Scarica analisi 1 numeri complessi e più Appunti in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity!
EEMERICOMPESIMI
Osservazione
Prendiamo (^) un CAMPO^ ORDINATO^ IF (^) Fit ne IF se 220 a a^0 x^2 o Se seco 2 a^ 0.2^230
Se m o a 0
Dunque qualsiasi elemento^ del^ campo ordinato^ alquadrato^ è^ O
271 so
in un campo ORDINATO^ d 1 0 NON^ Può^ AVERE^ soluzione
INTRODUCIAMO IL PIANO CARTESIANO
IRAIR (^) Aib OEIRABER IR aib a^ i (^) e a àn b 5 i_ pt in (^) IR si possono^ definire una somma^ e (^) un (^) prodotto che^ soddisfino gli assiomi (^) di (^) campo Conqueste (^) operazioni R'viene indicato (^) con campo dei^ numeri^ complessi def
HAMILTON 1831
SI DEFINISCE^ NUMERO^
COMPLESSO OGNI COPPIA^ ORDINATA
DI NUMERI^ REALI^ Z a (^) b CON^ ABER L'INSIEME (^) DEI NUMERI^ COMPLESSI^ È INDICATO CON^ C
SOMMA
def SOMMA
DAM Z Aib e w
ca SI^
DEFINISCE SOMMA^ IL NUMERO COMPLESSO
E W^ fab^ c^ d^ ate bta Osservazioni
è chiaramente^ associativa^ e commutativa
0,0 è l'elemento^ neutro ZERO^ COMPLESSO e (^) l'opposto di 2 aib è^ Z^ aib (^) l a b
dal punto di vista geometrico è una somma vettoriale
PRODOTTO
Perquanto riguarda il prodotto la prima cosa chepotrebbe venirein mente
2 we a b cid ac ba
ma non^ funzionainfatti
elemento (^) neutro o (^) 1,
a b in aib
Vale la prop commutativa e associativa
inverso sia z 1,0 il suo^ inverso^ n x y dovrebbe^ soddisfare^2 N U
ZAW (^) GO x (^) y 2,0 1 n con l'elemento^2 1,01^ 10,0 non^ hainverso^ non^ va^ bene
def
PRODOTTO DAM (^) Z laid e (^) W Cid SI DEFINISCE^ LORO PRODOTTO^ IL NUMERO
COMPLESSO Zin
Aib e^ d^ ac bd^ ad be
Con (^) le (^) operazioni introdotte^ è un (^) campo Osservazione
Come in qualunqueinsieme su 4 si
può definire^ una^
relazione d'ordine totale (^) ad (^) esempio aib cit^ e^ a^ e^ o.cn^ bed Secondo (^) questo ordine (^) si ha 1.1 o.o 0,1 (^) 0, Ma (^) 1,1 0,1 (^1 0) 11,11 1.0 1 11 0 e (^) quindi non (^) rispetto le proprietà di^ campo ordinato Il fatto che^ in l'equazione^271 0 ha^ soluzione^ come^ mostreremo
in seguito implica che in^ C^ non
può
essereintrodotta nessuna relazione
d'ordine compatibile con le operazioni di campo
Osservazione SE SI FANNO^ OPERAZIONI laid laD^ io ateo 9 d^ DI CAMPO (^) SULLA RETTA SI RIMANE SULLA^ RETTA dati z^ 0,0 w^ ad Seconda^ componente^ nulla i (^2) tw ao co^ atrio i (^) z W ao io ac^ o^ o^ noto^ ac^ o z f 0, E (^) 1,
Si (^) eseguono le somme e (^) i
prodotti reali^
sulla
prima componente
e la^ seconda^ rimane zero
Questo (^) particolare sottoinsieme^ dei complessi IF (^) ao over (^) E
è un sottocampo^ del campo complesso
