est convergente
- Justifier les inclusions C(a) Ă B(a) Ă A(a). Montrer que ces inclusions peuvent être strictes.
- Montrer que, dans R = R Y t´8, +8u, on a sup A(a) = sup B(a) = sup C(a).
On rappelle que le rayon de convergence d’une série entière
ÿ^8 n=
anzn^ correspond à la borne supérieure de l’ensemble A(a) dans R.
- Déterminer le rayon de convergence des séries entières
a)
ÿ^8 n=
1 + i n zn^2 (avec i^2 = ´ 1 ), b)
ÿ^8 n=
2 (´1)nnzn, c)
ÿ^8 n=
cos(2n)zn.
- On suppose que la série entière
ÿ^8 n=
anzn^ a un rayon de convergence R P ]0, + 8 [. Montrer que
la série entière
ÿ^8 n=
an n! zn^ a un rayon de convergence infini.
- Si la série entière
ÿ^8 n=
an n! zn^ a un rayon de 2, que peut-on dire du rayon de convergence de ÿ^8 n=
anzn^? Donner un tel exemple de série entière.
Exercice 2 Soit (n, p) P N ˚^ ˆ N ˚. On désigne par Mn,p( R ) l’espace vectoriel des matrices à n ligne(s) et p colonne(s) à coefficients réels. On note Aᵀ^ la transposée de la matrice A. Enfin, pour M P Mn,n( R ), Tr(M ) désigne la trace de la matrice M.
- Soit (R, S) P Mn,p( R ) ˆ Mp,n( R ), montrer que Tr(RS) = Tr(SR).
- Montrer que l’on définit un produit scalaire sur Mn,p( R ) en posant
@(A, B) P Mn,p( R )^2 , xA |B y = Tr(AᵀB).
On notera dans la suite }.} la norme associée à ce produit scalaire : }A} =
a xA |A y.
- Soit A P Mn,p( R ), montrer que fA : M ÞÑ AM ᵀA est un endomorphisme de Mn,p( R ), et qu’il est auto-adjoint.
On pose R(fA) = txfA(M ) |M y , M P Mn,p( R ), }M } = 1u.
- Justifier que a = inf R(fA) et b = sup R(fA) sont des éléments de R. Montrer que a correspond à la plus petite valeur propre de fA et que b correspond à la plus grande valeur propre de fA.
- Montrer que R(fA) = [inf R(fA), sup R(fA)].
Problème d’analyse et probabilités
Notations et motivation
Dans tout le problème, on utilisera les notations suivantes : — (^1) B est la fonction caractéristique d’une partie B de ]0, + 8 [, — L^1 (]0, + 8 [) est l’ensemble des fonctions Lebesgue-intégrables sur ]0, + 8 [, — L^1 loc(]0, + 8 [) est l’ensemble des fonctions localement Lebesgue-intégrables sur ]0, + 8 [, c’est- à-dire intégrables sur tout compact de ]0, + 8 [. On s’intéresse au problème différentiel suivant
ϕ^1 (x) + aϕ(x) = a b ϕ(bx), x ą 0 (1)
où a et b sont des constantes réelles, b étant strictement positif. On cherche des solutions satisfaisant à la condition suivante : ϕ P L^1 (]0, + 8 [),
ż
]0,+ 8 [
ϕ = 1. (2)
L’objectif de ce problème est de montrer le théorème suivant.
Théorème. Si a ą 0 et b ą 1 , il existe une et une seule solution ϕ au problème (1) - (2). Cette solution appartient à C^8 ([0, + 8 [) et est à valeurs positives.
Pour justifier à ce résultat, on étudiera au préalable la fonction Γ d’Euler, puis on définira et on analysera la transformée suivante, dite de Mellin : pour une fonction ϕ localement intégrable sur ]0, + 8 [ et à valeurs dans R , on pose
ϕ q : z P C ÞÑ
ż
]0,+ 8 [
xz´^1 ϕ(x) dx. ( M )
1 Premières propriétés de la solution
Dans cette section, on suppose qu’il existe ϕ solution du problème (1) - (2).
- Justifier le fait que ϕ est une fonction continue sur ]0, + 8 [.
- Montrer que ϕ est de classe C^8 sur ]0, + 8 [.
- Montrer que, nécessairement,
xąlim 0 ,xÑ 0 ϕ(x) =^ xÑlim+ 8 ϕ(x) = 0.^ (3)
- En déduire que ϕ se prolonge en une fonction de classe C^8 sur [0, + 8 [.
