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Cours Transferts thermiques 2ème année Ecole des Mines Nancy ... CONDUCTION UNIDIRECTIONNELLE EN REGIME VARIABLE SANS CHANGEMENT D'ETAT .
Typologie: Exercices
1 / 163
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ème
ϕr ϕr+dr T∞
ϕc
r + dr
r
r 0
re
T 0
dx y δ
x
y
Tp Tg
log 10 (λ) γ^ -11^ -10^ -9^ -8^ -7^ -6^ -5^ -4^ -3^ -2^ -1^0 1 2 3 4 X
Visible
IR
Micro-onde Onde radio Téléphone
Thermique
UV
log 10 (λ) γ^ -11^ -10^ -9^ -8^ -7^ -6^ -5^ -4^ -3^ -2^ -1^0 1 2 3 4 X
Visible
IR
Micro-onde Onde radio Téléphone
Thermique
UV
Transferts et échangeurs de chaleur
2 Cours Transferts thermiques 2ème^ année Ecole des Mines Nancy
- Yves Jannot Transferts et échangeurs de chaleur
6 Cours Transferts thermiques 2ème^ année Ecole des Mines Nancy
a Diffusivité thermique Bi Nombre de Biot c Chaleur spécifique D Diamètre e Epaisseur E Effusivité thermique f Facteur de forme de rayonnement F Coefficient de forme de conduction Fo Nombre de Fourier g Accélération de la pesanteur Gr Nombre de Grashof h Coefficient de transfert de chaleur par convection ∆H Chaleur latente de changement de phase I Intensité énergétique J Radiosité L Longueur, Luminance m Débit massique M Emittance Nu Nombre de Nusselt NUT Nombre d’unités de transfert p Variable de Laplace pe Périmètre Q Quantité de chaleur qc Débit calorifique r, R Rayon, Résistance Rc Résistance de contact Re Nombre de Reynolds S Surface t Temps T Température u Vitesse V Volume x, y, z Variables d’espace
Lettres grecques
α Coefficient d’absorption du rayonnement β Coefficient de dilatation cubique ε Emissivité φ Densité de flux de chaleur Φ Transformée de Laplace du flux de chaleur ϕ Flux de chaleur λ Conductivité thermique, longueur d’onde μ Viscosité dynamique ν Viscosité cinématique η Rendement ou efficacité Ω Angle solide ρ Masse volumique, coefficient de réflexion du rayonnement σ Constante de Stefan-Boltzmann τ Coefficient de transmission du rayonnement θ Transformée de Laplace de la température
Transferts thermiques
8 Cours Transferts thermiques 2ème^ année Ecole des Mines Nancy
ϕe +ϕg=ϕs+ϕ st
λ Sgrad ( T)
ϕ
x
λ S ∂
ϕ=−
Il faut tout d’abord définir un système (S) par ses limites dans l’espace et il faut ensuite établir l’inventaire des différents flux de chaleur qui influent sur l’état du système et qui peuvent être :
Figure 1.2 : Système et bilan énergétique
On applique alors le 1er^ principe de la thermodynamique pour établir le bilan d’énergie du système (S) :
Il faut ensuite établir les expressions des différents flux d’énergie. En reportant ces expressions dans le bilan d’énergie, on obtient l’équation différentielle dont la résolution permet de connaître l’évolution de la température en chaque point du système.
1.3.2.1 Conduction
C’est le transfert de chaleur au sein d’un milieu opaque, sans déplacement de matière, sous l’influence d’une différence de température. La propagation de la chaleur par conduction à l’intérieur d’un corps s’effectue selon deux mécanismes distincts : une transmission par les vibrations des atomes ou molécules et une transmission par les électrons libres.
La théorie de la conduction repose sur l’hypothèse de Fourier : la densité de flux est proportionnelle au gradient de température :
Ou sous forme algébrique : (1.6)
Avec : ϕ Flux de chaleur transmis par conduction (W) λ Conductivité thermique du milieu (W m-1^ °C-1) x Variable d’espace dans la direction du flux (m) S Aire de la section de passage du flux de chaleur (m^2 )
ϕst flux de chaleur stocké ϕg flux de chaleur généré ϕe flux de chaleur entrant ϕs flux de chaleur sortant
dans le système (S)
ϕst ϕg
ϕe ϕs
Généralités sur les transferts de chaleur
Yves Jannot (^) 9
ϕ =h S (T (^) p−T∞)
Figure 1.3 : Schéma du transfert de chaleur conductif
On trouvera dans le tableau 1.1 les valeurs de la conductivité thermique λ de certains matériaux parmi les plus courants. Un tableau plus complet est donné en annexe A.1.1.
