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Dispense sulle Derivate
Tipologia: Dispense
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Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche
Appunti del corso di Matematica
Anno Accademico 2015/
rappresentera il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto A = B = (c, f (c)) e verra indicato con la notazione f ′(c).
1.1. Definizione di funzione derivabile e derivata. Una fun- zione f : A → B si dice derivabile in x ∈ A se
lim h→ 0
f (x + h) − f (x) h
esiste.
Se questo limite esiste, esso `e detto derivata di f in x e si denota con f ′(x).
Vediamo ora alcuni esempi di derivata di una funzione.
Esempi 1.
lim h→ 0
f (x + h) − f (x) h
= lim h→ 0
m · (x + h) + b − (m x + b) h
= lim h→ 0
m · h h
= lim h→ 0
m = m.
Quindi, la derivata di una funzione lineare `e il coefficiente angolare della funzione stessa.
lim h→ 0
f (x + h) − f (x) h
= lim h→ 0
(x + h)^2 − x^2 h
= lim h→ 0
x^2 + h^2 + 2 h x − x^2 h
= lim h→ 0
h^2 + 2 h x h = lim h→ 0 h + 2 x = 2 x.
Quindi la derivata della funzione f (x) = x^2 e una funzione di x e, in particolare,e una funzione lineare passante per l’origine: f ′(x) = 2 x. In figura 2 e riportata f (x) = x^2 e la sua derivata f ′(x) = 2 x. Si osservi che la tangente in A = (− 1 , 1) ha come pendenza m = −2, chee proprio il valore che assume f ′(x) in x = −1.)
In generale, se una funzione f e derivabile in c, la retta passante per il punto (c, f (c)), tangente alla funzione f , ha come coefficiente angolare f ′(c) e la sua equazionee data da
y − f (c) = f ′(c) (x − c)
Figure 2. Grafico della funzione f (x) = x^2 e della sua derivata f ′(x) = 2 x.
Si osservi inoltre che tale retta `e la migliore approssimazione lineare di f nell’intorno di c.
Esercizio 1. Verificare che le derivate delle funzioni f (x) =
x e g(x) = (^) x^1 sono, rispettivamente:
f ′(x) =
x
g′(x) = −
x^2
Si noti che entrambe le funzioni NON sono derivabili in 0, nonostante, ad esempio, f (x) sia una funzione definita e continua in x = 0.
Proof. La dimostrazione delle regole (1) e (2) `e lasciata per eser- cizio. Dimostriamo la (3). Si consideri il limite del rapporto incremen- tale di f · g nel punto x:
lim h→ 0
f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x) h
= lim h→ 0
f (x + h)g(x + h) − f (x + h)g(x) + f (x + h)g(x) − f (x)g(x) h
= lim h→ 0
f (x + h)[g(x + h) − g(x)] + [f (x + h) − f (x)]g(x) h
= lim h→ 0
f (x + h)
[g(x + h) − g(x)] h
[f (x + h) − f (x)] h
g(x) =
= lim h→ 0 f (x + h)
[g(x + h) − g(x)] h
[f (x + h) − f (x)] h
g(x) =
=f (x) g′(x) + f ′(x) g(x).
Poich´e la regola (4) pu`o essere vista come un caso particolare della (5), in cui si ponga f (x) = 1, dimostriamo solo la (5). Anche in questo caso, calcoliamo il limite del rapporto incrementale:
lim h→ 0
f (x+h) g(x+h) −^
f (x) g(x) h
= (facendo il minimo comune multiplo)
lim h→ 0
f (x + h)g(x) − f (x)g(x + h) h g(x + h) g(x)
lim h→ 0
f (x + h)g(x) − f (x)g(x) + f (x)g(x) − f (x)g(x + h) h g(x + h) g(x)
= lim h→ 0
g(x)[f (x + h) − f (x)] − [g(x + h) − g(x)]f (x) h g(x + h) g(x)
= lim h→ 0
g(x + h)g(x)
g(x)
[f (x + h) − f (x)] h
[g(x + h) − g(x)] h
f (x)
[g(x)]^2
lim h→ 0 g(x)
[f (x + h) − f (x)] h
− lim h→ 0 f (x)
[g(x + h) − g(x)] h
f ′(x) g(x) − f (x) g′(x) [g(x)]^2
Utilizzando la regola di derivazione del prodotto, si pu`o dimostrare che ∀n ∈ N \ { 0 }:
p(x) = xn^ ha come derivata p′(x) = n xn−^1.
Proof. Per la dimostrazione si puo procedere per induzione matem- atica. Abbiamo gia visto che
p(x) = x ha come derivata p′(x) = 1 · x^1 −^1 = 1 · x^0 = 1.
Supponiamo la formula vera per n (ipotesi induttiva):
p(x) = xn^ ha come derivata p′(x) = n xn−^1
e dimostriamola per n + 1. Abbiamo
p(x) = xn+1^ = x · xn.