2 Études préliminaires
2.1 Prolongement de la fonction Γ d’ Euler
Pour x ą 0 , on définit
Γ : x ÞÝÑ
ż
]0,+ 8 [
tx´^1 e´t^ dt.
- Vérifier que cette définition a bien un sens et que, pour tout x ą 0 , on a Γ(x) ‰ 0.
- Montrer que Γ P C^0 (]0, + 8 [).
- Démontrer que Γ P C^1 (]0, + 8 [).
- Soit n P N. Calculer Γ(n + 1).
- Justifier le fait que z ÞÑ
ż
[1,+ 8 [
tz´^1 e´t^ dt est une fonction holomorphe sur C.
- Montrer que pour 0 ă 2 R ă n et |z| ď R, on a ˇˇ ˇˇ^ (´1)
n n!(z + n)
ˇˇ ď 1 n!R
- Montrer que z ÞÑ
+ÿ 8
n=
(´1)n n!(z + n) est une fonction méromorphe à pôles simples sur C z(´N).
- Soit z P C , tel que Re(z) ą 0. Montrer que ż (^1) 0
tz´^1 e´t^ dt =
+ÿ 8
n=
(´1)n n!(z + n).
- Montrer qu’il existe une fonction rΓ holomorphe dans C z(´N) qui coïncide avec Γ sur ]0, + 8 [.
Dans la suite, on persistera à noter Γ ce prolongement.
- Montrer que pour tout z P C z(´N), Γ(z + 1) = z Γ(z).
- Soient z P C , tel que Re(z) ą 0 , et s P [0, + 8 [. Montrer que Γ(z) (1 + s)z^ =
ż
]0,+ 8 [
e´(1+s)uuz´^1 du.
- Soient z P C , tel que Re(z) ą 0 , et x P ]0, Re(z)[. Montrer que ż
]0,+ 8 [
Γ(z) (1 + s)z^ sx´^1 ds = Γ(x) Γ(z ´ x).
- En déduire que Γ ne s’annule pas dans C z(´N).
- Soient x P ]0, + 8 [ et c P R. Montrer que ż R
a´(c+it)Γ(c + it)Q(c + it)x´(c+it)^ dt
existe et calculer sa valeur. Indication : On pourra utiliser, sans démonstration, la formule des partitions d’ Euler
pour tous z P C et 0 ď q ă 1 ,
+ź 8
n=
(1 + zqn) = 1 +
+ÿ 8
n=
ś^ qn(n´1)/ n j=1(1^ ´^ qj^ )^
zn.
3 Résultat d’existence et d’unicité
Soit ϕ solution du problème (1) - (2) , qui vérifie la condition (3).
- Montrer que ϕ admet un maximum en un point ¯x P ]0, + 8 [, et que ϕ(¯x) ą 0.
- En déduire qu’il ne peut pas exister de solution de (1)-(2)-(3) si b ă 1.
- Que se passe-t-il si b = 1?
- En considérant la fonction Z : x ÞÑ
ż (^) + 8
x
ϕ(y) dy,
montrer que, nécessairement, ϕ(x) ą 0 si x ą 0. (5)
On suppose désormais que b ą 1_._
- Montrer que, nécessairement, a ą 0 pour qu’il existe une solution ϕ.
On suppose désormais que a ą 0_._
- Montrer que, sous les conditions (2)-(3)-(5), le problème (1) admet au plus une solution.
On suppose qu’il existe ϕ , solution de (1) - (2) - (3) - (5) , telle que pour tout z P C vérifiant Re(z) P ]α˚, β˚[ , avec α˚ ă β˚^ ´ 1 , les fonctions x ÞÑ xz´^1 ϕ(x) et x ÞÑ xz´^1 ϕ^1 (x) sont dans L^1 (]0, + 8 [).
- Montrer que $ ’& ’%
@z P C tel que Re(z) P ]α˚, β˚[, ´(z ´ 1) ϕq(z ´ 1) + a ϕq(z) = a bz´^1 ϕq(z), ϕ q(1) = 1.
On va chercher une solution de (6) sous la forme F = G Fh où Fh est solution du problème homogène : ´ (z ´ 1)Fh(z ´ 1) + aFh(z) = 0. (7)
- Montrer que Fh est proportionnelle à Υ : z ÞÑ a´z^ Γ(z).
- Montrer que G est proportionnelle à
H : z ÞÝÑ
+ź 8
j=
bz+j
- En déduire que F donnée par
F : z ÞÝÑ a´z^ Γ(z)
+ź 8
j=
bz+j
est solution de (6).