Si (^) può definire Y IR (^) IF biettiva^ yea ao chequindi soddisfa Y ate^ Yle E^ gli Y a (^) c 4cal Yle
contiene un sottocampo isomorfo ai numeri reali
quindi (^) puòessere pensato come^ un^ estensione (^) dei numeri reali Per (^) tale motivo (^) IF viene chiamato^ ASSE^ Reale LASSE IMMAGINARIO FASE Reale Cartesio (^1637) scrisse (^) Sipuòimmaginare che
ogni equazione^ di^ grado^ n^ ha
n radici ma queste radici IMMAGINATE^ non corrispondono^ a nessuna
quantità reale
deg DATO (^) UN NUMERO^ COMPLESSO^ Z (^) Aib SI DEFINISCONO
A Retti PARTE^ REALE^ DI Z
b (^) Ink PARTE^ IMMAGINARIA^ DI (^) Z ATTENZIONE
SIALA^ PARTE^ REALE^ CHE^ LA PARTE^
IMMAGINARIA (^) SONO NUMERI REALI
la b^ Cid (^) atibletid actaditbci b.de^ ac^ bd
tifadtbddef
DATOZ atib SI DEFINISCE
MODULO DIZ IZI^ TE complesso CONIUGATO^ DI (^) Z (^) E (^) a il
Z atib
I a^ ib Proprietà modulo gaffe za EIR IL tà^ ti^ lol
E Z
Età LRNZ
Z E^ Li^ Im^ Z
2 E^ antib^ Aib à^ Iib a D^212 240
E E^ È È è_ittà
ZTT Età
EI (^) E W IZ.wl IZllwl.ee
T
IImIHIEZI Z1 O^ Z O 121 ZI
IZTWIEIZIANI DISUGUAGLIANZA^ TRIANGOLARE
dim
IZTWI (^) AW (^) EW AW (^) Età (^) ZE ZENEIZE ZIANI AREZEN E^ 2141W^2 ZWIEIZI.HNI2IZINI IZItIwI IZTWIELZHINI KEIR (^) ZANI ZEE E (^) ZI (^) infatti 121 O IZTEIR
mentre in generale EEC
2 Outib^ E^ a^ D Zabi IR^ seab^ o IZIEOIDEIR Ma (^124) Taiba Vanth La'b (^) aah (^) Teeteto è 5 121
PRODOTTO IN FORMA TRIGONOMETRICA
Z
f cosatisend^ wer cosati (^) send 2in gr
cosacosa sonosenati senocosa cososend
gr cos (^) otto ti (^) sen 0 61 POTENZE In 9 cosmatismino ANALOGIA
2 2 E^
g casinorisen no Sembra (^) che l'argomento (^) si comporti (^) come (^) un esponente
sen atp sonocose cosa
sup 2 2921 simile (^) al comportamento^ degli esponenziali EEERidneperoem 3 sicoperto^ nel 1683 da Jacob^ BERNOULLI^ mentre^ studiava^ gli interessi composti
Indicato con e poiché Eulero loindicò così^ in una lettera^ datoche^ la
a (^) era già
stata utilizzata
Chiamato anche (^) numero (^) di Eulero
E 2,71828^ E E^17129
È una delle^ costanti^ più importanti^ in matematica^ con (^) 0,1 i It Nepero nel^1618 ha^ pubblicato^ una tavola^ di (^) logaritmi in^ base^ e senza
però fare riferimento al numerostesso
Lointroduciamo^ ora^ in^ modo^ preciso perché^ ci^ serve^ per i^ numeri^ compless
INTRODUCIAMO DUE SERIE
Ami 1 1 Bmeam 1 1 1 1 mai
An 2 be 4
Anc bon^ Knee
DISUGUAGLIANZA DI BERNOULLI
Ita 1 ma (^) Ha 11 270
KM E^ IN
oppure
Ita 1 ma fa s^11 sito
HM 2
Anti An^ km 21 2 an^ carcass
ittite.net ftp ftp^ ME L (^) Iii in^ It'He^ E la^ nte.me
E Off
1 ama an
Ma
i
