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Appunti Calcolo combinatorio, Appunti di Matematica Generale
Dispense del professore
Tipologia: Appunti
2014/2015
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Calcolo Combinatorio
Anno Accademico 2013/
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Realizzazione e sviluppo in LATEX di Valerio Lacagnina (14/11/2013)
- Disposizioni
del gruppo ossia 1, 2, 3 oppure 4: 1 2 3 4 Abbiamo ottenuto 4 gruppi. A questo punto dobbiamo scegliere come secondo elemento del gruppo uno qualunque degli elementi ancora non utilizzati ottenendo: 1 2 2 1 3 1 4 1 1 3 2 3 3 2 4 2 1 4 2 4 3 4 4 3 ottenendo in totale 12 gruppi. Finalmente inserisco uno qualunque degli oggetti rimanenti ottenendo 24 gruppi da tre elementi ognuno. 1 2 3 2 1 3 3 1 2 4 1 2 1 2 4 2 1 4 3 1 4 4 1 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1 4 2 1 1 3 4 2 3 4 3 2 4 4 2 3 1 4 2 2 4 1 3 4 1 4 3 1 1 4 3 2 4 3 3 4 2 4 3 2 come si vede ogni gruppo differisce dall’altro o per almeno un elemento o per l’ordine degli elementi. Come posso stabilire a priori il numero di gruppi che si formeranno? Nell’esempio specifico 4 possibilita 3 possibilita 2 possibilita poiche abbiamo a disposizione 4 oggetti, si avranno 4 possibili scelte come primo elemento dei gruppi, 3 possibili scelte come secondo elemento dei gruppi e infine 2 possibili scelte come terzo elemento dei gruppi, ossia: 4 · 3 · 2 = 24
Se generalizziamo quanto visto in piccolo nell’esempio e supponiamo di avere n oggetti che vogliamo disporre a k a k avremo che il numero totale di disposizioni possibili `e dato da
Dn,k = n · (n − 1) ·... · (n − k + 1)
- Combinazioni e coefficienti binomiali
Esempio 2. Dati 10 oggetti si vuole conoscere il numero delle disposizioni di classe 4 di essi: D 10 , 4 = 10 · 9 ·... · (10 − 4 + 1) = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040
- Permutazioni Cosa succede alle disposizioni se k = n ossia se le classi che voglio organizzare sono costituite da tutti gli n oggetti a disposizione? I gruppi ottenuti differiscono solo in base all’ordine con cui sono disposti gli oggetti. In tal caso, invece di parlare di disposizioni di n oggetti a n a n (Dn,n) si parler`a di permutazioni di n oggetti. Si vede facilmente che Dn,n = Pn = 1 · 2 ·... · n = n!
n! si chiama fattoriale di n. Inoltre assumendo che
0! , 1
`e possibile definire per ricorsione il fattoriale di un numero intero n come n! = n · (n − 1)!
Esempio 3. Supponiamo di avere n = 10 oggetti, come nell’esempio precedente. Se vogliamo sapere quanti sono i gruppi ottenibili permutando tutti i 10 oggetti dobbiamo calcolare P 10 = 1 · 2 ·... · 9 · 10 = 3628800 Come si vede il numero di gruppi ottenuto e estremamente grande, gia per un valore di n abbastanza piccolo.
- Combinazioni e coefficienti binomiali Si chiamano combinazioni di n elementi a k a k (o di classe k) i gruppi di k elementi ottenuti dagli n oggetti che differiscono per al- meno un oggetto (in tel senso non ci interessa l’ordine degli elementi all’interno del gruppo). Per individuare la numerosit`a di tali gruppi riprendiamo l’esempio 2.
Esempio 4. Sia dato l’insieme con n = 4 elementi, { 1 , 2 , 3 , 4 }. Voglio ottenere tutti i gruppi di elementi che rappresentano le combinazioni dei 4 elementi di classe 3. Essi sono costituiti da tre oggetti,
, presi dai 4 dell’insieme e non posso ottenere due gruppi con gli stessi
- Combinazioni e coefficienti binomiali
Esempio 4. Si vuole il numero di combinazioni di 10 oggetti di classe 4.
C 10 , 4 =
Se si va a confrontare il numero di gruppi ottenuti con quello delle disposizioni di 4 elementi di classe 3 pari a 5040 si vede imme- diatamente che il numero di combinazioni `e estremamente ridotto rispetto al numero di disposizioni di pari classe.
Posso migliorare la formula per il calcolo del numero di combinazioni tenendo conto che se moltiplico il numeratore per (n − k)! otterro n!. Evidentemente devo anche dividere per lo stesso valore. Otterro un nuovo oggetto, equivalente alle combinazioni di n oggetti di classe k che chiameremo coefficiente binomiale: ( n k
n! (n − k)!k!
Il coefficiente binomiale si legge n sopra k.
Esempio 4.
( 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 6!^ ·^1 ·^2 ·^3 ·^4
Si noti che (^) ( n 0
n n
Fissato il numero n di oggetti posso individuare n + 1 coefficienti binomiali ( n 0
n 1
n 2
n n − 1
n n
Mi rendo conto immediatamente che ( n 0
n n
e che (^) ( n 1
n n − 1
n 2
n n − 2
- Binomio di Newton
e quindi in generale i coefficienti binomiali godono della propriet`a di simmetria nei valori che posso esplicitare sinteticamente con ( n k
n n − k
Per dimostrarlo basta vedere che ( n k
n! (n − k)!k!
n n − k
n! (n −n + k)!(n − k)!
n! k!(n − k)!
- Binomio di Newton I coefficienti binomiali sono estremamente utili in algebra per il calcolo dei coefficienti della potenza ennesima di un binomi. Dati a, b ∈ R, vogliamo calcolare
(a + b)n
Partiamo da n = 2:
(a + b)^2 = (a + b) · (a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b
(a + b)^3 = (a + b) · (a + b) · (a + b) = (a · a + a · b + b · a + b · b) · (a + b) =
= a · a · a + a · a · b + a · a · b + a · b · b + a · a · b + a · b · b + a · b · b + b · b · b
... (a + b)n^ = (a + b) · (a + b) ·... · (a + b) ︸ ︷︷ ︸ n volte
Si nota subito che se k e la potenza a cui si eleva il binomio, il grado dei monomi ottenutie pari a k (sommiamo il grado di a a quello di b). Ad esempio nel caso (a+ b)^3 avremo i monomi a^3 , a^2 b, ab^2 , b^3. Il numero di gruppi di tali differenti monomi dipende dalle possibili scelte che posso fare per ottenere il grado 3, ossia, nel caso pi`u generale possibile
(a+b)n^ =
n 0
anb^0 +
n 1
an−^1 b^1 +
n 2
an−^2 b^2 +...
n n
a^0 bn^ =
∑^ n
k=
n k
an−kbk
Esempio 5.
(a+b)^4 =
a^4 +
a^3 b+
a^2 b^2 +
ab^3 +
b^4 =
= a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4
Indice
- Introduzione 3
- Disposizioni 3
- Permutazioni 5
- Combinazioni e coefficienti binomiali 5
- Binomio di Newton 8
11