- Conclure.
- Montrer que Tr(AB) ď max W
( (^) n ÿ i=
ÿ^ n j=
λiνj wi,j
où W désigne l’ensemble des matrices n ˆ n dont les coefficients wi,j vérifient
wi,j ě 0 ,
ÿ^ n k=
wk,j =
ÿ^ n k=
wi,k = 1 pour tous i, j P t 1 ,... , nu.
Indication : On diagonalisera A et B puis on calculera soigneusement la trace de AB_._
- On pose λ 0 = ν 0 = 0 et δi,j est le symbole de Kronecker. Montrer que ÿ^ n i=
λiνi ´
ÿ^ n i=
ÿ^ n j=
λiνj wi,j =
ÿ^ n k=
ÿ^ n l=
ÿ^ n i=k
ÿn j=l
(δi,j ´ wi,j )(λk ´ λk´ 1 )(νl ´ νl´ 1 ).
En déduire que max W
ÿ^ n i=
ÿ^ n j=
λiνj wi,j =
ÿ^ n i=
λiνi.
- En conclure que ÿn i=
(λi ´ νi)^2 ď Tr
(A ´ B)^2
1.3 Etude de suites d’entiers
Pour tout entier n ě 0 , on définit le n -ième nombre de Catalan comme
Cn def =
n + 1
2 n n
Soit q P N_. On dit qu’une suite d’entiers_ (Sp)pPt 0 ,...,qu est une marche de Bernoulli si S 0 = 0 et |Sp+1 ´Sp| = 1 pour tout p P t 0 , ..., q´ 1 u_. Ainsi,_ (0, 1 , 2 , 1 , 0 , ´ 1 , 0 , 1) est une marche de Bernoulli_. Un_ chemin de Dyck de taille 2 q est une marche de Bernoulli à valeurs positives ou nulles se terminant par 0_._
- Calculer le nombre de marches de Bernoulli de longueur 2 q qui se terminent par 0.
- La marche (0, 1 , 0 , ´ 1 , 0) est-elle un chemin de Dyck?
On note βq le nombre de chemins de Dyck de longueur 2 q_. On pose_ β 0 = 1_._
- Calculer β 1 et β 2.
- Montrer que le nombre de chemins qui ne sont pas de Dyck de longueur 2 q qui partent et arrivent en 0 est égal au nombre de marches de Bernoulli de longueur 2 q qui se terminent par 2.
- En déduire que, pour tout q ě 0 , on a βq = Cq.
- Montrer que, pour tout q ě 1 , on a βq ă 4 q.
- Montrer que, pour tout x P ] ´ 1/4, 1/4[,
B(x) def =
+ÿ 8
q=
βqxq^ =
1 ´ 4 x 2 x.
1.4 Mots
Soit E l’ensemble t 1 ,... , nu , pour un entier n ě 1 , vu comme un alphabet. Une lettre est simplement un élément de E_. On appelle_ mot toute suite finie s 1... sq de lettres pour un entier q ě 1_. Un mot est dit_ fermé si sa première et sa dernière lettres sont les mêmes. On note M l’ensemble des mots sur E_. Deux mots_ m 1 , m 2 sont dits équivalents , ce qui est noté m 1 „ m 2 , s’il existe une bijection de E dans E qui envoie l’un sur l’autre. Par exemple, les mots 12321 et 42524 sont équivalents alors que 11456 et 12321 ne le sont pas. Pour tout mot m = s 1... sq , on définit — sa longueur `(m) def = q , — son support supp(m) comme le sous-ensemble constitué des éléments distincts de ts 1 ,... , squ , — et enfin son poids p(m) comme le cardinal de supp(m).
- Montrer que „ définit bien une relation d’équivalence sur M.
- Montrer que deux mots équivalents ont le même poids.
À un mot m P M , m = s 1... sq , on associe le graphe Gm de sommets Sm def = supp(m) et d’arêtes non orientées Am_. On appelle_ Abm = t(s, s); s P Smu X Am l’ensemble des boucles et Acm = AmzAbm l’ensemble des arêtes non orientées de connexion, c’est-à-dire des arêtes reliant deux lettres distinctes. Pour a P Am , on note N (^) ma le nombre de fois qu’une arête, quelle que soit sa direction, est présente dans le graphe_. On pourra consulter la figure 1 pour voir un exemple._
- Dessiner le graphe du mot 12134211521 sur l’alphabet E = t 1 , 2 , 3 , 4 , 5 u.
