Scarica Appunti di matematica corso di base e più Sintesi del corso in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity!
Esercizio La
regola di Sarus (^) , il determinante delle (^) seguente matrice 1 ⑧^1 O
A =
I 2 Stabilire i (^) vettori (^1 ) [ 1
. (^1) + 0 + ( -^3.^2 - 2)) - (-3. k) -^ (^ -^ -^1 - 2) -^ o
se k^ =^2 e^ K =^5 , 1 vettori sono L. d.
k2 -^12 +^ 3k^ + 2 = = k2^ -^10 +^ 3k^ Se^ k+^2 e^ K^ +^5 ,I^ vettori^ sono^
Li
(A) =^ k+^ 3k^
- 10 - R + 2 ↑ = 4 - 10 & Esercizio^. Calcolare il determinante 65 7 B^ o^ I lI · [ 7.^2.^1 +^6.^1
-2) -^5.^2.^5 - 7 -^2 -^ 6- [ 14 +^18 -^ 10)^ -^30 +^14 -^6 17/10/ IA) =^ E (^) (1) (^) apagas ... Ans n E N !
I aij è il generico elemento^ di^ A
Definiamo Minore -^ complementare^ Dij^ di^ un^ elemento^ aij di^ Aman^ dicenumero te^ delle^ sottomatrice^ quadrata e^ di^ oreline
In-1) ottenuto
Sopprimendo due^ linee^ (riga e^ colonnal^ che^ Si^ incrociano^ nell'elemento^ hij ,^ cive^ la^ i-ma^ riga Ai e^ 3-ma
colonna As
Definiamo complemento^ algebrico Aiy di^ dig^ il^ prodotto^ del^ minore^ complementare^ di^ aiz perit complimento Aiy =^ (1) i^ = Diz algebrico
Esercizio:^ calcolare il (^) complemento algebrico secondo^ gli^ elementi^ della^ prima^ riga
della
seguente matrice^ A is = [
A =
[T Az
= (1) 1X0 = 1 - 2 =^ i^ =^1 j^ =^2
12 (- 1)i +^3 Dij (^) Azz = (^) (
. 6 =^ - 6
A (^12) e il (^) complemento (^) algebrico am
Esercizio 2.
A = jo A1z = 1 - 1) =+ 3/3X) = (^1). (3 (^) -2) = (^1) i = 1 j =^3 TEOREMA (^) DI LAPLACE Il determinante delle^ matrice (^) quadrata Amxn^ è (^) pari alla (^) somma dei (^) prodotti (^) degli elementi di una^ linea^ qualsiasi per i^ rispettivi complement: algebrici. perciò scelta^ una^ qualsiasi (^) riga di^ A^ , es^ =^ i -^ ma
Risulta (Al = 2 dijAiz,
Scelta (^) invece una (^) qualsiasi colonna la -ma Risulta IA^ = ag Ai Questo (^) teorema (^) fornisce una (^) procedura di calcolo dei determinanti valida (^) per matrici (^) quadrata di ordine n (^) x m Esercizio Calcolare con i teorema di (^) Laplace , il (^) suo determinante.
A
=I
-Scegliamo La^ prima riga.
(A) =^4 : Az (^) + +^0. Azz +^1.^ A
Complemento algebrico
An =^ (^ 1)
1/3x5) =^1.^19 =^
= 4 - 19 + 0. 8 + 1.^ - 1
Ann =^ (^ 1)^
- +1 5) =^ -^1.^
A1z =^ (- 1)
=
Calcolare (^) it (^) determinante 2 - 5 -^ - 3 -^ -^2
A I I
1 +^1 -^32 -^5 -^32
In-
n prime (^) a 3 -^223 -
I
13 -^2
I
- 643-6 4 I
- 1 - 643 [ 13.^ -^2. 3) + (2.^2.^ - 6) + (^) ( 5. 3.
- 1 -^3 -^2. 4) - (2.^3 - 3) = [ -^18 -^24 - 60 ] + 60 + 24 - 18 Proprietà dei^ determinanti^ di^ una^ matrici^ quadrato
· Se A è
una matrice^ quadrata il^ dett e^ il^ detA^ sono uguali La^ dim^.^ di^ questa proprietà.
