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Definizione di:
Limite
I limiti di funzioni reali rappresentano un concetto importantissimo in tutta l'analisi matematica. Essi servono a descrivere l'andamento di una funzione y=f(x) quando la x si avvicina ad un certo valore, ad esempio un valore per il quale la funzione non risulta definita e pertanto siamo interessati a come si comporta la funzione in prossimità di tale punto. Il calcolo dei limiti ritorna utile per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.
Derivata
La derivata prima di una funzione è la pendenza della retta tangente alla curva in x, inoltre è definita come il limite del rapporto incrementale della funzione nel punto al tendere dell’incremento a zero.
La derivata seconda è la derivata della funzione derivata prima, che si può ripetere ottenendo la derivata terza, quarta… Ciascuna è una funzione e quindi ciascuna ha il suo insieme di definizione;
Integrali
L’integrale definito è l’area della figura piana delimitata dal grafico della funzione, dall’asse delle ascisse e dalle due ordinate della funzione dei due punti “a” e “b”.
L'integrale indefinito è un operatore che assegna ad una funzione integrabile, detta “funzione integrando”, un insieme di primitive.
Una primitiva di una funzione f(x) (detta anche antiderivata di f(x)) è una qualsiasi funzione derivabile F(x) con derivata che coincide con la funzione assegnata: F'(x)=f(x), ovvero la derivata della primitiva deve coincidere con la funzione.
Dimostrazioni e Definizioni:
Torricelli-Barrow
Il teorema fondamentale del calcolo integrale (detto anche “teorema di Torricelli-Barrow”) è un teorema che stabilisce la continuità della funzione integrale, e sotto opportune ipotesi la sua derivabilità. In particolare, dimostra che calcolare il valore dell'integrale di una funzione, a partire da un punto fisso "a" fino ad un punto variabile "x" del suo dominio, equivale esattamente a trovare una primitiva della funzione stessa. Inoltre, fornisce una formula di calcolo detta formula fondamentale del calcolo integrale.
Il teorema si divide essenzialmente in due parti, dette primo e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale:
- La prima parte del teorema garantisce l'esistenza della primitiva per funzioni continue, ossia che qualsiasi funzione continua è la derivata di qualche altra funzione.
- La seconda parte del teorema consente di calcolare l'integrale definito di una funzione attraverso una qualsiasi delle sue primitive.
Polinomio di Taylor
Il teorema di Taylor, in analisi matematica, è un teorema che fornisce una sequenza di approssimazioni di una funzione differenziabile attorno ad un dato punto mediante i polinomi di Taylor, i cui coefficienti dipendono solo dalle derivate della funzione nel punto.
P 0 = f(x 0 ) + fI(x 0 )(x-x 0 ) + fII(x 0 )(x-x 0 )^2 /2! + fIII(x 0 )(x-x 0 )^3 /3! + o(x^3 )
Teorema di Lagrange
Il teorema di Lagrange (o del valor medio o dell'incremento finito) è un risultato che si applica a funzioni di variabile reale e afferma, dal punto di vista geometrico, che dato il grafico di una funzione tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela alla secante passante per gli estremi.
Questo teorema è usato per provare delle proprietà di una funzione in un intervallo partendo da ipotesi locali sulle derivate nei punti di tale intervallo.
Teorema di Rolle
In analisi matematica il teorema di Rolle afferma che se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], derivabile in ogni punto dell'intervallo aperto (a,b) e assume valori uguali "f(a)=f(b) "negli estremi dell'intervallo, allora esiste almeno un punto "c" interno ad (a,b) in cui la derivata si annulla, cioè f'(c)=0 (punto critico o stazionario).
Condizioni di primo e secondo ordine.
Le condizioni del primo ordine sono condizioni necessarie che devono essere soddisfatte da ogni soluzione di un problema di ottimizzazione, ossia in ogni punto di massimo o di minimo.
Esse sono valide se esiste la funzione derivata della funzione obiettivo, da massimizzare o minimizzare, ed eventualmente di tutte le funzioni che determinano i vincoli del problema di ottimizzazione.
Nel caso di un ottimo non vincolato , esse affermano semplicemente che la derivata della funzione obiettivo (rispetto a ogni variabile) si annulla nel punto di massimo o di minimo. Nel caso di un ottimo vincolato , invece, le condizioni del primo ordine corrispondono a quelle applicate alla funzione lagrangiana, se i vincoli sono di uguaglianza, e più in generale alle cosiddette condizioni di Kuhn-Tucker, in presenza di vincoli di disuguaglianza. Un punto che soddisfa le condizioni del primo ordine si dice anche punto critico , perché candidato a essere una soluzione del problema di ottimo.
Se inoltre esistono anche le derivate seconde delle funzioni (definite come funzioni derivate delle funzioni derivate), allora sono anche specificate le condizioni del secondo ordine, sufficienti per determinare una soluzione del problema: un punto critico è un punto di ottimo se valgono anche le condizioni del secondo ordine.
In particolare, nel caso di un ottimo non vincolato , le condizioni del secondo ordine affermano che un punto in cui la derivata (prima) è nulla è un massimo relativo se la derivata seconda è negativa, ovvero un minimo relativo se la derivata seconda è positiva.
Nel caso di una funzione di più variabili, questo risultato si estende all’analisi dell’hessiano della funzione (la matrice di tutte le derivate seconde), che deve essere definito negativo per un massimo, o definito positivo per un minimo. La prima proprietà caratterizza una funzione (strettamente) concava, la seconda una funzione (strettamente) convessa.
