Il numero e di Neper pag 1 Adolfo Scimone
IL NUMERO e DI NEPER
Consideriamo la funzione:
1
() 1
x
fx
x
=+
e dimostriamo che il limite
x
xx
+
∞→
1
1lim
è compreso fra 2 e 3.
Dimostriamo che il limite esiste per valori interi positivi. Per n
x
=
, applicando la formula
del binomio di Newton avremo:
=
++
+
+=
+n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
....
1
2
1
1
1
1
12
()
=⋅
−−
−
−
++⋅
−
−
+⋅
−
++= n
n
n
nnnnn
n
nnn
n
nn 1
!
)1()...2)(1(
....
1
!3
)2)(1(1
!2
)1(
11 32 (1)
Essendo
!3
2
1
1
1
!3
21
1
!3
)2)(1(
3
−
−
=
−
⋅
−
⋅
=⋅
−− nn
n
n
n
n
n
n
n
nnn
la (1) diviene
= +
−
+!2
1
1
2n
!3
1
1
2
1
1
1
...
!3
2
1
1
1
−
−
−
−
++
−
−n
n
nnnn (2)
Osserviamo che per 1>n tutti i termini dello sviluppo sono positivi e, a partire dal
secondo, crescono al variare di n, perché le frazioni ,....,
2
,
1
nn diminuiscono di valore e
quindi aumenta il numeratore dei corrispondenti termini dello sviluppo. Quindi la funzione
n
n
+1
1
al crescere di n è una funzione crescente ed ammette limite per +∞→n.
Questo limite è un numero compreso tra 2 e 3.
Infatti si ha