Elementare Tciez def DATO (^) UN NUMERO^ COMPLESSO^ Zeatib SI DEFINISCE^ ESPONENZIALE COMPLESSO IL NUMERO et (^) e e^ Cosbtisenb NB è^ l cos^ Inizi ti senIm Z In particolare^ per un numeropuramenteimmaginario si ha^ l'IDENTITÀ DI EULERO Relatio (^) Z (^) in (^) KEIR e (^) cosa ti (^) sena
dim
e (^) sup e (^) la (^) tana in
l
Linda Freire li FI^ KEIR III HI^ forma
e CosImcaltisenIMG
e
L (^) II È Zatibellegismo gli
Formaesponenziale
Osservazioni z
pe guaina
a Zeglio wereitz.weg.r.ci otto i Fe li cosa^ ti seno
e coso^ ismo
cosa IE
sono
c 2cososenvezei.eu Ee eihdge^ aniao inImamurieranno DATO (^) ZEC CON (^) me (^1) NE IN TROVARETUTTI^ I (^) WEG t.ci WIZ VENGONO CHIAMATERADICI^ M ESIME (^) DI Z Zio (^) Wto
a Me 1 WIZ
TEOREMA sia mai E^ Zec zio^ esistono^ esattamente^ n^ Radici^ n^ esime DI Z^ glio DATE^ DALLA^ FORMULA
Wee
Fg li^ 1kt
ke0,1 ne
DISPOSTE AI VERTICI^ DI UN^ POLIGONO (^) REGOLARE CENTRATO (^) NELL'ORIGINE
esercizi
RADICI QUARTEDI 1
1 1 così ti sent 1 e
wa (^) t.li It (^) M
K 0,1 2,
No C'È E iI 1 costa (^) tisenta
w e
E ti^ Z (^) Ik Wee e^ E i EI Et W (^) l'E TI in Osservazioni leradici^ n esima^ di^1 vengono dette^ radici^ nesima^ dell'unità a (^) n a
S S^ s
TERZE QUARTE^ QUINTE la radice^ nesima^ dell'unità^ sono un^ gruppomoltiplicativo Wawa WeiWei^1 1 Nn NÉ (^) WI e E Wi
Osservazione 274 2 non^ ha^ soluzione^ in IN^2 (^22 3 0) non ha soluzione^ in 21 (^22 2 0) non ha soluzione^ in (^) A IR i (^271) o non ha soluzione^ in^ IR
C è un campo algebricamente^ chiuso
TEOREMA (^) FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA OGNI POLINOMIO^ PMLZI (^) aotanzta.az (^) t Anz Anto (^) A COEFFICIENTI^ COMPLESSI
QuindiANCHEREALI E CON MEI HAALMENO UNA RADICE ZERO del
POLINOMIO IN 6
esempio
Ps Z^ Z^22422 4242
coefficienti reali se (^) psk o (^) palatiè^0 Ma a^ causa deicoefficienti reali O (^) PT p.IE
Anche a è uno zero
NE IR^ oppure a à (^) sono entrambi^ radici
41 2 Z 2 2 22 1
a i Z 2 zu 23 124271
ds i^1 Z^2 z i^2 ti 22 1 PIZ (^1) Z 2 Z (^) ifztikz.it zti Z (^21112) i 2 1
Rea la o se Ima O
RIPRENDO IL POLINOMIO
Z (^2) EN (^) ZIA
Z 2
esercizio iii
NoNe sono le radici complesse^ deldiscriminante^ a
D tti Gi (^) Itri e^ mi^ ai Lei NK ta eil
EtEn
No tre NE
E (^) Fi e^ i
Wi 1 ti
Zo
tiè i verifico 1 i^1 ti o Za 1in 1 Verifico (^1) aiti o esercizio 23 I O
Z Z
sette g'einego io
l p^9 0 ftp.t 0 go 2 0 nonconsideriamo^ il f 170 30 OTAKI
40 2kt
O (^) K (^) KE 2 9
1 O_O
I (^) TIZI 2 1 zii Z^1 i FORMA (^) ALGEBRICA sexy Nig N (^32) igtsaliyl hyped in 23
32g
2 ti 3kg
y y^
O (^23) 32g R O Inguine y 322 5 7 0 no (^41 941) george rye.it Z (^) oZ (^) iZ i glia gg nel 1
2 0 2 1 Zi
a 39 1 0
32 Y 1 0
Sottraendo (^) la prima alla^ seconda
222 292 2 0 IMPOSSIBILI^ Non cisonoaltresoluzioni