Sfruttando la regola di derivazione del prodotto di due funzioni (nel nostro caso f (x) = x e g(x) = xn) e l’ipotesi induttiva, otteniamo:
p′(x) = 1 · xn^ + x · (n · xn−^1 ) = 1 · xn^ + n · xn^ = (n + 1)xn. Utilizzando la regola (4) per funzioni reciproche, si pu`o dimostrare che la regola appena vista vale anche nel caso in cui l’esponente sia un numero negativo:
p(x) = x−n^ ha come derivata p′(x) = −n x−n−^1 = −n x−(n+1).
Esercizio 1. Si dimostri la regola appena vista in due modi diversi: 1) per induzione matematica e 2) sfruttando la regola (4) e la regola sopra dimostrata per la derivata di p(x) = xn^ con n positivo.
dy dx
se y `e funzione di x,
dy dt
se y e funzione di t, eccetera. Cosı, se y = x^3 , scriveremo dy dx
= 3 x^2 ,
mentre, se y = (^) t^12 scriveremo:
dy dt
= − 2 t−^3 = −
t^3
o, ancora, se y =
z allora dy dz
z
La notazione con la doppia d pu`o essere usata come prefisso dell’espressione che deve essere derivata. Ad esempio:
Quindi la derivata di y rispetto ad x si ottiene moltiplicando la derivata di y rispetto ad u calcolata nel punto u = u(x) per la derivata della funzione u(x) nel punto x. Questa formula `e nota anche come chain rule.
Esempio 3. La chain rule puo essere utilizzata per dimostrare che la regola di derivazione delle potenze puo essere estesa al caso in cui l’esponente della potenza sia un qualsiasi numero razionale:
p(x) = xq^ ⇒ p′(x) = q xq−^1 con q =
m n
, ∀m, n ∈ Z, n 6 = 0.
Per la dimostrazione, innanzitutto scriviamo p(x) in termine degli interi m ed n: p(x) = xq^ = x
x
(^1) n^ )m .
Poniamo ora y = x
(^1) n
. Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte a p(y(x)) = (y(x))m^ otteniamo:
p′(x) =
dp dy
dy dx La funzione p(y) `e una potenza con esponente intero, quindi dpdy = m ym−^1. Resta da determinare dydx. Abbiamo posto y = x (^1) n
. Allora x = yn. Derivando ambo i membri della eguaglianza precedente risulta: dx dx
= n yn−^1
dy dx
Poich´e dxdx = 1, dalla precedente equazione possiamo ricavare dydx :
1 = n yn−^1
dy dx
dy dx
n yn−^1
Quindi:
p′(x) =
dp dy
dy dx
= m ym−^1
n yn−^1
m n
ym−^1 −n+1^ =
m n
ym−n^ =
=
m n
(x n^1 )m−n^ =
m n
x
m n
x
mn − 1 = q xq−^1.
Esempio 3. Si determini la derivata della funzione
y =
x +
x
Possiamo sviluppare il quadrato e procedere con le regole di derivazione gi`a apprese, oopure, preferibilmente utilizzare la regola di derivazione delle funzioni composte. Iniziamo da quest’ultima,
considerando la funzione composta y(t(x)), con y(t) = t^2 e t(x) = x + (^1) x. Abbiamo:
y′(x) =
dy dt
dt dx
= 2 t
dt dx
= 2 t
x^2
x +
x
x^2
= 2 (x − x−^1 + x−^1 − x−^3 ) = 2 (x − x−^3 ). Vediamo ora che si pu`o ottenere lo stesso risultato svolgendo prima il quadrato e poi derivando:
y =
x +
x
= x^2 + x−^2 + 2 x x−^1 = x^2 + x−^2 + 2.
Allora: y′(x) = 2 x − 2 x−^3 = 2 (x − x−^3 ). In questo esercizio, potrebbe sembrare che svolgere i quadrati sia piu semplice che utilizzare la chain rule e per certi versi loe davvero. Si provi pero ad immaginare di voler derivare:
y =
x +
x
Con la chain rule otteniamo immediatamente:
y′(x) = 4
x +
x
x^2
x +
x
x^2
Si provi ora a sviluppare la quarta potenza del binomio e poi derivare.
Esercizio 3. Si determini attraverso la regola di derivazione delle funzioni composte la derivata delle seguenti funzioni:
y = (x^3 − 1)^2 e y = (3 x^2 − 2 x + 5)^2.
