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[ Baccalauréat C Aix-en-Provence septembre 1976 \
EXERCICE 1
1. Soit la fonction numérique f définie par
f ( x ) = x − 2 p x^2 − 1 Etudier les variations de la fonction et construire sa représentation graphique ( C ) dans un repère orthonormé.
2. Soit la fonction numérique F définie par
F ( x ) = Log
x +
x^2 − 1
Calculer F ′( x ) et en déduire l’aire du domaine limité par l’axe des abscisses, ( C ) et les droites d’équations x = 2 et x = α (avec α > 2).
EXERCICE 2
Résoudre dans le corps des complexes, l’équation :
z^2 − (3i − 1) z − 4 = 0.
On désigne par Z ′^ et Z ′′^ les racines de cette équation. On pose Z ′^ = x ′^ + i y ′^ avec x ′^ > 0 et Z ′′^ = x ′′^ + i y ′′^ avec x ′′^ < 0.
Dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé
O,
u ,
v
de sens
positif, on désigne par M ′^ et M ′′^ les imagés respectives des nombres Z ′^ et Z ′′. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe S de centre O telle que S ( M ′^ ) = M ′′.
PROBLÈME
Soit E un plan vectoriel euclidien réel dont
ı ,
est une base orthonormée.
On désigne par( E un plan affine associé à E et rapporté à un repère orthonormé
O,
ı ,
Soit f l’application affine de E vers E telle que :
- f (A) = A 1 avec A(1 ; −2) et A 1 (2 ; 4)
- L’application linéaire ϕ associée à f a pour matrice dans la base
ı ,
^ −^
Soit M ( x ; y ) un point quelconque de E , M 1
x 1 ; y 1
son image par f ; et M 2
x 2 ; y 2
l’image de M 1 par f.
1. Établir les relations
x 1 = −
x −
y + 2
y 1 = 3 x −
y
2. a. Montrer que f est bijective.
Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.
b. Soit D une droite quelconque de E ; f ( D ) la droite transformée de D par f. ( D ) et f ( D ) peuvent·elles être parallèles? c. En déduire que pour tout point M ∈ E tel que f ( M ) 6 = M , les points M , M 1 , M 2 ne sont pas alignés. d. Déterminer par son équation l’ensemble ( C ) des points M ( x ; y ) ∈ E tels que K(1 ; 0), M , M 1 sont alignés. Donner la nature de la courbe ( C ) et la construire.
3. Calculer les coordonnées x ′^ et y ′^ du barycentre G des points M , M 1 , M 2 affec- tés d’un même coefficient non nul ( G est l’isobarycentre des points M , M 1 , M 2 ). Vérifier que G est indépendant de M et montrer que G est le seul point inva- riant par f. En déduire que f^3 = f ◦ f ◦ f est l’application identique de E ; c’est-à-dire : f^3 = IE.
Partie B
Soit L (E) l’espace vectoriel sur R des applications linéaires de E vers E. On pose :
J =
ϕ ∈ L (E)/ ϕ^3 = ϕ ◦ ϕ ◦ ϕ = IE
IE désignant l’application identique de E. On posera de même ϕ^2 = ϕ ◦ ϕ.
1. a. Montrer que IE ∈ J. b. Soit ϕ ∈ L (E) telle que ϕ^2 = − ϕ − IE. Montrer que ϕ ∈ J. La réciproque est-elle vraie? c. Montrer que toute application de J est bijective. 2. On considère une application ϕ telle que ϕ^2 = − ϕ − IE. a. Montrer que ( ϕ ; IE ) est une partie libre de L (E). b. On pose θ = α. ϕ + β IE : ( a ; b ) ∈ R^2. Montrer que θ^2 = θ ◦ θ est une combinaison linéaire de ϕ et IE. Calculer θ^3 = θ ◦ θ ◦ θ. En déduire que θ appartient à J si et seulement si
θ = IE ou θ = ϕ ou θ = ϕ^2.
3. Soit ϕ un élément de J tel qu’il existe un vecteur non nul
V ∈ E tel que ϕ
V
V. Soit
V′^ non colinéaire à
V ,
V′^ ∈ E.
a. Justifier que la matrice de ϕ dans la base
V ,
V′^
est de la forme
1 a 0 b
b. Calculer la matrice de ϕ^3 dans cette base, en déduire que ϕ = IE.
4. Application : Soit f une application affine quelconque avec f 6 = IE et vérifiant f^3 = IE. Soit ϕ l’application linéaire associée à f. a. Montrer que ϕ ∈ J et ϕ 6 = IE. b. Montrer que Ω (isobarycentre de M , f ( M ), f^2 ( M ) est un point invariant par f , c. Montrer que Ω est le seul point invariant par f.
Aix-en-Provence 2 septembre 1976