Tableau 1.1 : Conductivité thermique de certains matériaux
Matériau (^) λ (W.m-1. °C-1) Matériau (^) λ (W.m-1. °C-1)
Argent 419 Plâtre 0, Cuivre 386 Amiante 0, Aluminium 204 Bois (feuillu-résineux) 0,12-0, Acier doux 45 Liège 0,044-0, Acier inox 15 Laine de roche 0,038-0, Glace 1,88 Laine de verre 0,035-0, Béton 1,4 Polystyrène expansé 0,036-0, Brique terre cuite 1,1 Polyuréthane (mousse) 0,030-0, Verre 1,0 Polystyrène extrudé 0, Eau 0,60 Air 0,
1.3.2.2 Convection
C’est le transfert de chaleur entre un solide et un fluide, l’énergie étant transmise par déplacement du fluide. Ce mécanisme de transfert est régi par la loi de Newton :
Figure 1.4 : Schéma du transfert de chaleur convectif
Avec : ϕ Flux de chaleur transmis par convection (W) h Coefficient de transfert de chaleur par convection (W m-2^ °C-1) Tp Température de surface du solide (°C) T∞ Température du fluide loin de la surface du solide (°C) S Aire de la surface de contact solide/fluide (m^2 )
Remarque : La valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h est fonction de la nature du fluide, de sa température, de sa vitesse et des caractéristiques géométriques de la surface de contact solide/fluide.
1.3.2.3 Rayonnement
C’est un transfert d’énergie électromagnétique entre deux surfaces (même dans le vide). Dans les problèmes de conduction, on prend en compte le rayonnement entre un solide et le milieu environnant et dans ce cas nous avons la relation :
x
ϕ
Fluide à T∞
Tp
Transfert de chaleur par conduction en régime permanent
Yves Jannot (^) 11
t
q c z
λ y z
λ x y
λ x x^ y z ∂
Dans sa forme monodimensionnelle, elle décrit le transfert de chaleur unidirectionnel au travers d’un mur plan :
Figure 2.1 : Bilan thermique sur un système élémentaire
Considérons un système d’épaisseur dx dans la direction x et de section d’aire S normalement à la direction Ox. Le bilan d’énergie sur ce système s’écrit : ϕ (^) x +ϕg =ϕx+dx+ ϕ st
Avec : x
x (^) x
λ S
ϕ =− et x dx
x dx x
λS
ϕ =−
g qS^ dx
ϕ =
t
st cSdx ∂
ϕ = ρ
En reportant dans le bilan d’énergie et en divisant par dx, nous obtenons :
t
qS c S dx
x
λS x
λS xdx x ∂
+^ • ρ
Soit : t
qS cS x
λS x ∂
ρ
Et dans le cas tridimensionnel, nous obtenons l’équation de la chaleur dans le cas le plus général :
Cette équation peut se simplifier dans un certain nombre de cas : a) Si le milieu est isotrope : λx = λy = λz = λ b) S’il n’y a pas de génération d’énergie à l’intérieur du système : q = 0
c) Si le milieu est homogène, λ n’est fonction que de T.
Les hypothèses a) + b) +c) permettent d’écrire :
t
ρc z
y
dT
dλ z
y
x
λ
2 2 2 2
2 2
2 2
2
∂
x
x e
ϕg
ϕst
ϕx ϕx+dx L»e
0 x + dx
Transferts thermiques
12 Cours Transferts thermiques 2ème^ année Ecole des Mines Nancy
t
a 2 T T ∂
t
a
λ
q z
θ
r
r
r
r
2
2 2
2 2 2
2 ∂
t
a
λ
T^ q r sin θ
θ
sinθ^ T r sinθ^ θ
r
rT r
2
2 2 2 2 2
2 ∂
∂ϕ
d) Si de plus λ est constant (écart modéré de température), nous obtenons l’équation de Poisson :
Le rapport ρc
a = λ est appelé la diffusivité thermique (m^2 .s-1) qui caractérise la vitesse de propagation
d’un flux de chaleur à travers un matériau. On en trouvera des valeurs en annexe A.1.1.
