Strutture algebriche Pagina 1 di 3 easy matematica di Adolfo Scimone
Strutture algebriche fondamentali
Sia G un qualsiasi insieme di elementi a,b,c,… Definiamo operazione binaria o legge di
composizione interna in G qualsiasi legge che associa ad ogni coppia ordinata (a,b) di elementi di G
un unico elemento c dello stesso insieme G.
Indicando con ∗ una generica operazione binaria in G, avremo:
a
b
c
∗= od anche
:( , )
a
b
c
∗→
Si dice anche che G è chiuso rispetto alla operazione ∗.
Proprietà associativa
L’operazione ∗ gode della proprietà associativa se
,,
a
bc
G
∀∈
(
)( )
a
bc ab
c
∗∗= ∗∗
Elemento neutro
Un elemento e di G è chiamato elemento neutro se
aG
∀∈
ea ae a
∗=∗=
Se G possiede un elemento neutro, esso è unico.
Supponiamo per assurdo che esistano due elementi neutri
ed '
ee
distinti.
Essendo e elemento neutro avremo:
'' '
e
eee
e
∗=∗=
Inoltre se e’ è elemento neutro avremo:
''
e
eee
e
∗=∗ =
per cui dovrà essere
'
ee
=
Pertanto è impossibile che esistano due elementi neutri tra loro distinti.
Elemento inverso o simmetrico
Se
aG
∈ un inverso di a è un elemento '
aG
∈ tale che
''
a
aaa
e
∗=∗ =
Se
''
a
è un altro inverso di a si avrà
'' '' '' ( ') ( '' ) ' ' '
a
aea aa aaa ea
a
=∗=∗∗ = ∗∗=∗=
pertanto l’inverso di a, se esiste, è unico.
Proprietà commutativa
L’operazione ∗ gode della proprietà commutativa se
a
bb
a
∗=∗
Proprietà distributiva
Diciamo che la legge
gode della proprietà distributiva rispetto alla legge ∗ se
,,
a
bc
G
∀∈ si ha
()()()
a
bc ab a
c
∗= ∗
Legge di composizione esterna
Si dice legge di composizione esterna fra elementi di un insieme di operatori o scalari L e di un
insieme E, un’applicazione di un sottoinsieme di
LE
× in E.
Se il suo dominio è
LE
× si dice ovunque definita.
Il risultato della composizione di
L
α
∈ ed
aE
∈ è il seguente
ba
α
=
Strutture algebriche
Un insieme A dotato di leggi di composizione interna prende il nome di struttura algebrica.
L’insieme A si dice sostegno della struttura. Si indica
(;,,)
A∗•
.
