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Congruenze
Nell’insieme dei numeri relativi introduciamo la relazione di congruenza modulo m.
Dati due numeri relativi a e b, diciamo che sono congrui modulo m se la loro differenza è divisibile per m e scriveremo a − b = km oppure a ≡ b (mod m )
dove m viene chiamato modulo della congruenza. Inoltre possiamo dire che: Due numeri relativi a e b, sono congrui modulo m se divisi per m danno lo stesso resto. Teorema Due numeri relativi a e b sono congrui modulo m se e solo se la loro differenza è divisibile per m. Sia
i) a ≡ b (mod m ) allora
a = mq 1 + r b = mq 2 + r e quindi
a − b = mq 1 + r − ( mq 2 + r )= mq 1 + r / − mq 2 − r / = mq 1 − mq 2 = m q ( 1 − q 2 )
pertanto a − b è divisibile per m
ii) a − b sia divisibile per m per cui a − b = mq
e quindi a = b + mq
dividendo b per m otteniamo
b = mq 1 + r sostituendo avremo a = mq 1 + r + mq a = m q ( 1 + q ) + r
cioè, a diviso per m fornisce lo stesso resto r. Ne consegue che a ≡ b (mod m ).
Teorema Condizione necessaria e sufficiente affinché due numeri a e b siano congrui modulo m è che a e b divisi per m diano lo stesso resto. Dim.
a = mq 1 (^) + r 1 b = mq 2 (^) + r 2 per ipotesi
Ts a − b = km
Si ha
a − b = ( q 1 − q 2 ) m + r 1 − r 2
Confrontando con la
a − b = km , poiché m ( a − b )dovrà necessariamente essere
r 1 (^) = r 2.
Per le congruenze modulo un prefissato un intero m e a b c , , ∈ Z valgono le seguenti proprietà
a ≡ a (mod m ) proprietà riflessiva
a ≡ b (mod m ) ⇒ b ≡ a (mod m ) proprietà simmetrica
a ≡ b (mod m ) ∨ b ≡ c (mod m ) ⇒ a ≡ c (mod m ) proprietà transitiva
4) a ≡ b (mod m ) ⇒ ( a + d ) ≡ ( b + d )(mod m )
- a ≡ b (mod m ) ⇒ ad ≡ bd (mod m )
Da queste proprietà segue la:
Def. Per ogni m appartenente a ¢ , alla relazione a ≡ b (mod m )associamo una partizione in classi
di equivalenza e l’insieme quoziente modulo la relazione di equivalenza sarà l’insieme
{ [ 0 , 1 , 2 ,....,] [ ] [ ] [^ m^ −^1 ]}che prende il nome di^ insieme delle classi resto modulo m
Le classi resto distinte modulo m sono tante quanto sono i resti possibili che si hanno nella divisione modulo m, cioè 0,1,2,........., m − 1
Poiché le classi resto modulo m distinte tra loro sono m, possiamo scegliere come loro rappresentanti gli m numeri non negativi minori di m (cioè i resti delle divisioni per m) in modo che le classi resto modulo m siano
[ 0 , 1 , 2 ,....,] [ ] [ ] [ m^ −^1 ]
dove
[ 0 ] = { ..., − 3 m , − 2 m , − m ,0, m , 2 m , 3 m ,...}
cioè l’insieme dei multipli di m, in generale
[ k^ ] =^ { ...,^ k^ −^4 m k ,^^ −^3 m k ,^^ −^2 m k ,^^ −^ m k k ,^ ,^^ +^ m k ,^^ +^2 m k ,^^ +^3 m ,...}
[ m^ −^1 ]^ =^ { ...,^ − −^1 3 m ,^^ − −^1 2 m ,^^ − −^1 m^ ,^ −1,2^ m^^ −^ 1,3 m^ −1,...}
Consideriamo due classi [ a ] ;[ b ]e due elementi generici, uno della prima ed uno della seconda
k h
a a km b b km
con h k , ∈ Z
Si ha:
ak + bh = a + km + b + km = a + b + ( h + k m )
e quindi ak + bh ≡ ( a + b )mod m
per cui avremo:
[ a^ +^ b ]^ =^ [ ak^ + bh ]
Cioè, comunque si prende un elemento ak ∈ [ a ]e bk ∈[ b ]la somma ∈[ a + b ]; pertanto possiamo
introdurre l’operazione di addizione così definita
[ a ] + [ b ] = [ a + b ]
Analogamente per la moltiplicazione si ha
a bk h = ( a + km ) ( b + km ) = ab + ( bk + ah + khm m )
e quindi a bk h ≡( ab )mod m
Per determinare una soluzione applichiamo l’algoritmo di Euclide
57 12
57 = (3 12)⋅ + 21 e quindi 21 = 57 + −( 3) 12 ⋅
Si deve trovare pertanto un fattore tale che 33 sia multiplo di 21
Si ha (^) [ 33 ] 57 = (^) [ 90 ] 57 =[ (^147) ] 57
Essendo 147 divisibile per 21 possiamo scrivere
[ 33 ]^57 =[ 147 ] 57 e quindi 147 = 7 21⋅ od anche 147 = 7 ⋅ (^) [ 57 + −( 3) 12 ⋅ ] 147 = 7 57⋅ + −( 21) 12 ⋅
e quindi possiamo scrivere 12 ( 21)⋅ − − 147 = 57 7⋅ ovvero 12 ( 21)⋅ − ≡147(mod57)
per cui − 21 è una soluzione
Tutte le altre si ottengono da essa aggiungendo un arbitrario multiplo di ( , )
m m a avremo 57 21 (57,12)
x = − + k
cioè 57 21 3
x = − + k
x = − 21 + 19 k con k ∈ Z