e) En régime permanent, nous obtenons l’équation de Laplace :
(2.3)
Par ailleurs, les hypothèses a), c) et d) permettent d’écrire :
Dans le cas d’un problème à symétrie cylindrique où la température ne dépend que de r et de t, l’équation
(2.4) peut s’écrire sous forme simplifiée : t
a
λ
q r
r r r
On se placera dans le cas où le transfert de chaleur est unidirectionnel et où il n’y a pas de génération ni de stockage d’énergie. On considère un mur d’épaisseur e, de conductivité thermique λ et de grandes dimensions transversales dont les faces extrêmes sont à des températures T 1 et T 2 :
Figure 2.2 : Bilan thermique élémentaire sur un mur simple
En effectuant un bilan thermique sur le système (S) constitué par la tranche de mur comprise entre les abscisses x et x + dx, il vient :
0 x^ e
λ
Section transversale S
x +
Transferts thermiques
14 Cours Transferts thermiques 2ème^ année Ecole des Mines Nancy
h S
λ S
R^ e λ S
R^ e λ S
e hS
C 2
C BC B
B AB A
A 1
f1 f
Figure 2.4 : Schématisation des flux et des températures dans un mur multicouches
On a considéré que les contacts entre les couches de différentes natures étaient parfaits et qu’il n’existait pas de discontinuité de température aux interfaces. En réalité, compte-tenu de la rugosité des surfaces, une micro- couche d’air existe entre les creux des surfaces en regard qui contribue à la création d’une résistance thermique (l’air est un isolant) appelée résistance thermique de contact. La formule précédente s’écrit alors :
Le schéma électrique équivalent est représenté sur la figure 2.5.
Figure 2.5 : Schéma électrique équivalent d’ un mur multicouches
Remarques :
C’est le cas le plus couramment rencontré dans la réalité où les parois ne sont pas homogènes. Considérons à titre d’exemple un mur de largeur L constitué d’agglomérés creux (figure 2.6).
En supposant le transfert unidirectionnel et en tenant compte des axes de symétrie, on peut se ramener au calcul du flux à travers l’élément isolé sur la droite de la figure et calculer la résistance thermique R équivalente d’une portion de mur de largeur L et de hauteur ℓ= ℓ 1 + ℓ 2 + ℓ 3 en utilisant les lois d’association des résistances en série et en parallèle par la relation :
6 7
3 4 5
Tf1 Tf
h S
1 1 h S
1 2
RAB RBC S
e
A
A λ S
e
B
B λ (^) λ S
e
C
C
ϕ
Tf
Fluide 1
Fluide 2
eA eB eC
convection coefficient h 1
convection coefficient h 2
λA λB λC
ϕ
Tf
Transfert de chaleur par conduction en régime permanent
Yves Jannot (^) 15
Figure 2.6 : Schématisation d’un mur composite
Avec :
h L
λ L
e ;R λ L
e ; R λ L
e ;R λ L
e ;R λ L
e ;R h L
2
7 1
3 6 2 3
2 5 1 2
2 4 2 1
2 3 1
1 2 1
1 l l l l l l l
ce qui peut être schématisé par le schéma électrique équivalent représenté sur la figure 2.7.
Figure 2.7 : Schéma électrique équivalent du mur composite
On considère un cylindre creux de conductivité thermique λ, de rayon intérieur r 1 , de rayon extérieur r 2 , de longueur L, les températures des faces internes et externes étant respectivement T 1 et T 2 (cf. figure 2.8). On suppose que le gradient longitudinal de température est négligeable devant le gradient radial.
Figure 2.8 : Schéma des transferts dans un cylindre creux
Effectuons le bilan thermique du système constitué par la partie de cylindre comprise entre les rayons r et r + dr : ϕr =ϕr+ dr
ϕr + dr
ϕ r r
r+dr
e 1 e 2 e 3
Milieu 1
Convection h 1
Convection h 2
Mur en aggloméré creux
Milieu 2
Transfert de chaleur par conduction en régime permanent
Yves Jannot (^) 17
h 2 πr L
2 πλ L
r
r ln
2 πλ L
r
r ln
h 2 πrL
B 2 3
2
3
A
1
2
1 1
f1 f
C’est le cas pratique d’un tube recouvert d’une ou plusieurs couches de matériaux différents et où l’on ne connaît que les températures Tf1 et Tf2 des fluides en contact avec les faces interne et externe du cylindre ; h 1 et h 2 sont les coefficients de transfert de chaleur par convection entre les fluides et les faces internes et externes (cf. figure 2.10) En régime permanent, le flux de chaleur ϕ se conserve lors de la traversée des différentes couches et s’écrit :
( )
( ) ( ) 2 3 (^3 f2)
2
3
B 2 3
1
2
A 1 2 1 1 f1 1 h^2 πrLT T
r
r ln
2 πλ LT T
r
r ln
2 πλ LT T h 2 πrLT T = −
ϕ= − =
D’où : (2.12)
ce qui peut être représenté par le schéma électrique équivalent de la figure 2.11.
Figure 2.11 : Schéma électrique équivalent d’un cylindre creux multicouches
Dans les exemples traités précédemment, le transfert de chaleur entre une surface à température T et le milieu environnant a été considéré comme purement convectif. Dans le cas où le fluide en contact avec la surface est un gaz et où la convection est naturelle, le transfert de chaleur par rayonnement avec les parois (à la température moyenne Tr ) entourant la surface peut devenir du même ordre de grandeur que le transfert de chaleur par convection avec le gaz (à la température Tf ) au contact de la surface et ne peut plus être négligé. Il s’écrit d’après la relation (1.9) :
ϕr =σεS (T 4 −Tr^4 )
hr étant appelé le coefficient de transfert radiatif : h (^) r =σε(T 2 +Tr^2 )( T+Tr)
Les deux transferts, convectif et radiatif, s’effectuent en parallèle et le schéma électrique correspondant est représenté sur la figure 2.12.
