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Matematica Generale (fraz. E-O) – a.a. 2023-2024 22 Gennaio 2024
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Esercizio 1 (3 punti). Si dia la definizione di derivata di una funzione in un punto e se ne
illustri il significato geometrico.
Esercizio 2 (3 punti). Si enunci il teorema degli zeri.
Esercizio 3 (4 punti). Si calcolino le derivate parziali della seguente funzione
f (x, y) = y 2
Esercizio 4 (8 punti). Si consideri la funzione
f (x) =
x^2 − 2
x^2
Si determinino:
(i) il dominio naturale e le eventuali simmetrie; (ii) il segno; (iii) gli eventuali asintoti; (iv) gli intervalli di crescenza e di decrescenza di f , e gli eventuali punti di massimo e/o di minimo relativo; (v) il grafico qualitativo.
Esercizio 5 (4 punti). Si calcoli il seguente integrale definito
∫ (^1)
0
(xe x − 1)dx
Esercizio 6 (4 punti). Si consideri la matrice
A =
−k 1 0 0 1 k k 2 3
con k parametro reale.
(i) Si determini per quali valori di k ∈ R (se ne esistono) la matrice è invertibile (ii) Si calcoli l’inversa di A quando k = − 1.
Esercizio 7 (6 punti). Si consideri la funzione reale y = f (x) il cui grafico è riportato in
basso.
− 1
− 2
1 x
y
Rispondere ai seguenti quesiti.
(i) Si determini il dominio naturale Df di f (ii) Si determini minDf f (iii) Si determini l’immagine di [1, +∞) tramite f (iv) Si determinino gli eventuali punti in cui la funzione non è derivabile (v) Si determini (se esiste) lim x→+∞
f ′(x)
(vi) Si determini il segno di f ′(2) (vii) Posto F (x) :=
∫ (^) x 0 f^ (t)dt^ per^ x^ ∈^ (0,^ +∞)^ , si determini il segno di^ F^
′′ (1/2)
poichè la funzione è pari abbiamo che anche
lim x→−∞
x^2 − 2
x^2
;
concludiamo che y = 0 asintoto orizzontale. (Notiamo che non ci sono altri limiti da calcolare perchè i punti −
2 e
2 sono inclusi in Df e f (±
(iv) Si ha
f ′ (x) =
2 x 2
√ x^2 − 2 · x^2 −
x^2 − 2 · 2 x
x^4
√^ x^3 x^2 − 2 − 2 x
x^2 − 2
x^4
x( x
2 √ x^2 − 2
x^2 − 2)
x^4
√^ x^2 x^2 − 2
x^2 − 2
x^3
x^2 − 2(x^2 − 2)
x^3
x^2 − 2
4 − x^2
x^3
x^2 − 4
La derivata prima è definita in (−∞, −
2 , +∞) = Df \ {±
Il segno di f ′^ si trova risolvendo la disequazione
4 − x^2
x^3
x^2 − 2
4 − x^2
x^3
x^2 − 4
x^3
≤ 0 ⇐⇒ x ≤ − 2 or 1 ≤ x ≤ 2
Pertanto, il segno di f ′^ è:
Valori di x x ∈ (−∞, −2) x = − 2 x ∈
( − 2 , −
√ 2
) x ∈ (
√ 2 .2) x = 2 x ∈ (2, +∞) Segno di f ′(x) + 0 − + 0 −
Ne deduciamo che f è strettamente crescente in (−∞, −2) e (1, 2) , strettamente decrescente in (− 2 , −1) e in (2, +∞) , e ha due massimi locali in corrispondenza di
x = − 2 e x = 2 il cui valore è f (−2) = f (2) =
√ 2
(v) Il grafico qualitativo di f è il seguente.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
Esercizio 5. Calcoliamo prima di tutto l’integrale indefinito
(xex^ − 1)dx ; per linearità
otteniamo
∫
(xe x − 1)dx =
xe x dx −
1 dx =
xe x dx − x;
calcoliamo
xe x dx utilizzando l’integrazione per parti:
∫
(1 + xe x )dx =
xe x dx − x = xe x −
e x dx − x = xe x − e x − x + C.
Pertanto
∫ (^1)
0
(1 + xe x )dx = [xe x − e x − x]
1 0 = (e^ −^ e^ −^ 1)^ −^ (0^ −^ 1 + 0) = 0.
Esercizio 6.
(i) Calcoliamo il determinante di A (sviluppando rispetto alla prima riga):
det(A) = (−1) 2 · (−k) · det
1 k 2 3
3 · 1 · det
0 k k 3
= (−k)(3 − 2 k) − (0 − k 2 ) = k(−3 + 2k + k) = k(3k − 3) = 3k(k − 1)
Allora A è invertibile se e solo se det(A) = 3k(k − 1) 6 = 0 , cioè k 6 = 0 oppure k 6 = 1.
Esercizio 7.
(i) Df = [− 1 , +∞) ; (ii) minDf f = − 2 (iii) L’immagine di [1, +∞) tramite f è [− 1 , 0) (iv) La funzione non è derivabile nei punti x = 0 e x = 1 (v) lim x→+∞
f ′(x) = 0
(vi) f ′(2) > 0 poichè in un intorno di x = 2 la funzione f è strettamente crescente (vii) F ′′ (1/2) = f ′ (1/2) > 0 poichè nell’intervallo (0, 1) la funzione f è strettamente crescente
