i numeri complessi algebra, Schemi e mappe concettuali di Algebra Lineare e Geometria Analitica

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Corso di Algebra Lineare e Geometria

Numeri Complessi

Dott.ssa L. Marino

Universit`a di Catania

http://www.dmi.unict.it/lmarino

Numeri Complessi

I numeri complessi nascono dall’esigenza, puramente teorica, di trovare un ambiente in cui l’equazione

x^2 = − 1

che non ha soluzioni in R, abbia adesso soluzioni. Ci´o porta ad ampliare l’insieme dei numeri reali R.

R ⊂ C

R ⊂ C

I numeri reali sono particolari numeri complessi aventi parte immaginaria nulla (b = 0). In particolare un numero complesso ´e zero, a + ib = 0, se e solo se

a = 0, b = 0

Dicesi coniugato z di un numero complesso z = (a + ib) il numero

z = (a − ib)

ottenuto cambiando segno al coefficiente di i.

La somma e il prodotto di un numero con il suo coniugato sono sempre numeri reali: z + z = a + ib + a − ib = 2a z · z = (a + ib)(a − ib) = a^2 − i^2 b^2 = a^2 + b^2

Un numero complesso ´e reale se e solo se coincide con il suo coniugato z = z.

Rappresentazione mediante vettori

Vettore (^) −→ OP

di componenti (a, b) Il modulo del vettore

OP si chiama modulo di z e si indica con |z|.

|z| =

a^2 + b^2

ed ´e la somma dei quadrati delle sue componenti Se z ´e un numero reale (b = 0) allora il suo modulo coincide con il suo valore assoluto.

Propiet´a sui moduli: 1)|z| ≥ 0; 2)|z| = 0 se e solo se z = 0 3)|z + z′| ≤ |z| + |z′| 4)|z ∗ z′| = |z| ∗ |z′|