Figure 2.12 : Schéma électrique équivalent avec transferts convectif et radiatif simultanés
ϕ
T^ Tf f
h 2 πr L
1 1 2 πλ L
r
r ln
A
1
2
2 πλ L
r
r ln
B
2
3
h 2 πr L
2 2
Tr
h S
c
h S
r
Tf
18 Cours Transferts thermiques 2
Le coefficient de transfert radiatif h pour un premier calcul simplifié être considéré comme constant. Par exemple avec Tr = 20°C, la valeur exacte est hr = 6,28 W.K Tmoyen = 40°C est hr =5,96 W.K-1.m- soit une variation de seulement 5 %.
Dans le cas où la diffusion de la chaleur ne s’effectue pas selon une direction unique, deux méthodes de résolution peuvent être appliquées :
Dans les systèmes bidimensionnels ou tridimensionnels où n’interviennent que deux températures limites T et T 2 , on montre que le flux de chaleur peut se mettre sous la forme
Avec : λ Conductivité thermique du milieu séparant les surfaces S T 1 Température de la surface S T 2 Température de la surface S F Coefficient de forme
Le coefficient de forme F ne dépend que de la forme, des dimensions et de la position relative des deux surfaces S 1 et S 2. Les valeurs de F pour les configurations les plus courantes sont présentées en annexe A.2.1.
Cas particulier : Enceinte tridimensionnelle ( four, chambre
Méthode : on découpe l’enceinte en différents éléments et on calcule le flux traversant chacun d’eux représentation de la figure 2.13.
Figure 2.13 : Méthode de découpe d’une enceinte tridimensionnelle
Si les dimensions longitudinales sont grandes devant l’épaisseur e des parois (supposée constante), les coefficients de forme des différents éléments ont pour valeur Fparoi i = Si/Li Fbord i = 0,54 Di Fcoin i = 0,15 Li
Avec : Si : Aire de la paroi i Di : Longueur de la paroi ou du bord i Li : Epaisseur des parois
Transferts thermiques
Cours Transferts thermiques 2ème^ année Ecole des Mines Nancy
Le coefficient de transfert radiatif hr varie peu pour des variations limitées des températures T et T pour un premier calcul simplifié être considéré comme constant. Par exemple avec = 6,28 W.K-1.m-2. La valeur approchée calculée pour la température moyenne
Dans le cas où la diffusion de la chaleur ne s’effectue pas selon une direction unique, deux méthodes de
Dans les systèmes bidimensionnels ou tridimensionnels où n’interviennent que deux températures limites T , on montre que le flux de chaleur peut se mettre sous la forme :
Conductivité thermique du milieu séparant les surfaces S 1 et S 2 (W m Température de la surface S 1 (°C) Température de la surface S 2 (°C) Coefficient de forme (m)
F ne dépend que de la forme, des dimensions et de la position relative des deux
. Les valeurs de F pour les configurations les plus courantes sont présentées en annexe A.2.1.
: Enceinte tridimensionnelle ( four, chambre froide, pièce climatisée,...)
: on découpe l’enceinte en différents éléments et on calcule le flux traversant chacun d’eux
: Méthode de découpe d’une enceinte tridimensionnelle
Si les dimensions longitudinales sont grandes devant l’épaisseur e des parois (supposée constante), les coefficients de forme des différents éléments ont pour valeur :
Aire de la paroi i Longueur de la paroi ou du bord i Epaisseur des parois
Paroi
Bord
Coin
varie peu pour des variations limitées des températures T et Tr et peut pour un premier calcul simplifié être considéré comme constant. Par exemple avec ε = 0,9, T = 60°C et
. La valeur approchée calculée pour la température moyenne devient égale à 5,98 W.K-1.m-2,
Dans le cas où la diffusion de la chaleur ne s’effectue pas selon une direction unique, deux méthodes de
Dans les systèmes bidimensionnels ou tridimensionnels où n’interviennent que deux températures limites T 1
(W m-1^ °C-1) (°C) (°C) (m)
F ne dépend que de la forme, des dimensions et de la position relative des deux
. Les valeurs de F pour les configurations les plus courantes sont présentées en annexe A.2.1.
: on découpe l’enceinte en différents éléments et on calcule le flux traversant chacun d’eux selon la
: Méthode de découpe d’une enceinte tridimensionnelle
Si les dimensions longitudinales sont grandes devant l’épaisseur e des parois (supposée constante), les