I numeri complessi (algebra lineare), Slide di Algebra Lineare e Geometria Analitica

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Numeri Complessi

Monica Conti Politecnico di Milano

A.A. 2022-

Numeri complessi: cosa sono?

Definizione Un numero complesso `e una espressione di tipo

z = a + ib, a, b ∈ R

dove il simbolo i, chiamato unit`a immaginaria, soddisfa

i^2 = − 1 ⇐⇒ i^2 + 1 = 0.

a si chiama parte reale di z, mentre b si chiama parte immaginaria di z: a = Re(z), b = Im(z).

L’insieme dei numeri complessi si indica con il simbolo

C

Somma e prodotto di numeri complessi

La somma + tra due numeri complessi `e un numero complesso definito da

(a + ib) + (a′^ + ib′) := (a + a′)+i(b + b′)

e il prodotto · `e

(a + ib) · (a′^ + ib′) := (aa′^ − bb′) + i(ab′^ + a′b)

Nota che

ristretto ai reali il prodotto si riduce al prodotto in R scegliendo a = a′^ = 0 and b = b′^ = 1 si ritova i · i = −1 + i0 = − 1 Remark. La legge del prodotto si ottiene come ”prodotto di binomi”

(a + ib)(a′^ + ib′) = aa′^ + ia′b + iab′^ + i^2 bb′

sfruttando l’uguaglianza i^2 = −1.

Propriet`a di C

l’insieme C con somma e prodotto e un campo il campo Ce un’estensione di R a differenza di R, il campo C dei complessi NON e ordinato: non si puo introdurre una relazione d’ordine totale compatibile col prodotto i > 0 NON HA SENSO

Quoziente

Osservando che z · z = |z|^2 il quoziente di due numeri complessi `e

z w

z · w w · w

zw |w |^2

? z = − 1+31+ii `e

z =

−1 + i 1 + 3i

1 − 3 i 1 − 3 i

(−1 + i)(1 − 3 i) 1 + 9

2 + 4i 10

quindi Re(z) = 15 e Im(z) = 25.

Forma trigonometrica di un numero complesso

Possiamo rappresentare il piano in coordinate polari (r , θ) con r ≥ 0, dove

a = r cos θ, b = r sin θ

Il numero complesso z si pu`o quindi scrivere come

z = r (cos θ + i sin θ) dove

r =

√ a^2 + b^2 = |z|, e tan θ = b a . L’angolo θ si chiama argomento di z, indicato con θ = arg (z).

Prodotto in polari

La forma polare permette di calcolare prodotto e quoziente di numeri complessi in forma molto semplice:

z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ).

Usando le formule di prostaferesi si ha

z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos θ 1 + i sin θ 1 )(cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 1 r 2 [(cos θ 1 cos θ 2 − sin θ 1 sin θ 2 ) + i(sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2 )] = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )]

Prodotto in polari

z 1 · z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )]

Per moltiplicare due numeri complessi basta moltiplicare i loro mod- uli e sommare gli argomenti

Il prodotto di z con un fissato numero complesso a = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )

C → C z 7 → az

corrisponde a una rotazione antioraria del piano di Gauss intorno all’origine pari a θ 2 , combinata con una dilatazione/contrazione di fattore r 2

Potenze

Usando pi`u volte la formula del prodotto possiamo calcolare le potenze di un numero complesso:: per elebare a potenze n-ma un numero complesso prendiamo la potenza n-ma del modulo e moltiplichiamo l’argomento per n Formula di De Moivre Dato z = r (cos θ + i sin θ) e n ∈ N

zn^ = r n[cos(nθ) + i sin(nθ)]

? Esercizio. Trovare

2 +^ i^

1 2

Radice n-ma di un numero complesso

Definizione Si chiama radice n-ma di z z, e si indica con n

z, un qualunque numero complesso w tale che

w n^ = z.

Come si calcola w?

Radici di un numero complesso

Radici di un numero complesso Dato z = r (cos θ + i sin θ) e n ∈ N, allora z ha esattamente n radici n-me distinte, date da

wk = n

r

[

cos

θ n

2 kπ n

• i sin

θ n

2 kπ n

)]

for k = 0, 1 ,... , n − 1.

In altre parole, z = r (cos θ + i sin θ)

ha n radici n-me distinte, date da wk con k = 0, 1 ,... , n − 1, dove

|wk | = n

r , Arg (wk ) = θ n

2 kπ n

Geometricamente: Le n radici n-me di z sono punti di una circonferenza di raggio n

√ |z| centrata nell’origine. Inoltre, questi punti sono vertici di un poligono regolare di n lati

Figura: Radici n-me di z = 1

Radici di un polinomio di secondo grado

Come si risolve az^2 + bz + c = 0 con a, b, c ∈ C, with a 6 = 0??? Moltiplichiamo per 4a

4 a(az^2 + bz + c) = 4a^2 z^2 + 4abz + b^2 − b^2 + 4ac = (2az + b)^2 − (b^2 − 4 ac)

Poniamo ∆ = b^2 − 4 ac and w = 2az + b e troviamo az^2 + bz + c = 0 ⇐⇒ w 2 = ∆

az^2 + bz + c = 0 ⇐⇒ w 2 = ∆

Vediamo che z `e radice del polinomio se e solo se

w = 2az + b

`e radice quadrata complessa di ∆. Chiamiamo w 1 e w 2 le radici quadrate di ∆ e troviamo le corrispondenti soluzioni del polinomio:

z 1 =

−b + w 1 2 a and z 2 =

−b + w 2 2 a

In altre parole, usiamo la solita formula elementare

z = −b + 2

2 a

dove ora 2

∆ indica le due radici quadrate complesse del numero complesso ∆.