Domanda : Perché il detA =^ detAT
Risposta :^ Perché^ le^ definizione stessa^ di^ def IAl = 2 Fanp
12g har^ Qns
Tutte le (^) proprietà del defA (^) Valgono anche^ per detAT
· Se la matrice A
presenta una riga nullo (^) allora (A) =^0 3 due^ vettori^ di^ in^ ma ↑ =
[ I
è nullo (^) sono (^) sepre h. d. · (^) Il (^) determinante di (^) una matrice (^) in cur due righe parallele^ sono^ uguali = 0
[
33 - 15
I
det (^) A =^0
· Se in una matrice A esiste una
riga che risulta (^) essere combinazione line. Esempio :^ Domanda^ :^ Senza^ svolgere il^ calcolo^ del
I
1 2 O^3
I
· 2 det. stabilire se (^) i vettori (^) sonol.d (^) o C (^). i
A =^2 -^1
S 16 6
5 4 -^51
18/10/2024 Matematica
Consideriamo (^) una matrice rettangoLare^ Amxn (^) , si chiama (^) I minore di ordine t estratto^ dalla^ matrice^ A^ il^ determinante associato alla^ sottomatrice (^) quadrata A (^) di ordine t con 1 t^ <^ min^ (m, n) cie (^) formate (^) degli element:^ appartenenti a^ t^ right e^ at^ colonne^ nella^ matrice. A
di partenza.
Da una matrice di ordine (^) cm, n) è^ possibile estrare (^) (m) (2) minori di ordine + (^) Possibili combinazioni 4 Righe > può estrarre^4 1 (^) [A] = (^) [ 0 ] Se
A èha matrice
nulla (^1) r(A)=^ o Esercio
: Consideriamo :
seguenti Tutti i^ minori^ di^ ordine^2 sono (^) uguale a 0 It^ r(A)^ non^ può^ essere^2 stabilire il (^) r(A) It^ r(A) =^1 perché^ ha^6 min
A =
I
I 14 -^ min^ (2, 4) 12 +^2
di ordine 1 to
2 -^206 11/0/ i (^) / : (^) / :I O (^) O O O O
Exto : Deter (^) la caratteristica della seguente matrice. b (^) = 5 1 =^ t^ =^ min^ (2^ ,^ 3)^ La (^) matrice B ha (^) caratteristica = 2 1 = t - 2 cioe r^ (B) =^2 (15) :^ /1)^ ;^5 I to #0 to Proprietà del^ rango r(A) =^ r(AT)^ sono^ uguali deriva (^) dalla (^) proprietà dei determinanti (detA = detAT) Teorema sul rango di^ una^ matrice r (^) (N) =^ t (^1). Se (^) una matrice A (^) (rettangolare o quadrate) +^ loreline^ massimo^ dei^ minori^ non^ nulli allorat^ vettori (^) (riga o^ colonne) sono linearmente inde. (^) (formano una base (^) per Rt) i rimanenti rettori (^) sono combin. in. di questi t vettori^ (appartengono^
cioè allo spazio
Re (^) generato dei t (^) vettori della (^) base Teorema 2. il (^) massimo numero di (^) right o di (^) colonne lineamente. indip di (^) una matrice (^) A
coincide con r(A)
Defini.^ il^ rango o^ la^ caratteristica^ di^ una^ matrice^ A^ è^ il^ massimo^ numero^ dei^ suoi vettori (^) riga (o (^) Colonna) =^ linearmente (^) indipendente Esiste in^ collegamento tra^ il^ rango di^ una matrice^ e^ la^ dimensione^ di^ uno^ spazio vetto. dim S^ =^ nS " Esercizio :^ Calcolare^ it (^) rango *:I^ 1 =t^ <^ min^ (4, 2)
5 - 1 12t 2
-234x Le due colonne della^ matrice^ data^ sono L. indip perché non trovo^ nessuna coefficienze di^ proporzionalità tra loro. Quindie (^) massimo numeri di (^) vettori colonna (^) C. i i 2 r(A) =^2
Dal resto m =^4 12t
n =^2 1 [tE