- Que dire des graphes de deux mots équivalents m et m^1? Des ensembles tN (^) ma; a P Amu et tN (^) ma 1 ; a P Am 1 u?
- Soit m un mot fermé de longueur q + 1 tel que, pour tout a P Am, N (^) ma = 2. Montrer que p(m) ď q/2 + 1.
Soit Mq,p un ensemble de représentants des classes d’équivalence des mots m de longueur q + 1 et de poids p tels que N (^) ma ě 2 pour tout a P Am_._
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2_. Soit une famille de variables aléatoires_ (Zi,j )i,jPt 1 ,...,nu réelles, indépendantes et identiquement distribuées, d’espérances nulles, et telles que E
Z 12 , 1
= 1 et pour tout entier k ě 1 ,
rk def = E
|Z 1 , 1 |k
est une valeur finie. (8)
On va s’intéresser à la matrice aléatoire symétrique
Mn(i, j) = Mn(j, i) = Zi,j /
n
On note λn, 1 ď... ď λn,i ď... ď λn,n les valeurs propres ordonnées de Mn_. Ce sont des variables aléatoires également. On définit la distribution empirique aléatoire des valeurs propres comme étant la mesure de probabilité_
Ln =
n
ÿ^ n i=
δλn,i.
Soit f une fonction continue bornée sur R. On note
xLn, f y def =^1 n
ÿ^ n i=
f (λn,i)
et xσ, f y def =
ż
R
f (x)σ(x) dx,
avec σ la densité σ : x ÞÑ 1 2 π
a 4 ´ x^2 (^1) |x|ď 2
où (^1) A désigne la fonction indicatrice de la partie A_. Le théorème à démontrer est le suivant._
Théorème. Pour toute fonction f continue bornée sur R , et pour tout ε ą 0 ,
nÑ^ lim+ 8 P^ (|xLn, f^ y ´ xσ, f^ y| ą^ ε) = 0. On va utiliser le théorème de Weierstrass_. À cette fin, on va étudier les moments de_ Ln , c’est-à-dire @k P N ˚, γn,k def = xLn, P ky,
où P k^ : x ÞÑ xk^ est la fonction monomiale de degré k_._
Soient n P N ˚^ et k P N ˚.
- Soient ε, B ą 0. Montrer que
ε P
xLn, |P k| (^1) |P 1 |ąB y ą ε
ď E
xLn, |P k| (^1) |P 1 |ąB y
puis que Bk^ E
xLn, |P k| (^1) |P 1 |ąB y
ď E
xLn, P 2 ky
L’idée est donc de faire intervenir Λn , l’espérance de Ln , définie par la relation suivante :
pour toute fonction f continue bornée sur R , xΛn, f y def = E (xLn, f y) =^1 n
ÿ^ n i=
E (f (λn,i)) ,
et ses moments ξn,k def = xΛn, P ky où k P N ˚. On va les comparer à ceux de σ , définis par ξk def = xσ, P ky pour tout k P N ˚.
- Montrer que, pour tout k P N, ξ 2 k = Ck et ξ 2 k+1 = 0.
- Montrer que xLn, P ky =^1 n
ÿ 1 ďq 1 ,...,qk ďn
π(q 1 ,...,qk )
où π(q 1 ,...,qk )^ def = Mn(q 1 , q 2 )Mn(q 2 , q 3 )... Mn(qk´ 1 , qk)Mn(qk, q 1 ).
Pour tout q = (q 1 ,... , qk) k -uplet de t 1 ,... , nuk , on définit mq def = q 1... qkq 1 le mot fermé de taille k + 1 associé. On note pq def = p(mq) le poids de mq_._
- Montrer que
E (πq) =
nk/
ź aPAcmq
E
Z
N amq 1 , 2
) (^) ź
a^1 PAbmq
E
Z
N (^) ma^1 q 1 , 1
- En déduire que E (πq) = 0 s’il existe une arête parcourue une et une seule fois dans le graphe Gmq. On s’intéresse donc à tout k-uplet q de t 1 ,... , nuk^ tel que, pour tout a P Amq , N (^) maq ě 2.
- Montrer que pq ď 1 + k/2.
- Montrer que si q et q^1 éléments de t 1 ,... , nuk^ sont tels que mq „ mq 1 alors E (πq) = E
πq 1
- Justifier l’égalité suivante
xΛn, P ky =
1+ÿtk/2u
p=
n1+k/
n! (n ´ p)!
ÿ mPMk,p
ź aPAcm
E
ZN^
ma 1 , 2
) (^) ź
a^1 PAbm
E
ZN^
ma^1 1 , 1