4.2. Derivata della funzione logaritmo. Stimiamo la derivata della funzione ln(x) calcolando il limite del rapporto incrementale:
d dx
ln(x) = lim h→ 0
ln(x + h) − ln(x) h
= lim h→ 0
ln
(x+h x
h
= lim h→ 0
h
ln
h x
= lim h→ 0
ln
h x
= lim h→ 0 ln
h x
) xh^ ]^ x^1 = lim h→ 0
x
ln
h x
x
lim h→ 0 ln
h x
posto t =
h x
x
lim t→ 0 ln
(1 + t)
(^1) t^ ] = (per uno dei limiti notevoli studiati) =
x
ln(e) =
x
Quindi la derivata della funzione ln(x) `e:
d dx
ln(x) =
x
4.3. Derivata della funzione esponenziale. Calcoliamo la derivata della funzione ex^ come limite del rapporto incrementale.
d dx
ex^ = lim h→ 0
ex+h^ − ex h
= lim h→ 0
ex^ eh^ − ex h
= lim h→ 0
ex^
eh^ − 1 h
= ex^ lim h→ 0
eh^ − 1 h
= (per uno dei limiti notevoli studiati) =
= ex^ · 1 = ex.
Quindi la derivata della funzione ex^ `e la funzione stessa:
d dx
ex^ = ex.
Si lascia allo studente di dimostrare che d dx
ax^ = ax^ ln(a).
Suggerimento: si utilizzi la relazione che lega ax^ ad ex, ax^ = ex^ ln(a) e si sfrutti la regola di derivazione delle funzioni composte. Lo stesso approccio si utilizza per calcolare la derivata della seguente funzione, in cui si assume che f (x) e g(x) siano entrambe derivabili e che f (x) > 0:
d dx
f (x)g(x)^ =
d dx
eg(x) log[f^ (x)]^ = eg(x) log[f^ (x)]^
d dx
[g(x) log[f (x)]] =
=eg(x) log[f^ (x)]
g′(x) log[f (x)] + g(x)
f ′(x) f (x)
(f −^1 ◦ f ) (x) = f −^1 (f (x)) = x.
Deriviamo ambo i membri di questa uguaglianza rispetto ad x e sfrut- tiamo la regola di derivazione delle funzioni composte:
d dx
(f −^1 ◦f ) (x) =
d dx
x = 1 ⇔
d dy
f −^1 ·
df dx
d dy
f −^1 ·f ′(x) = 1.
Da questa equazione possiamo ricavare (^) dyd f −^1. Infatti
d dy
f −^1 =
f ′(x)
Ricordando che x(y) = f −^1 (y), otteniamo:
d dy
f −^1 =
f ′(x(y))
Possiamo usare la regola di derivazione delle funzioni inverse per calcolare, ad esempio, la derivata della funzione ln(y) come derivata della funzione inversa di y = ex. Abbiamo gi`a visto che (^) dxd ex^ = ex. Allora:
d dy
ln(y) =
ex^
y
Esercizio 5. Disegnare il grafico della derivata di ciascuna delle funzioni disegnate di seguito.
Esercizio 5. Derivare le seguenti funzioni
(1) y = cos^2 t (2) y = sin^2 t (3) y = 3 t^2 tan t (4) y = sin^4 (
u) (5) y = tan(x^2 ) (6) y = cos(
x)
Esercizio 5. Calcolare la derivata dydx delle seguenti funzioni composte:
(1) y = (^) 1+^1 u 2 , u = 2 x + 1; (2) y = u + (^) u^1 , u = (3 x + 1)^4 ; (3) y = (^1) −^2 u 4 u , u = (5 x^2 + 1)^4 ; (4) y = u^3 − u + 1, u = (^1) 1+−xx.
Esercizio 5. Calcolare la derivata dydt delle seguenti funzioni composte:
(1) y = (^1) 1+−^7 u^ u 2 , u = x^2 + 1, x = 2 t − 5; (2) y = 1 + u^2 , u = (^1) 1+−^7 x^ x 2 , x = 5 t + 2.
Esercizio 5. Determinare la derivata seconda d
(^2) y dx^2 delle seguenti funzioni: (1) y = sin x (2) y = cos x (3) y = (^) 1+sin(cos(x)x) (4) y = tan^3 (2 π x) (5) y = cos^3 (2 x) (6) y = cos(
x) (7) y = sin^5 (3 x) (8) y = cot(4 x) (9) y = x^2 sin(3 x) (10) y = (^1) −sin(cos(x)x) (11) y = cos^2 (x) + sin^2 (x)
Esercizio 5. Calcolare le seguenti derivate di ordine superiore al primo:
(1) d
4 dx^4 (sin^ x) (2) d 4 dx^4 (cos^ x) (3) (^) dtd
t^2 dtd (t cos(3 t))
(4) (^) dtd
t (^) dtd (cos(t^2 ))
(5) (^) dxd [f (sin(3 x))] (6) (^) dxd {sin[f (3 x)]}
Esercizio 5. Determinare la funzione y = f (x) tale che:
(1) y′(x) = 4 x^3 − x^2 + 4 x (2) y′(x) = x − (^) x^23 + 3 (3) y′(x) = 5 x^4 + (^) x^15 (4) y′(x) = 4 x^5 − (^) x^54 − 2
